In matematica , l'insieme di tutte le possibili topologie su un dato insieme ha una struttura dell'insieme parzialmente ordinata . Questa relazione d'ordine consente di confrontare le diverse topologie .
Lasciate τ 1 e T si 2 due topologie su un insieme X .
Diciamo che τ 2 è più fine di τ 1 (oppure che τ 1 è meno fine di τ 2 ) e indichiamo con τ 1 ⊆ τ 2 se l' identità di mappatura id X : ( X , τ 2 ) → ( X , τ 1 ) è continuo .
Se inoltre τ 1 ≠ τ 2 , diciamo che τ 2 è strettamente più fine di τ 1 (oppure che τ 1 è strettamente meno fine di τ 2 ).
La relazione binaria ⊆ definisce un ordine parziale sul set di tutti i possibili topologie su X .
La topologia migliore su X è la topologia discreta ; in questa topologia, tutti i sottoinsiemi sono aperti . La topologia più debole su X è la topologia grossolana ; questa topologia ammette solo l' insieme vuoto e l'intero insieme come aperti.
Negli spazi delle funzioni e negli spazi di misurazione esiste un gran numero di possibili topologie. Ad esempio, lo spazio delle funzioni continue definito sull'unità intervallo [0, 1] può essere dotato della topologia di convergenza semplice o di topologia di convergenza uniforme : la seconda è più fine della prima.
Lasciate τ 1 e T si 2 due topologie su un insieme X . Le seguenti proposizioni sono equivalenti:
Abbiamo due corollari immediati:
È inoltre possibile confrontare le topologie utilizzando i database di vicinato . Siano τ 1 e τ 2 due topologie su un insieme X e sia B i ( x ) una base locale di intorno per la topologia τ i in x ∈ X per i = 1,2. Allora τ 1 ⊆ τ 2 se e solo se per ogni x ∈ X , ogni U 1 aperto in B 1 ( x ) contiene un U 2 aperto in B 2 ( x ). Intuitivamente, ciò significa che una topologia più fine deve avere quartieri "più piccoli".
L'insieme di tutte le topologie su un insieme X dotato della relazione di ordine parziale ⊆ forma un reticolo completo . Qualsiasi raccolta di topologie su X ha un limite inferiore e un limite superiore . Il limite inferiore di una raccolta di topologie è l'intersezione di queste topologie. Il limite superiore, tuttavia, generalmente non è l'unione di queste topologie (l'unione di due topologie non è una topologia) ma la topologia generata dall'unione.