Lemma di Goursat (analisi complessa)

Nell'analisi complessa , il lemma di Goursat (o teorema Goursat ) è una versione debole del teorema integrale di Cauchy . Secondo questo lemma , se una funzione di una variabile complessa è definita e differenziabile nell'intorno di un rettangolo o di un triangolo , allora il suo integrale curvilineo sul contorno è zero. Inizialmente, il lemma di Goursat fu introdotto per la prima volta nel 1814 da Augustin Louis Cauchy , che integrò le funzioni di una variabile complessa su rettangoli.

La dimostrazione del lemma di Goursat non comporta alcun risultato analitico complesso: nei corsi di laurea o nei libri introduttivi, il lemma di Goursat prepara il terreno per la formula integrale di Cauchy , che permette di calcolare il valore d' una funzione olomorfa e le sue derivate in funzione dei suoi valori su un contorno (non necessariamente un triangolo o un rettangolo).

L'unico interesse del lemma di Goursat sono le dimostrazioni più facili della formula integrale molto generale di Cauchy.

Preparazione

In questo articolo, $U$ denota un'apertura del piano complesso e $f$ è una funzione definita su $U$ con valori complessi. $\ mathbb {C}$

Derivazione

La funzione $f$ è differenziabile in un punto $Z$ da $U$ (implicito, rispetto alla variabile complessa) se, per qualsiasi numero complesso $z$ in $U$ , abbiamo:

{\ stile di visualizzazione f (z) = f (Z) + a (zZ) + o (zZ)}

Questa scrittura è un'espansione limitata in $Z$ e fornisce il comportamento di $f$ nel primo ordine , senza alcuna informazione aggiuntiva. Il numero $a$ è un numero complesso, chiamato derivata di $f$ in $Z$ , e annotato . Se $f$ è differenziabile in $Z$ , allora è continua in questo punto. Una presentazione più dettagliata è fornita nell'articolo Funzione olomorfa . ${\ stile di visualizzazione f '(Z)}$

Il piano complesso è naturalmente identificabile con il piano reale 2 . Ad un numero complesso $z$ , possiamo associare la sua parte reale $x$ e la sua parte immaginaria $y$ . Se la funzione $f$ è differenziabile in $Z$ , allora è differenziabile in $Z$ (in funzione di due variabili reali), e il suo differenziale è l'applicazione $\ mathbb {C}$ $\ mathbb {R}$

{\ displaystyle df (Z): \, \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}, h \ mapsto f '(Z) h}

In particolare viene:

{\ displaystyle (i \ parziale _ {x} - \ parziale _ {y}) f = 0}

Questa equazione, chiamata equazione di Cauchy-Riemann , verrà successivamente utilizzata per calcolare le variazioni di $f$ .

Integrale curvilineo su un segmento

Se $Z$ e $W$ sono punti del piano complesso , allora il segmento $[$ $Z$ $,$ $W$ $]$ è l'insieme dei numeri complessi che si scrivono nella forma: $\ mathbb {C}$

{\ displaystyle \ sigma (t) = tW + (1-t) Z}

L'applicazione è un'applicazione di perfezionamento del segmento dell'immagine $[$ $Z$ $,$ $W$ $]$ . Questa è chiamata parametrizzazione affine . Se la mappa $f$ è definita e continua nell'intorno del segmento $[$ $Z$ $,$ $W$ $]$ , allora il composto è una funzione continua di una variabile reale. Definiamo quindi l'integrale curvilineo di $f$ lungo il segmento $[$ $Z$ $,$ $W$ $]$ : ${\ displaystyle \ sigma: [0,1] \ rightarrow \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f \ circ \ sigma}$

{\ displaystyle \ int _ {[Z, W]} f (z) \, dz: = \ int _ {0} ^ {1} f \ sinistra [tW + (1-t) Z \ destra] \, ( WZ ) \, dt}

Una linea poligonale, come un triangolo o un rettangolo, è una concatenazione di segmenti, la cui fine di uno è l'origine del successivo. L'integrale curvilineo lungo una linea poligonale è definito come la somma degli integrali curvilinei lungo i segmenti che lo costituiscono.

Lemma di Goursat

Il teorema di Goursat può essere affermato sia per i rettangoli che per i triangoli.

