Un poliedro è una forma geometrica in tre dimensioni (un solido geometrico ) avente facce piane poligonali che si presentano secondo segmenti retti chiamati spigoli .
La parola poliedro , che significa con più facce , deriva dalle radici greche πολύς ( polis ), "molto" e ἕδρα ( hedra ), "base", "sede" o "faccia". Un poliedro è un solido le cui facce sono tutte poligoni. I lati di questi poligoni sono chiamati bordi. Le estremità dei bordi sono punti chiamati vertici.
Come molti altri concetti, la nozione di poliedro fu formalmente introdotta dai greci . Il loro studio occupa un posto molto significativo negli Elementi di Euclide e, per quanto riguarda la matematica, costituiva una delle preoccupazioni importanti di Platone .
Tuttavia, basta contemplare le piramidi per rendersi conto che questa nozione è stata percepita fin da tempi ancora più antichi.
Dopo Platone, Euclide e di Archimede in antichità , lo studio dei poliedri ha occupato molte menti buoni dei tempi moderni, ed in particolare quelli di Keplero , Eulero , Poincaré , Hilbert , etc.
La definizione data nell'introduzione può sembrare abbastanza chiara alla maggior parte di noi. Non è per un matematico . Per quanto strano possa sembrare, poiché il concetto di poliedro non si riferisce alla dimensione dello spazio in cui si trova, non esiste una definizione universalmente condivisa di ciò che fa "qualcosa" o un poliedro (il cuore del problema deriva dalla fatto che la nozione intuitiva di poliedro non è esattamente la stessa a seconda che nell'idea abbiamo una superficie o un volume).
Per superare questa difficoltà, introduciamo la nozione di simplesso . Può essere considerato equivalente a quello di un poliedro in dimensione 3 e consente generalizzazioni a dimensioni superiori. Un poliedro di dimensione è quindi l'unione di un insieme finito di simplessi di dimensione tale che ciascuna delle -facce ( ) di un simplesso sia un elemento di , e tale che per ogni coppia di simplessi l'intersezione sia vuota o una -faccia comune a e .
Quindi un simplesso rappresenta una definizione generalizzabile della nozione intuitiva di poliedro. È l'unione delle sue -facce, e l'intersezione di qualsiasi due -facce di un simplesso è vuota o una faccia di dimensione . Ad esempio, un triangolo, che è un 2-simplex, è l'unione di segmenti e l'intersezione di due segmenti adiacenti è un punto che è un vertice del triangolo.
Un poliedro sembra quindi essere costruito da diversi tipi di elementi o entità, presentando un diverso numero di dimensioni:
Ne consegue che l'oggetto sottostante non è un poliedro ai sensi di questa definizione. La faccia superiore della scatola, infatti, non è delimitata da uno ma da due circuiti di spigoli: uno che la delimita esternamente e l'altro che la delimita internamente.
Più in generale in matematica e in altre discipline, il termine "poliedro" è usato per riferirsi a una varietà di costruzioni correlate, alcune geometriche e altre puramente algebriche o astratte.
In particolare, un politopo è un poliedro convesso e limitato.
In Computational Geometry: An Introduction , Preparata (en) e Shamos (en) definiscono i poliedri da un insieme finito di poligoni planari in modo tale che ogni bordo di un poligono sia condiviso da un altro poligono e qualsiasi altro sottoinsieme di poligoni non possiede questa proprietà . Questa definizione implica vincoli rigorosi: ad esempio, i poliedri non devono presentare autointersezioni.
I poliedri sono generalmente chiamati in base al loro numero di facce. La nomenclatura è basata sul greco classico. Abbiamo così, ad esempio: tetraedro (4 facce), pentaedro (5 facce), esaedro (6 facce), ettaedro (7 facce), triacontaedro (30 facce), e così via. Questo metodo di designazione ha il suo equivalente nella nomenclatura dei poligoni.
Gli spigoli hanno due caratteristiche importanti (a meno che il poliedro non sia complesso ):
Queste due caratteristiche sono duplici .
Un poliedro si dice convesso se un punto qualsiasi di un segmento che unisce due punti qualsiasi del poliedro appartiene al poliedro. In altre parole, un poliedro è convesso se tutte le sue diagonali sono interamente contenute al suo interno. È possibile dare una definizione baricentrica di tale poliedro: è l' inviluppo convesso di un insieme finito di punti non complanari .
