Questo è un glossario di alcuni termini utilizzati nella topologia .
Questo glossario è diviso in due parti. Il primo si occupa di concetti generali e il secondo elenca diversi tipi di spazi topologici . In questo glossario si presume che tutti gli spazi siano topologici.
Accessibile : vedere l' assioma di separazione T 1 .
Adesione
L' adesione o chiusura di una parte di uno spazio topologico è il più piccolo chiuso che lo contiene. Si dice che un punto aderisce a una parte se appartiene alla sua aderenza. Vedi anche Valore di adesione .Base o base aperta
Una base di uno spazio topologico è un insieme di aperture le cui riunioni sono tutte quelle aperte della topologia . In particolare, un database aperto è un database di quartiere. Si dice che uno spazio abbia una base numerabile se ammette una base aperta numerabile .Base di vicinato : vedi Base di vicinato del sistema .
Palla
In uno spazio metrico , la sfera aperta (rispettivamente chiusa ) con centro xe raggio r (strettamente reale positivo) è l'insieme di punti situati ad una distanza di x strettamente minore (rispettivamente minore o uguale) a r . In uno spazio vettoriale normalizzato , la palla unitaria (aperta o chiusa) è la palla (aperta o chiusa) con centro 0 e raggio 1.Cauchy : vedi Suite de Cauchy .
Compatto : vedi gli assiomi del recupero .
Pieno
Uno spazio metrico si dice completo se una qualsiasi sequenza di Cauchy è convergente .Completamente Hausdorff : vedi l' assioma di separazione T 2½ .
Completamente normale : vedere l' assioma di separazione T 5 .
Completamente regolare : vedere l' assioma di separazione T 3½ .
Componente correlato
Il componente connesso di un punto è la parte connessa più grande dello spazio contenente quel punto. È l'unione di tutte le parti correlate che contengono questo punto.Correlato , connesso al percorso Vedere le nozioni di connessione .
Continua
Si dice che un'applicazione tra spazi topologici è continua quando l' immagine reciproca di ogni aperto è aperta.Contrattile : vedi i concetti di connessione .
Convergente
Una sequenza in uno spazio separato si dice convergente se esiste un punto (chiamato limite della sequenza ) di cui ogni intorno contiene tutti i termini della sequenza da un certo rango.Denso
Un denso di uno spazio topologico è una parte di cui l' adesione è l'intero spazio.Derivato
L' insieme derivato P ' di una parte P di uno spazio topologico è l'insieme dei suoi punti di accumulazione .Interrotto
Un'applicazione tra spazi topologici si dice discontinua se non è continua. Vedi anche Totalmente discontinuo .Discreto
Si dice che uno spazio topologico sia discreto se tutte le sue parti sono aperte . In particolare, è completamente discontinuo .Distanza
Una distanza su un insieme E è un'applicazione che soddisfa le seguenti proprietà:Generato : vedere Topologia generata .
Spazio Fréchet
Spazio di Hausdorff : vedi l' assioma di separazione T 2 .
Spazio di Kolmogorov : vedi l' assioma di separazione T 0 .
Space Luzin (en)
Uno spazio di Lusin (o lusino o anche standard ) è uno spazio topologico misurabile omeomorfo a una parte boreliana di uno spazio polacco , fornito con la tribù indotta dalla tribù boreliana .Spazio metrico
Uno spazio metrico è una coppia ( E , D ), dove E è un insieme, e di una distanza su E . Vedi anche metrizable .Spazio polacco
Uno spazio polacco è uno spazio topologico che può essere separato e metrizzato da una distanza per la quale è completo .Spazio topologico
Uno spazio topologico è un insieme E dotato di una topologia .Spazio di Tychonoff : vedi l' assioma di separazione T 3½ .
Chiuso
Chiusura : vedi Adesione .
Filtro : un filtro su un insieme E è un insieme non vuoto di parti non vuote di E che è stabile da superssezioni e intersezioni finite. In uno spazio topologico, le vicinanze di un punto formano un filtro.
Fine
Funzionalmente separato
Due parti e di uno spazio topologico si dicono funzionalmente separate quando esiste una funzione continua f : X → [0,1] tale che f | A = 0 e f | B = 1.Fréchet : vedi l' assioma di separazione T 1 , o il tipo di spazio vettoriale topologico noto come Fréchet .