Per i rettangoli

Enunciato del lemma di Goursat per i rettangoli - Se $f$ è una funzione di una variabile complessa definita e differenziabile (olomorfa) su un intorno aperto di un rettangolo , allora l'integrale curvilineo di $f$ sul contorno di è zero: $\ R$ ${\ displaystyle \ parziale R}$ $\ R$

{\ displaystyle \ ungere _ {\ parziale R} f (z) \, dz = 0}

Questo risultato rimane vero se si assume che $f$ sia continua sull'aperto considerato, e olomorfa su questo aperto tranne forse in un numero finito di punti.

Ricordiamo che un rettangolo non è semplicemente il suo contorno, è anche il dominio all'interno di questo contorno (un rettangolo è un compatto semplicemente connesso ), e quindi non è sufficiente che $f$ sia olomorfo sul contorno, è necessario che ' è sopra l'intero rettangolo.

Il fatto che questo teorema sia valido per una funzione olomorfa tranne che in alcuni punti in cui è continuo si trasmette al teorema integrale di Cauchy. L'interesse risiede poi nella dimostrazione della formula integrale di Cauchy a partire da una funzione olomorfa tranne in un punto in cui è continua a cui si applica il teorema integrale di Cauchy.

Per i triangoli

Enunciato del lemma di Goursat per i triangoli - Se $f$ è una funzione di una variabile complessa definita e differenziabile (olomorfa) su un intorno aperto di un triangolo $T$ , allora l'integrale curvilineo di $f$ sul contorno di $T$ è zero: ${\ displaystyle \ T parziale}$

{\ displaystyle \ ungere _ {\ T parziale} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 0}

Questo risultato rimane vero se si assume che $f$ sia continua sull'aperto considerato, e olomorfa su questo aperto tranne forse in un numero finito di punti.

Ricordiamo che un triangolo non è semplicemente il suo contorno, è anche il dominio all'interno di questo contorno (un triangolo è un compatto semplicemente connesso), e quindi non è sufficiente che $f$ sia olomorfo sul contorno, è necessario che ' è così su tutto il triangolo (o se vi è olomorfo tranne che in un numero finito di punti dove è comunque continuo).

Il fatto che questo teorema sia valido per una funzione olomorfa tranne forse in alcuni punti in cui è continuo viene trasmesso al teorema integrale di Cauchy. L'interesse risiede poi nella dimostrazione della formula integrale di Cauchy a partire da una funzione olomorfa tranne in un punto in cui è continua a cui si applica il teorema integrale di Cauchy.

Questo teorema ha una specie di inverso, chiamato teorema di Morera , che dice che

Se $U$ è un aperto del piano complesso , $f$ una funzione di una variabile complessa continua su $U$ e se, per ogni triangolo convesso chiuso $T$ incluso in $U$ , abbiamo

{\ displaystyle \ ungere _ {\ T parziale} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 0}

allora

{\ stile di visualizzazione f \ in H (U).}

Combinando :

il fatto che il lemma di Goursat è ancora vero se non si assume $f$ olomorfa in un numero finito di punti dove è comunque continua;
teorema di Morera;

otteniamo il seguente corollario.

Corollario - Se esiste tale che e $f$ continua su tutta la $U$ , quindi . ${\ displaystyle a_ {1}, ..., a_ {n} \ in U}$ ${\ displaystyle f \ in H (U \ setminus \ {a_ {1}, ..., a_ {n} \}) \ cap C (U)}$ ${\ stile di visualizzazione f \ in H (U)}$

Estensione a qualsiasi poligono

Questi risultati si estendono a qualsiasi poligono: o una funzione olomorfa su un'apertura contenente il dominio definito dal poligono; il suo integrale sul contorno è zero.

Il risultato rimane vero anche se la funzione non si assume che sia olomorfa su un numero finito di punti, pur rimanendo lì continua.

Spieghiamo nel caso di un poligono convesso , passando per un taglio triangolare del poligono. Se il poligono non è un triangolo, uniamo uno dei vertici del poligono a un altro che non è un vertice vicino. Abbiamo così definito due nuovi poligoni su ciascun lato del segmento. Questa operazione viene ripetuta in ciascuno dei nuovi poligoni fino a ottenere solo triangoli. Essendo zero l'integrale di una funzione olomorfa su ogni triangolo, la somma degli integrali sui triangoli è zero, ma questa somma (prendendo un orientamento corretto del percorso di ciascun triangolo) è uguale all'integrale della funzione sul contorno di il poligono, poiché ogni segmento all'interno del poligono viene attraversato una volta in ogni direzione, il che annulla l'integrale della funzione su questo segmento.

