Spazio Kolmogorov

Nella topologia e in altri rami della matematica , uno spazio di Kolmogorov (o spazio T 0 ) è uno spazio topologico in cui tutti i punti possono essere "distinti topologicamente". Di tutti gli assiomi di separazione che si possono chiedere a uno spazio topologico, questa condizione è la più debole.

Gli spazi di Kolmogorov devono il loro nome al matematico russo Andrei Kolmogorov .

Definizione

Uno spazio topologico X si dice che sia Kolmogorov se per ogni coppia di elementi distinti x ed y di X , esiste una zona di x che non contiene y o un intorno di y che non contiene x .

In modo equivalente, X è di Kolmogorov se per tutti i punti distinti esiste un aperto che contiene uno dei due punti ma non l'altro, o ancora, uno dei due punti non è aderente all'altro.

Diciamo anche che un tale spazio soddisfa la proprietà di separazione T 0 .

Esempi

Spazi non T 0

• Uno spazio fornito con la topologia grossolana non è T 0 , poiché contiene più di un elemento. Più in generale, la topologia Alexandrov di un preordine non è T 0 , a meno che questo preordine non sia un ordine .
• Uno ℝ - spazio vettoriale , dotato di una semi-norma che non è una norma , non è T 0 .

Spazi T 0 ma non T 1

Uno spazio T 1 è uno spazio in cui per tutti gli elementi distinti x e y esiste un intorno di x che non contiene y e un intorno di y che non contiene x , o in cui tutti i singleton sono chiusi .

• La topologia corretta di un ordine è T 0 . È T 1 solo se è discreto , cioè se questo ordine è l' uguaglianza . Ad esempio, su un insieme appuntito ( X , p ):
  • la topologia le cui aperture sono ∅ e le parti contenenti p è T 0 , ma non T 1 se X ha elementi diversi da p ({ p } non è quindi chiuso). Se X ha due elementi, è lo spazio di Sierpiński .
  • lo stesso per la topologia le cui chiuse sono queste stesse parti ({ p } è quindi l'unico singleton chiuso).
• La topologia Zariski su uno spettro di anello commutativo è sempre T 0 ma generalmente T 1 . I punti non chiusi corrispondono agli ideali primi non massimi . Sono importanti per comprendere i modelli .

Indistinguibile

In uno spazio topologico, due punti sono chiamati indistinguibili  (in) se appartengono esattamente allo stesso aperto o se hanno esattamente gli stessi quartieri. È la relazione di equivalenza associata al preordine di specializzazione  (en)  : x ≤ y se e solo se x appartiene all'adesione del singoletto { y }. Uno spazio è quindi T 0 quando le classi di equivalenza sono tutte ridotte a singleton , in altre parole quando il preordine è un ordine.

Proprietà

Il quoziente di qualsiasi spazio topologico dalla precedente relazione di equivalenza, chiamata quoziente di Kolmogorov , è sempre uno spazio di Kolmogorov.

Un prodotto di spazi non vuoti è Kolmogorov se e solo se ogni fattore lo è.

Qualsiasi sottospazio di uno spazio di Kolmogorov è ancora Kolmogorov.

Qualsiasi spazio di Kolmogorov X è omeomorfo a un sottospazio del prodotto Q C ( X , Q ) , dove Q è l' intervallo [0, 1] con la topologia sinistra rigorosa e C ( X , Q ) sono tutte le applicazioni continue di X in Q . È anche naturalmente immerso nel prodotto S C ( X , S ) ≃ S T , dove S è la coppia {0, 1} dotata della topologia di Sierpiński e C ( X , S ) è l'insieme delle mappature continue di X in S , equipotente all'insieme T della X aperta .

Note e riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato "  Spazio Kolmogorov  " ( vedere l'elenco degli autori ) .

1. François Guénard e Gilbert Lelièvre , Analisi aggiuntiva, vol. 1: Topologia, prima parte , ENS Fontenay ed.,1985( leggi in linea ) , p.  28. Questi autori chiamano la topologia di Q "superiore" o "lineare" , ma non è la topologia corretta .