Confine
Il confine di una parte di uno spazio topologico è il complemento del suo interno nella sua adesione , cioè l'insieme di punti che sono aderenti allo stesso tempo a questa parte e al suo complemento. È chiuso .F-sigma
Una parte di uno spazio topologico è un F σ se è un'unione numerabile di chiusi.G-delta
Una parte di uno spazio topologico è un G δ se è un'intersezione numerabile di aperture.Coarse Vedere topologia grossolana .
Hausdorff :: vedi l' assioma di separazione T 2 o Separato .
Omeomorfismo
Un omeomorfismo tra due spazi è una biiezione reciproca da continua a continua. Si dice che due spazi tra i quali c'è un omeomorfismo siano omeomorfici .Omogeneo
Uno spazio si dice omogeneo se il gruppo degli automorfismi agisce transitivamente , cioè se per qualsiasi coppia di punti esiste un omeomorfismo dello spazio su se stesso che manda il primo punto al secondo. Tutti i gruppi topologici , in particolare gli spazi vettoriali topologici , sono spazi omogenei.Omotopia
Una omotopia tra due mappe continue è una mappa continua tale che . Le mappe f e g sono quindi chiamati omotopi .Indotto : vedere Topologia indotta .
Interni
L' interno di una parte di uno spazio topologico è l'unione di tutte le aperture contenute in questa parte. È quindi il più grande open contenuto in questa parte, ovvero il complemento dell'adesione del suo complementare. Un punto è interno a una parte se e solo se questa parte è un quartiere del punto.Isolato : vedere Punto isolato .
Kolmogorov : vedi l' assioma di separazione T 0 o lo spazio di Kolmogorov .
Limite
Il limite di una sequenza convergente è il suo valore unico di adesione .Lindelöf : vedi l' assioma di coprire lo spazio Lindelöf .
A livello locale : vedere Proprietà locale .
Magro
Una parte di uno spazio topologico si dice snella quando è contenuta in un'unione numerabile di interno chiuso con vuoto.Metrico : vedere Spazio metrico .
Metisable
Uno spazio si dice metrizzabile quando può essere dotato di una distanza le cui sfere formano una base aperta . Uno spazio metrizzabile è necessariamente paracompatto e perfettamente normale . Vedi le condizioni di metrabilità .Meno fine : vedere Topologia meno fine .
Normale : vedi gli assiomi della separazione .
Aperto
Un open è un elemento di una topologia . Si dice che un ripristino sia aperto quando tutti i suoi elementi sono aperti. Si dice che un'applicazione tra spazi topologici sia aperta quando l'immagine di ogni aperto è aperta.Paracompact : vedi gli assiomi del recupero .
Perfetto
Un insieme perfetto di uno spazio topologico è una parte chiusa senza un punto isolato .Perfettamente normale : vedi gli assiomi della separazione .
Partizione unità
Una partizione di unità su uno spazio topologico è un insieme di funzioni continue con valori tali che ogni punto ha un intorno su cui solo un numero finito di queste funzioni non è costantemente zero e la somma delle loro restrizioni è costante uguale a 1 .Più sottile : vedere Topologia più sottile .
Punto di accumulo o punto limite
Se A è una parte di uno spazio topologico , un punto di accumulazione o punto limite di A è un punto x il cui intorno contiene un punto di A distinto da x . In altre parole, un punto x è un punto di accumulazione di A se e solo se è aderente ad A \ { x }. Il termine punto di accumulazione a volte significa una proprietà più forte: ogni quartiere di x contiene infiniti punti di A .Punto isolato
In uno spazio separato , un punto isolato della parte A è un punto x di A per il quale esiste un quartiere che incontra A solo nel punto x . In altre parole, è un punto di A che non è un punto di accumulazione di A .Polacco : vedi area polacca .
Pre-base
Un prebase di una topologia è un insieme di aperture di cui l'insieme di intersezioni finite costituisce una base .Prodotto : vedere Topologia del prodotto .
Quasi compatto : vedi gli assiomi della ripresa .