Questa estensione è il culmine del lemma di Goursat: ci permette di dimostrare il teorema integrale di Cauchy .

Dimostrazioni

Questo articolo offre due diverse dimostrazioni del lemma di Goursat:

La prima dimostrazione risale all'articolo Sur les integrales define de Cauchy, pubblicato nel 1814 . Questa prova consiste nel fare variazioni sulla dimensione di un rettangolo, da un rettangolo piatto per allungarlo. La stessa dimostrazione potrebbe essere adattata per i triangoli ma le notazioni sarebbero più delicate da introdurre e da maneggiare;
La seconda prova, scritta di seguito per i triangoli solidi, è un argomento geometrico basato su suddivisioni successive. Si basa su un ragionamento per assurdo .

Variazione sui rettangoli

Preliminare

La dimostrazione su un qualsiasi rettangolo R1 è scomoda perché moltiplica il numero di parametri: due per ciascuno dei suoi vertici. È facile dimostrare che qualsiasi rettangolo è l'immagine ruotando un rettangolo R0 con i lati paralleli agli assi reale e immaginario. Un tale rettangolo ha solo 4 parametri perché l'affisso di ogni vertice condivide con quello dei suoi vicini o la sua parte reale (ascisse) o la sua parte immaginaria (ordinata), semplificando il problema; la seguente dimostrazione viene eseguita su questo tipo di rettangolo.

Per la dimostrazione di un qualunque rettangolo R1 basti dire che l'integrale curvilineo di una funzione olomorfa su R1 è uguale all'integrale curvilineo su R0 del prodotto della derivata della rotazione per la funzione che compone la rotazione (cambio di variabile) , per notare che questa funzione composizione-prodotto è una funzione olomorfa. Siamo così ridotti all'integrale di una funzione olomorfa su R0 .

Per le funzioni che non sono olomorfe ma continue in un punto di uno spazio aperto contenente il rettangolo, torniamo ad un caso particolare dei quattro casi che possono sorgere:

Il punto è esterno al rettangolo: questo caso è banale: possiamo trovare un aperto contenente il rettangolo ma non questo punto, vale allora il teorema dimostrato sopra;
Il punto è sul vertice: il rettangolo può essere tagliato in quattro rettangoli, uno dei quali può essere piccolo a piacere, per continuità di funzione (è delimitato) sul contorno di questo piccolo rettangolo (che è piccolo a piacere quindi anche il suo perimetro), l'integrale è piccolo quanto si vuole;
Il punto è sul contorno del rettangolo privato dei vertici: tagliamo in due il rettangolo per una perpendicolare al rettangolo passante per il punto che diventa vertice di due nuovi rettangoli;
Il punto è all'interno del rettangolo, quindi è il vertice di 4 nuovi rettangoli.

Un'illustrazione è disponibile nei dettagli della demo.

Per funzioni non olomorfe ma continue su un numero finito di punti di una scatola aperta contenente il rettangolo, è sufficiente ripetere questa operazione tante volte quante necessarie, isolando ogni punto in un rettangolo.

Dimostrazione principale

La sostanza di questo articolo è da verificare (17 marzo 2021).

Miglioralo o discuti le cose da controllare . Se hai appena apposto il banner, indica qui i punti da verificare .

Sia $f$ una funzione $f$ definita e differenziabile su un intorno aperto del rettangolo intero R , con i lati paralleli all'asse dei reali e degli immaginari. La dimostrazione di funzioni continue ma non differenziabili in un numero finito di punti verrà estesa in seguito.

