Immagine reciproca

In matematica , l' immagine reciproco - o preimmagine - di una parte B di un insieme Y da una mappa f  : X → Y è il sottoinsieme di X compone di elementi la cui immagine da f appartiene B  : . È quindi caratterizzato da: f-1(B)={X∈X∣f(X)∈B}{\ Displaystyle f ^ {- 1} (B) = \ {x \ in X \ mid f (x) \ in B \}}

X∈f-1(B)⇔f(X)∈B{\ Displaystyle x \ in f ^ {- 1} (B) \ Leftrightarrow f (x) \ in B}.

Esempi

• L'immagine inversa di un singoletto per una funzione f è l'insieme degli antecedenti di y per f .f-1({y}){\ displaystyle f ^ {- 1} (\ {y \})} {y}{\ displaystyle \ {y \}}
• Considera la mappa f  : {1, 2, 3} → { a , b , c , d } definita da f (1) = a , f (2) = c , f (3) = d . L'immagine inversa di { a , b } per f è f −1 ({ a , b }) = {1}.

L'applicazione "immagine reciproca"

Con questa definizione, f -1 è "immagine reciproco (da f )" mappa, il cui insieme di definizione è l' insieme di parti di Y e la cui estremità set è l'insieme di parti di X .

Attenzione  : Quando f è una biiezione , non confondere questa applicazione alle parti con la biiezione inversa di f , indicata anche f -1 di Y in X . L'immagine reciproca di f è identificata con l' immagine diretta da questa biiezione reciproca f −1 . Per evitare ogni confusione, Birkhoff e Mac Lane parlano di una "mappa impostata" che annotano f * invece di f −1 .

Proprietà elementari

• Per tutte le feste e da  : B1{\ displaystyle B_ {1}}B2{\ displaystyle B_ {2}}Y{\ displaystyle Y} f-1(B1∪B2)=f-1(B1)∪f-1(B2){\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (B_ {1} \ cup B_ {2} \ right) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ cup f ^ {- 1} (B_ {2 })} ; f-1(B1∩B2)=f-1(B1)∩f-1(B2){\ Displaystyle f ^ {- 1} \ left (B_ {1} \ cap B_ {2} \ right) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ cap f ^ {- 1} (B_ {2 })} ; f-1(B1∖B2)=f-1(B1)∖f-1(B2){\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (B_ {1} \ setminus B_ {2} \ right) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ setminus f ^ {- 1} (B_ {2 })}.
• Per qualsiasi parte di , . B{\ displaystyle B}Y{\ displaystyle Y}f(f-1(B))=B∩iom(f){\ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B \ cap \ mathrm {Im} (f)}
  • In particolare se è suriettivo allora . f{\ displaystyle f}f(f-1(B))=B{\ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B}Possiamo anche dimostrare che è suriettivo se e solo se per qualsiasi parte di ciò che abbiamo .f{\ displaystyle f}B{\ displaystyle B}Y{\ displaystyle Y}f(f-1(B))=B{\ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B}
• Per qualsiasi parte di , . A{\ displaystyle A}X{\ displaystyle X}A⊂f-1(f(A)){\ displaystyle A \ subset f ^ {- 1} (f (A))}L'inclusione nell'altra direzione è generalmente falsa se non è iniettiva .f{\ displaystyle f} Possiamo anche dimostrare che è iniettivo se e solo se per qualsiasi parte di ciò che abbiamo .f{\ displaystyle f}A{\ displaystyle A}X{\ displaystyle X}f-1(f(A))=A{\ displaystyle f ^ {- 1} (f (A)) = A}
• Per qualsiasi famiglia di parti non vuota di  : (Bio)io∈io{\ displaystyle \ left (B_ {i} \ right) _ {i \ in I}}Y{\ displaystyle Y} f-1(⋂io∈ioBio)=⋂io∈iof-1(Bio){\ Displaystyle f ^ {- 1} \ left (\ bigcap _ {i \ in I} B_ {i} \ right) = \ bigcap _ {i \ in I} f ^ {- 1} (B_ {i}) } ; f-1(⋃io∈ioBio)=⋃io∈iof-1(Bio){\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (\ bigcup _ {i \ in I} B_ {i} \ right) = \ bigcup _ {i \ in I} f ^ {- 1} (B_ {i}) }.
• Considerando un applicazione di più , quindi l'immagine inversa di una porzione di del composito è: g:Y→Z{\ displaystyle g: Y \ rightarrow Z}VS{\ displaystyle C}Z{\ displaystyle Z} g∘f{\ displaystyle g \ circ f}(g∘f)-1(VS)=f-1(g-1(VS)).{\ displaystyle (g \ circ f) ^ {- 1} \ sinistra (C \ destra) = f ^ {- 1} (g ^ {- 1} (C)).}

Note e riferimenti

1. Saunders Mac Lane e Garrett Birkhoff , Algebra [ dettaglio delle edizioni ], volo. 1, p.  8 .
2. Per una dimostrazione, vedi ad esempio la risposta al corrispondente esercizio su Wikiversità .

Articoli Correlati

• Relazione binaria reciproca
• L'operazione di immagine reciproca in geometria differenziale , chiamata anche "pullback" o "pullback".

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