Quoziente
Vedi topologia quoziente .Raffinatezza
Un perfezionamento di una sovrapposizione è una sovrapposizione in cui ogni elemento è incluso in un elemento di . In francese, diremo piuttosto un recupero più fine invece di un affinamento.Raro
Si dice che una parte di uno spazio topologico sia rara o in nessun luogo densa quando la sua adesione è internamente vuota, cioè quando il complemento della sua adesione è denso .Recupero
Una sovrapposizione di uno spazio topologico è una famiglia di parti la cui unione è l'intero spazio. Si dice che un ripristino sia aperto quando tutti i suoi elementi sono aperti .Relativamente compatto
Si dice che una parte di uno spazio topologico sia relativamente compatta quando è inclusa in una parte compatta .Regolare : vedere l' assioma di separazione T 3 .
Separabile
Uno spazio separabile è uno spazio che ammette una parte densa numerabile . Uno spazio separato non è necessariamente separabile e viceversa.Separare
Una famiglia di applicazioni continue tra due spazi topologici X e Y è detta separante se due punti distinti in X sono immagini separate Y da almeno una di queste applicazioni. Lo spazio X è quindi necessariamente separato.Separato : vedere l' assioma di separazione T 2 .
Semplicemente connesso Vedi le nozioni di connessione .
Copertura insufficiente
Un undercover di una sovrapposizione K è una parte di K che è anche una sovrapposizione.Sistema fondamentale di quartieri
Un sistema fondamentale di quartieri di un punto è un insieme di quartieri di questo punto tale che qualsiasi altro quartiere di questo punto contiene un elemento di , in altre parole: una base del filtro dei quartieri di questo punto.Suite Cauchy
In uno spazio metrico , un Cauchy è una sequenza di punti tale che per ogni reale strettamente positivo un esiste un rango della sequenza da cui la distanza tra due immagini della sequenza è sempre inferiore a .T 0 , T 1 , T 2 , T 2½ , T 3 , T 3½ , T 4 , T 5 : vedi gli assiomi di separazione .
Topologia
Una topologia su un insieme E è un insieme T di parti di E tale che:Topologia discreta
La topologia discreta su un insieme E è la topologia delle quali sono aperte tutte le parti di E . E 'la sottile di tutte le topologie su E .Topologia generata
La topologia generata da un insieme di parti di un insieme è quella le cui aperture sono le riunioni non specificate di intersezioni finite di elementi di . Il tutto costituisce un prebase della topologia generata.Topologia approssimativa
La topologia banale su un set E è la topologia cui unica aperta sono l'insieme vuoto e l'intero E . Questo è il meno bene di tutte le topologie su E .Topologia indotta
La topologia indotta su una porzione A di uno spazio topologico E è l'insieme di intersezioni di A con l' apertura di E . È la topologia bene almeno A eseguire l'iniezione canonica di A in E continuo . Siano T, T 'due topologie sullo stesso insieme E. La topologia T è meno fine della topologia T' se ogni apertura di T è aperta di T '. Ciò è equivalente alla continuità della mappa identica di (E, T ') in (E, T). Siano T, T 'due topologie sullo stesso insieme E. La topologia T è più fine della topologia T' se qualsiasi apertura di T 'è aperta di T. Ciò equivale alla continuità dell'identica applicazione di (E, T ) in (E, T ').Topologia del prodotto
La topologia prodotta su qualsiasi prodotto di spazi topologici è la topologia da essi generata dove un numero finito di elementi sono aperture dei corrispondenti spazi topologici e gli altri sono gli spazi corrispondenti.È la topologia meno fine che rende continue tutte le proiezioni .
Topologia quoziente
Se E è uno spazio topologico e una relazione di equivalenza su S , la topologia quoziente sul set quoziente è l'insieme di parti cui preimages sono aperti da E . Questa è la topologia che fa finemente continua la proiezione canonica, che in ogni elemento di E combina la sua classe di equivalenza.Topologico : vedi Spazio topologico .
Completamente discontinuo : vedi i concetti di connessione .
Tychonoff : vedi l' assioma di separazione T 3½ o Completamente regolare .
Uniformizzabile : la cui topologia è indotta da una struttura spaziale uniforme ; vedere l' assioma di separazione T 3½ o Completamente regolare .