L'intero rettangolo R , mostrato a destra, è delimitato dai suoi quattro vertici $a + i c$ , $a + i d$ , $b + i d$ e $b + i c$ . Eseguiremo variazioni su $b$ , e otterremo che l'integrale curvilineo sul contorno non dipenda da $b$ . Prendendo $b$ $=$ $a$ (rettangolo di larghezza zero), otteniamo il risultato desiderato. Per marcare la dipendenza di R da $b$ , lo denotiamo con R ( b ). ${\ displaystyle \ parziale R}$

Variando $b$ , modifichiamo i segmenti orizzontali $[ a + i c , b + i c ]$ e $[ a + i d , b + i d ]$ . Questa modifica induce una variazione sugli integrali curvilinei. ${\ displaystyle \ left [f (b + ic) -f (a + ic) \ right] \ delta b}$

Inoltre, si sposta orizzontalmente il segmento verticale $[ b + i c , b + i d ]$ . Per calcolare la variazione dell'integrale curvilineo su questi segmenti verticali è necessario eseguire una derivazione sotto il segno di integrale. Applicando l'equazione di Cauchy-Riemann sopra menzionata, vediamo che questa variazione compensa la variazione precedente (per i segmenti orizzontali).

Dettagli della dimostrazione

Preliminare

Qualsiasi rettangolo R1 è l'immagine di un rettangolo R0 con i lati paralleli all'asse reale e immaginario mediante una rotazione r con il centro di uno dei vertici del rettangolo R1 . L'integrale curvilineo di una funzione olomorfa h su R1 è quindi l'integrale curvilineo del prodotto della derivata della rotazione r con la composizione di r per h su R0 :

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial \ mathbf {R1 = r <R0>}} h (z) ~ \ mathrm {d} z = \ oint _ {\ partial \ mathbf {R0}} r '(w) h (r (w)) ~ \ mathrm {d} w.}

Ora la rotazione essendo un'olomorfia, il suo composto da una funzione olomorfa è una funzione olomorfa, inoltre la derivata della rotazione è anche un'olomorfia, quindi il suo prodotto con la composizione è un'olomorfia. Siamo quindi ridotti a dimostrare che l'integrale di una funzione olomorfa su un rettangolo con i lati paralleli agli assi del reale e dell'immaginario è zero.

Espressione dell'integrale curvilineo

R il rettangolo di cui sopra. Fissiamo B in modo che R ( B ) sia incluso nel dominio di definizione di

f

. Eseguiamo i calcoli per . L'integrale curvilineo su un rettangolo è la somma degli integrali curvilinei sui suoi quattro lati. Isoliamo i tre integrali dove ricorre b :

{\ displaystyle 0 \ leq b <B}

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial \ mathbf {R} (b)} f (z) ~ \ mathrm {d} z + \ int _ {c} ^ {d} f [a + it] ~ i \ mathrm { d} t = \ int _ {a} ^ {b} f [t + ic] ~ \ mathrm {d} t- \ int _ {a} ^ {b} f [t + id] ~ \ mathrm {d } t + \ int _ {c} ^ {d} f [b + it] ~ i \ mathrm {d} t.}

Variazione dei primi due termini

Si è avuto cura di modificare le impostazioni per i segmenti

[ a + i c , b + i c ]

[ a + i d , b + i d ] in

modo da far emergere a livello dei limiti di integrazione la dipendenza da

b

dei primi due integrali di destra. La derivazione rispetto a

b

per questi due integrali è quindi facile da ottenere:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial b}} \ int _ {a} ^ {b} f [t + ic] ~ \ mathrm {d} t = f (b + ic) \ quad {\ text {et}} \ quad {\ frac {\ partial} {\ partial b}} \ int _ {a} ^ {b} f [t + id] ~ \ mathrm {d} t = f (b + id) .}

Variazione del terzo termine

Per il teorema della derivazione sotto il segno di integrale si ottiene:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial b}} \ int _ {c} ^ {d} f [b + it] \, i \ mathrm {d} t = \ int _ {c} ^ { d} {\ frac {\ parziale} {\ parziale b}} f [b + it] \, i \ mathrm {d} t}

Tuttavia, l' equazione di Cauchy-Riemann ci permette di scrivere:

{\ displaystyle \ partial _ {b} f (b + it) = - i \ partial _ {t} f (b + it).}

Iniettando questa espressione nell'integrale, si ottiene:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial b}} \ int _ {c} ^ {d} f [b + it] \, i \ mathrm {d} t = \ int _ {c} ^ { d} {\ frac {\ parziale} {\ parziale t}} f [b + it] ~ \ mathrm {d} t = f (b + id) -f (b + ic).}

