Spazio totalmente discontinuo

In matematica , più precisamente in topologia , uno spazio totalmente discontinuo è uno spazio topologico che è "il meno connesso possibile" nel senso che non ha una parte connessa non banale: in ogni spazio topologico, l' insieme vuoto e il singleton sono correlati ; in uno spazio totalmente discontinuo, queste sono le uniche parti collegate.

Un esempio popolare di uno spazio totalmente discontinuo è il set Cantor . Un altro esempio, importante nella teoria algebrica dei numeri , è il campo Q p dei numeri p-adici .

Definizione

Uno spazio topologico X è totalmente discontinuo se la componente connessa di qualsiasi punto x di X è il singoletto { x }.

Esempi

I seguenti spazi sono completamente discontinui:

• tutti spazi totalmente separati (cioè in cui due punti distinti possono sempre essere separati da un aperto-chiuso ), in particolare
  • tutti gli spazi T 0 di dimensione zero (quindi regolari ), come:
    • gli spazi discreti  ;
    • le parti non vuote di R con interno vuoto;
    • l'anello Z p di interi p -adici , o più in generale, qualsiasi gruppo profino  ;
    • il Sorgenfrey destro (questo spazio, a differenza dei precedenti, non è localmente compatto ).
  • i seguenti due spazi (totalmente separati ma non a dimensione zero):
    • spazio di Erdős delle suite quadrate sommabili di razionale e sue generalizzazioni (la cui dimensione è 1);
    • Il traliccio di Roy è stato privato della parte superiore.
• il teepee Cantor privato della sua sommità (totalmente scollegato ma non completamente separato).

Proprietà

• I sottospazi, spazi prodotto e coprodotti di spazi totalmente discontinui sono totalmente discontinui.
• Uno spazio totalmente discontinuo è sempre T 1 , poiché i suoi singleton sono chiusi.
• Un'immagine continua di uno spazio totalmente discontinuo non è necessariamente totalmente discontinua (ad esempio: qualsiasi compatto metrizzabile è un'immagine continua dello spazio di Cantor).
• Uno spazio localmente compatto è completamente discontinuo se e solo se è di dimensione zero.
• Uno spazio compatto è totalmente discontinuo se e solo se è totalmente separato, e se e solo se è lo spazio Stone S ( B ) di un'algebra booleana B (i punti di S ( B ) sono gli ultrafiltri su B che non contengono 0 , e una base aperta consiste di { x ∈ S ( B ) | b ∈ x }, per b elemento di B ); S ( B ) è estremamente discontinuo  ( cioè l' adesione di tutto aperto è aperta) se e solo se B è completo  ;
• Qualsiasi spazio metrizzabile totalmente discontinuo è omeomorfo a un sottospazio di un prodotto numerabile di spazi discreti.
• Per ogni spazio topologico X , lo spazio delle componenti connesse di X è “il più grande” quoziente di X che è totalmente discontinuo, nel senso che è iniziale tra tali quozienti.

Note e riferimenti

• (fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato "  Spazio totalmente disconnesso  " ( vedere l'elenco degli autori ) .
• (en) Stephen Willard , Topologia generale , Dover ,2012( 1 a  ed. 1970), 384  p. ( ISBN  978-0-486-13178-8 , leggi in linea )

1. (en) Lynn Arthur Steen e J. Arthur Seebach, Jr. , Controesempi in topologia , Dover ,1995( 1 st  ed. Springer , 1978) ( leggi in linea ) , p.  32-33.
2. (in) P. Erdős, "  La dimensione del punto razionale nello spazio di Hilbert  " , Ann. Matematica. , 2 nd serie, vol.  41,1940, p.  734-736 ( leggi in linea ).
3. (in) Michel Coornaert, Dimensione topologica e sistemi dinamici , Springer,2015( DOI  10.1007 / 978-3-319-19794-4 , letto online ) , cap.  5.1.
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5. Steen e Seebach , Controesempi 127 (sottospazio reticolare di Roy) .
6. (in) Andrew M. Gleason , "  Spazi topologici proiettivi  " , Illinois J. Math. , vol.  2, n o  4A,1958, p.  482-489 ( leggi in linea ).

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