Valore di adesione
Un valore di adesione di una serie di punti di uno spazio topologico è un punto di cui ogni intorno contiene un'infinità di termini della serie. Se un punto qualsiasi ammette una base numerabile di intorni, un valore di aderenza è il limite di una sottosequenza .Quartiere
Una zona di parte A di uno spazio topologico è un insieme che contiene un aperto contenitore stesso A . In particolare, una zona aperta di A è semplicemente un contenitore aperto A . Un quartiere di un punto p è un quartiere del singleton .Gli spazi topologici possono essere qualificati in diversi modi in termini di separazione , sovrapposizione o connessione .
Alcuni dei termini utilizzati nel presente documento possono essere definiti in modo diverso nella letteratura antica (vedere la storia degli assiomi di separazione (in) ).
T 0 o Kolmogorov : in cui per ogni coppia di punti distinti esiste un intorno di uno che non contiene l'altro.
T 1 o accessibile o da Fréchet : dove tutti i singleton sono chiusi.
T 2 o Hausdorff o separati : in cui due punti distinti ammettono sempre quartieri disgiunti.
T 2½ o completamente Hausdorff : in cui due punti distinti ammettono sempre quartieri chiusi disgiunti.
Regolare : separato e dove ogni punto ammette una base di quartieri chiusi.
Completamente regolare o Tychonoff : separato e uniforme , o ancora: sottospazio di un compatto .
Normale : separato e in cui due qualsiasi disgiunti chiusi hanno sempre quartieri disgiunti. Il lemma Urysohn assicura quindi che entrambi siano chiusi funzionalmente separati .
Completamente normale : di cui tutto il sottospazio è normale.
Perfettamente normale : separato e in cui tutto chiuso è il luogo dell'annullamento di una vera e propria funzione continua.
Gli assiomi della copertura trattano dell'esistenza di particolari rifiniture o sottostrutture per qualsiasi copertura dello spazio considerato.
Paracompact : spazio separato in cui qualsiasi copertura aperta ammette una raffinatezza finita localmente.
Quasi compatto : qualsiasi sovrapposizione aperta di cui ammette una copertura finita
Lindelöf : qualsiasi sovrapposizione aperta di cui ammette una sottocopertura numerabile .
Contabilmente compatto : qualsiasi sovrapposizione aperta numerabile di cui ammette un sottofondo finito
Compatto : quasi compatto e separato .
Il termine compatto è usato in inglese per descrivere un quasi compatto. Il rischio di confusione può quindi portare a specificare "Hausdorff compatto" per designare il significato francese. Vedi anche Relativamente compatto .σ-compact o sigma-compact o numerabile all'infinito : unione di una serie di parti compatte K n .
Hémicompact (en) : σ-compact con inoltre qualsiasi compatto di spazio è compreso in uno di K n .
Localmente compatto : separato, e ogni punto di cui ammette un sistema fondamentale di quartieri compatti.
Sequenzialmente compatto : in cui ogni sequenza ammette almeno una sottosequenza convergente.
Le ipotesi di connessione descrivono la coesione dello spazio o di certi quartieri, o l'esistenza di deformazioni ( omotopie ) tra certe applicazioni continue verso lo spazio considerato.
Correlato : che non è l'unione disgiunta di due aperti non vuoti.
Vedi anche Componente correlato .Connessi localmente : ogni punto del quale ammette un sistema fondamentale di quartieri collegati.
Totalmente discontinuo : le cui uniche parti collegate sono i singleton e l'insieme vuoto.
Collegato da archi : di cui una qualsiasi coppia di puntiè collegata da un percorso (o arco), cioè una mappa continuatale chee.
Uno spazio connesso da archi è connesso.Collegati localmente da archi : ogni punto del quale ammette un fondamentale sistema di quartieri collegati da archi.
Uno spazio connesso localmente da archi è connesso se e solo se è connesso da archi.Semplicemente connesso : connesso da archi e in cui ogni mappa continuaè omotopica a una mappa costante.
Contrattile : per cui la mappa identitaria diè omotopica ad una mappa costante.
Gli spazi contrattili sono sempre semplicemente connessi.