Variazione dell'integrale curvilineo

Combinando le varie derivate ottenute in precedenza si trova:

{\ displaystyle {\ frac {\ parziali} {\ parziali b}} \ anint _ {\ parziali \ mathbf {R} (b)} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 0.}

Quindi l'integrale curvilineo di

f

sul contorno del rettangolo pieno è costante in funzione di

b

. Pertanto, è uguale al valore per

b = a

{\ displaystyle \ mathbf {R} (b)}

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial \ mathbf {R} (b)} f (z) ~ \ mathrm {d} z = \ oint _ {\ partial \ mathbf {R} (a)} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 0.}

Per funzioni non olomorfe ma continue in un punto di un aperto contenente il rettangolo, possono presentarsi quattro casi (vedi immagine a destra), di cui uno banale, e altri due casi che si riducono all'ultimo:

Il punto è fuori dal rettangolo ( nell'illustrazione): questo caso è banale, esiste un open contenente il rettangolo ma non questo punto, vale allora il teorema dimostrato sopra; ${\ stile di visualizzazione Z1}$
Il punto è all'interno del rettangolo ( nell'illustrazione): è diviso in 4 rettangoli aventi questo punto come vertice comune. Per questi 4 rettangoli vale il quarto caso; ${\ stile di visualizzazione Z2}$
Il punto è sul contorno del rettangolo privato dei vertici ( nell'illustrazione): il rettangolo è tagliato in due 4 da una perpendicolare (al segmento che contiene il punto) passante per il punto, dando due rettangoli aventi per uno dei loro vertici il punto problematico: il quarto caso vale quindi per questi due rettangoli; ${\ stile di visualizzazione Z3}$
Il punto è su un vertice ( nell'illustrazione): il rettangolo può essere tagliato in due rettangoli, uno dei quali ha questo punto come vertice, può essere piccolo a piacere, per continuità della funzione (è limitato) su il contorno di questo piccolo rettangolo (che è piccolo quanto si vuole così anche il suo perimetro), l'integrale è tanto piccolo quanto si vuole: ${\ stile di visualizzazione Z4}$

${\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0}$ sia $R ε$ il quadrato (ad esempio) del vertice , di lato di lunghezza $ε$ . ${\ stile di visualizzazione Z4}$

{\ displaystyle \ left | \ oint _ {\ partial R _ {\ varepsilon}} \ f (z) ~ \ mathrm {d} z \ right | \ leq 4 \ varepsilon M}

dove $M$ maggiore $f$ continua sul compatto . $R$

Per gli altri due rettangoli,

f

y è olomorfo, l'integrale sul loro contorno è quindi zero qualunque sia

ε

. Pertanto,

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon, \ left | \ anint _ {\ partial R _ {\ varepsilon}} f (z) ~ \ mathrm {d} z \ right | = \ left | \ oint _ {\ parziale R _ {\ varepsilon}} f (z) ~ \ mathrm {d} z \ destra | \ leq 3 \ varepsilon M.}

L'integrale è quindi nullo.

Per funzioni non olomorfe ma continue su un numero finito di punti di un aperto contenente il rettangolo, è sufficiente applicare il metodo precedente tante volte quanto necessario.

Divisioni di un triangolo

Sia $f$ una funzione $f$ definita e differenziabile nell'intorno di un triangolo T , la dimostrazione di funzioni continue ma non differenziabili in un numero finito di punti sarà estesa in seguito.

Assumiamo per assurdo che l'integrale curvilineo di $f$ lungo sia diverso da zero, e definiamo: ${\ displaystyle \ parziale \ mathbf {T}}$

{\ displaystyle C = \ left | \ oint _ {\ partial \ mathbf {T}} f (w) \, dw \ right |> 0}

Per divisioni successive, cercheremo di ridurre le dimensioni del triangolo, garantendo una piccola diminuzione dell'integrale curvilineo di $f$ sul suo contorno. Per induzione su $n$ , costruiamo una sequenza decrescente di triangoli pieni che soddisfa: ${\ displaystyle \ left (\ mathbf {T} _ {n} \ right)}$

{\ displaystyle \ left | \ anint _ {\ partial \ mathbf {T} _ {n}} f (w) \, dw \ right | \ geq {\ frac {C} {4 ^ {n}}}}

Ogni triangolo T n può essere diviso in quattro triangoli piccoli, come mostrato nella figura a destra, secondo i punti medi dei suoi lati. E T n +1 è uno di questi quattro triangoli. La costruzione e il teorema di Talete garantiranno:

{\ displaystyle l \ left (\ partial \ mathbf {T} _ {n + 1} \ right) = {\ frac {1} {2}} l \ left (\ partial \ mathbf {T} _ {n} \ giusto)}

e .

{\ displaystyle diam \ left (\ partial \ mathbf {T} _ {n + 1} \ right) = {\ frac {1} {2}} diam \ left (\ partial \ mathbf {T} _ {n} \ giusto)}

In particolare, la successione è una successione decrescente di compatti il cui diametro tende allo 0. Di conseguenza l'intersezione non è vuota, e ristretta ad un solo punto $a$ . Uno studio locale di $f$ in $a$ dimostrerà: ${\ displaystyle \ left (\ mathbf {T} _ {n} \ right)}$

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial \ mathbf {T} _ {n}} f (w) \, dw = o \ left ({\ frac {1} {4 ^ {n}}} \ right)}

Questa stima asintotica contraddice la precedente disuguaglianza.

Per le funzioni che non sono olomorfe ma continue in un punto di un aperto contenente il triangolo, torniamo ad un caso particolare si possono verificare quattro casi:

Il punto è esterno al triangolo: questo caso è banale: possiamo trovare un aperto contenente il triangolo ma non questo punto, vale allora il teorema dimostrato sopra;
Il punto è sul vertice: il triangolo può essere tagliato in tre triangoli, uno dei quali può essere piccolo a piacere, per continuità della funzione (è delimitata) sul contorno di questo triangolino (che è piccolo a piacere quindi anche il suo perimetro), l'integrale è piccolo quanto si vuole;
Il punto è sul contorno del triangolo privato dei vertici: tagliamo in due il triangolo di una mediana passante per il punto che diventa vertice di due nuovi triangoli;
Il punto è all'interno del triangolo, quindi è il vertice di 3 nuovi triangoli.

Un'illustrazione è disponibile nei dettagli della demo.

Per funzioni non olomorfe ma continue su un numero finito di punti di un aperto contenente il triangolo, basta ripetere questa operazione tante volte quante sono necessarie, isolando ogni punto di un triangolo.

Dimostrazione Divisione di un triangolo In un triangolo diretto ABC del piano complesso, definiamo i punti medi I , J e K di [ BC ], [ AB ] e [ AC ]. Consideriamo i quattro triangoli diretti AJK , BIJ , CKI e IKJ . In totale, ci sono nove lati. Le loro lunghezze sono riportate nella tabella sottostante. Giustifichiamo la prima riga:

Poiché J è il punto medio del segmento [ AB ], le lunghezze AJ e JB sono uguali e sono uguali alla metà di AB .
I e K sono i rispettivi punti medi dei segmenti [ BC ] e [ AC ]. Per il teorema dei media (conseguenza del teorema di Talete), deduciamo IJ = AB / 2.

Le altre due righe sono giustificate in modo simile.

Coste			Lunghezze
[ AJ ];	[ JB ];	[ IO ]	AB / 2
[ BI ];	[ IC ];	[ JK ]	aC / 2
[ AK ];	[ KC ];	[ IJ ]	CA / 2

Pertanto, i perimetri di AJK , BIJ , CIK e IJK sono uguali e valgono la metà del triangolo ABC :

{\ displaystyle l (AJK) = l (BIJ) = l (CIK) = l (IJK) = l (ABC) / 2}

. Costruzione della successione decrescente

( T n )

Assumiamo dapprima che la funzione

f sia

definita e differenziabile nell'intorno del triangolo ABC (qualsiasi). Il seguente ragionamento può essere applicato all'intero triangolo

T n

. Viene, riprendendo le notazioni precedenti:

${\ displaystyle \ ungere _ {\ parziale {AJK}} f (w) \, dw =}$	${\ displaystyle \ int _ {AJ} f (w) \, dw + \ int _ {JK} f (w) \, dw + \ int _ {KA} f (w) \, dw}$
${\ displaystyle \ ungere _ {\ parziale {BIJ}} f (w) \, dw =}$	${\ displaystyle \ int _ {BI} f (w) \, dw + \ int _ {IJ} f (w) \, dw + \ int _ {JB} f (w) \, dw}$
${\ displaystyle \ ungere _ {\ parziale {CKI}} f (w) \, dw =}$	${\ displaystyle \ int _ {CK} f (w) \, dw + \ int _ {KI} f (w) \, dw + \ int _ {IC} f (w) \, dw}$
${\ displaystyle \ ungere _ {\ parziale {IJK}} f (w) \, dw =}$	${\ displaystyle \ int _ {IJ} f (w) \, dw + \ int _ {JK} f (w) \, dw + \ int _ {KI} f (w) \, dw}$

Una combinazione delle quattro identità precedenti ci fornisce:

${\ displaystyle \ left [\ unzione _ {\ parziale {AJK}} + \ unzione _ {\ parziale {BIJ}} + \ unzione _ {\ parziale {CKI}} - \ unzione _ {\ parziale {IJK}} \ destra] f (w) \, dw =}$	${\ displaystyle \ left [\ int _ {AB} + \ int _ {BC} + \ int _ {CA} \ right] f (w) \, dw}$
$=$	${\ displaystyle \ ungere _ {\ parziale {ABC}} f (w) \, dw}$

L'integrale curvilineo di

f

sul contorno del triangolo pieno ABC è la somma degli integrali curvilinei sui contorni dei quattro triangoli AJK , BIJ , CKI e IKJ . In particolare, tra questi quattro triangoli, esiste almeno un triangolo, indichiamolo con S , in modo che:

{\ displaystyle \ sinistra | \ ungere _ {\ mathbf {\ parziale S}} f (w) \, dw \ destra | \ geq {\ frac {1} {4}} \ sinistra | \ anint _ {\ parziale { \ mathbf {T}}} f (w) \, dw \ destra |}

. Questo ragionamento permette di costruire per induzione una successione decrescente di triangoli, con , e:

{\ displaystyle \ left (\ mathbf {T} _ {n} \ right)}

{\ displaystyle \ mathbf {T} _ {0} = \ mathbf {T}}

{\ displaystyle \ left | \ anint _ {\ partial {\ mathbf {T} _ {n}}} f (w) \, dw \ right | \ geq {\ frac {1} {4 ^ {n}}} \ sinistra | \ oint _ {\ parziale {\ mathbf {T}}} f (w) \, dw \ destra |}

. Intersezione discendente Per costruzione, il perimetro del triangolo

T n

uguale

alla metà del perimetro del triangolo

T n -1

. La stessa relazione si verifica per i diametri . Di conseguenza, abbiamo:

{\ displaystyle l \ left (\ partial {\ mathbf {T} _ {n}} \ right) = {\ frac {C '} {2 ^ {n}}} \ \ mathrm {e} \ diam \ left ( \ mathbf {T} _ {n} \ destra) = {\ frac {C ''} {2 ^ {n}}}}

. La successione

( T n )

è una successione decrescente di compatti . Quindi la sua intersezione

X

non è vuota. Inoltre, il diametro di

T n

tende a 0. Di conseguenza, il diametro di

X

è zero; in altre parole,

X

è un singleton , che contiene un singolo punto

a

. Studio locale Poiché

f

è una funzione differenziabile in

a

, per ogni

ε

esiste un intorno V di a tale che:

{\ displaystyle \ forall z \ in V, \ quad \ left | f (z) -f (a) -f '(a) (za) \ right | \ leq \ varepsilon | za |}

Tuttavia, il singleton { a } è l'intersezione decrescente dei compatti

T n

. Quindi per n sufficientemente grande, l'intero triangolo

T n

è incluso in

V

. Non sarebbe difficile dimostrare che l'integrale curvilineo di una mappa affine su un triangolo è zero (osservazione lasciata al lettore per semplificare la dimostrazione). Ciò rende possibile rivelare la parte sinistra della disuguaglianza che può poi applicarsi. Quindi viene aggiunto nell'integrale da .

{\ displaystyle | wa |}

{\ displaystyle diam (\ mathbf {T} _ {n})}

{\ displaystyle {\ begin {allineato} \ sinistro | \ anint _ {\ parziale {T_ {n}}} f (w) \, dw \ destro | & = & \ sinistro | \ anint _ {\ parziale {\ mathbf {T} _ {n}}} \ sinistra [f (w) -f (a) -f '(a) (wa) \ destra] \, dw \ destra | \\ & \ leq & \ varepsilon \, diam (\ mathbf {T} _ {n}) \, l (\ parziale \ mathbf {T} _ {n}) \\ & = & \ varepsilon {\ frac {C'C ''} {4 ^ {n} }} \ fine {allineato}}}

Questa disuguaglianza è vera per

n

sufficientemente grande, e per ogni reale positivo

ε

. Di conseguenza, abbiamo appena dimostrato:

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial {T_ {n}}} f (w) \, dw = o \ left ({\ frac {1} {4 ^ {n}}} \ right)}

. Da dove una contraddizione con la scelta della successione decrescente dei triangoli pieni,

C

è quindi nulla.

Per funzioni non olomorfe ma continue in un punto di un aperto contenente il triangolo possono presentarsi quattro casi, di cui uno banale, e altri due casi che si riducono all'ultimo:

Nel seguito si tenga presente che l'integrale di $f$ sul contorno del triangolo è la somma degli integrali di $f$ sui contorni delle suddivisioni di questo triangolo (mantenendo un orientamento appropriato, come nella prima parte di la dimostrazione). Se questi integrali sono tutti zero, allora anche quello sul contorno del triangolo è zero (qualunque sia l'orientamento preso infine per ciascun contorno del triangolo).

Il punto è esterno al triangolo ( $z 0$ nell'illustrazione): questo caso è banale, esiste un open contenente il triangolo ma non questo punto, vale quindi il teorema dimostrato sopra.
Il punto è sul contorno del triangolo privato dei vertici ( $z 1$ nell'illustrazione): il triangolo è tagliato in due da una mediana passante per il punto, dando due triangoli aventi per uno dei loro vertici il punto problematico: c' è il quarto caso che vale allora per questi due triangoli.
Il punto è all'interno del triangolo ( $z 2$ nell'illustrazione): è diviso in tre triangoli aventi questo punto come vertice comune. Per questi 3 triangoli, si applica il quarto caso.
Il punto è su un vertice ( $z 3$ nell'illustrazione): il triangolo può essere tagliato in tre triangoli, uno dei quali ha questo punto come vertice, può essere piccolo a piacere, per continuità della funzione (è limitato ) sul contorno di questo triangolino (che è tanto piccolo quanto si vuole così anche il suo perimetro), l'integrale è tanto piccolo quanto si vuole:

${\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0}$ sia $T ε$ il triangolo equilatero (ad esempio) con vertice $z 3$ , con lato di lunghezza $ε$ .

{\ displaystyle \ left | \ anint _ {\ partial {T _ {\ varepsilon}}} \ f (z) \, dz \ right | \ leq 3 \ varepsilon M}

dove $M$ maggiorizza $f$ continua sul compatto $T$ .

Per gli altri due triangoli,

f

y è olomorfo, l'integrale sul loro contorno è quindi zero qualunque sia

ε

. Pertanto,

{\ displaystyle \ forall \ epsilon, \ left | \ oint _ {\ partial {T _ {\ varepsilon}}} f (z) \, dz \ right | = \ left | \ anint _ {\ partial {T _ { \ epsilon }}} f (z) \, dz \ destra | \ leq 3 \ varepsilon M}

L'integrale è quindi nullo.

Per funzioni non olomorfe ma continue su un numero finito di punti di un aperto contenente il triangolo, basta applicare il metodo sopra tante volte quanto necessario.

Note e riferimenti

Infatti, possiamo dimostrare in seguito che questo indebolimento delle ipotesi è solo apparente, e che la funzione è olomorfa su tutta l'apertura.
La triangolazione poligonale non convessa è ancora fattibile purché sia facile , ma è più delicata e può essere evitata: per il caso generale, si veda ad esempio (in) Liang-shin Hahn e Bernard Epstein , Analisi complessa classica , Jones & Bartlett,1996, 411 pag. ( ISBN 978-0-86720-494-0 , leggi in linea ) , p. 114-115
La condizione di dominio è qui automatica per il fatto che ci integriamo su un segmento. Possiamo anche applicare una versione più debole del teorema della derivazione, la cui dimostrazione si basa sulla continuità uniforme, e non sul teorema della convergenza dominata.