Sia un poliedro. Se notiamo:
chiamiamo la caratteristica di Eulero il numero
Per un poliedro convesso , questa caratteristica è sempre uguale a 2. È la relazione di Eulero
Per ogni poliedro esiste un poliedro duale avente facce al posto dei vertici originari e viceversa. Nella maggior parte dei casi, il duale può essere ottenuto mediante il processo di reciprocità sferica . Il duale di un poliedro regolare può essere costruito unendo i centri di facce adiacenti.
Un poliedro è una forma tridimensionale che consiste in un numero finito di facce poligonali che sono parti di piani ; le facce si incontrano lungo i bordi che sono segmenti di destra e i bordi si incontrano nei punti designati picchi. I cubi , i prismi e le piramidi sono esempi di poliedri.
Molto spesso, il poliedro delimita un volume limitato di spazio tridimensionale. A volte questo volume interno è considerato parte del poliedro; altre volte viene considerata solo la superficie. I poliedri tradizionali includono i cinque poliedri convessi regolari chiamati solidi platonici : il tetraedro (4 facce), il cubo (o esaedro) (6 facce), l' ottaedro (8 facce), il dodecaedro regolare (12 facce) e l' icosaedro (20 facce) ). Gli altri poliedri tradizionali sono i quattro poliedri regolari non convessi ( solidi di Keplero-Poinsot ), i tredici solidi di Archimede convessi (cubottaedro, icosidodecaedro, tetraedro troncato, cubo troncato, ottaedro troncato, dodecaedro troncato icosaedrocutaedro, cubottaedro troncato, troncato , cubo morbido, dodecaedro morbido e rombicosidodecaedro) e i restanti 53 poliedri uniformi .
Un poliedro ha almeno 4 facce, 4 vertici e 6 spigoli. Il poliedro più piccolo è il tetraedro.
Possiamo definire varie classi di poliedri con particolari simmetrie :
Chiamiamo un solido uniforme un solido con tutte le facce regolari e tutti i vertici identici. Così sono tutti i precedenti solidi regolari e semiregolari. Sono 75 in tutto, a cui vanno aggiunte le due infinite famiglie di prismi e antiprismi .
Naturalmente, è facile torcere tali poliedri in modo tale che non siano più simmetrici. Ma, quando viene dato un nome di poliedro, come l' icosidodecaedro , è sempre coinvolta la geometria più simmetrica, a meno che non sia indicato diversamente.
I gruppi di simmetria poliedrici sono tutti gruppi di punti e includono:
I poliedri simmetrici chirali non hanno simmetria assiale e quindi hanno due forme enantiomorfe che sono riflessi l'uno dell'altro. I poliedri molli hanno questa proprietà.
Poliedri regolariUn poliedro regolare ha facce regolari e vertici regolari. Anche il duale di un poliedro regolare è regolare.
Partiamo da un vertice e prendiamo i punti posti ad una data distanza su ciascuno degli spigoli. Collega questi punti, otteniamo il poligono del vertice . Se questo è regolare diciamo che la parte superiore è regolare. Un poliedro è regolare se è costituito da tutte le facce identiche e regolari e tutti i suoi vertici sono identici. Sono nove, divisi convenzionalmente in due famiglie:
I poliedri quasi-regolari sono facce regolari di sommità uniforme e bordo uniforme . Ce ne sono due convesse:
I poliedri duali quasi regolari hanno un bordo uniforme e una faccia uniforme (in) . Ne esistono due convessi, in corrispondenza dei due precedenti:
Poliedri semiregolari e loro dualiIl termine semi-regolare è variamente definito. Una definizione è "poliedri di vertice uniforme con due o più tipi di facce poligonali". Sono infatti i poliedri uniformi che non sono né regolari né quasi regolari.
Un poliedro è semiregolare se le sue facce sono costituite da diversi tipi di poligoni regolari e tutti i suoi vertici sono identici. Così sono, ad esempio , i solidi di Archimede , i prismi regolari e gli antiprismi. La terminologia non sembra essere completamente fissa. Si parla talvolta di solidi semiregolari della prima specie per designare quelli di questi solidi che sono convessi , e di solidi uniformi per il caso generale. I poliedri catalani sono semiregolari, ma hanno facce identiche e cime regolari. Talvolta si dice che tali poliedri sono semi-regolari del secondo tipo .
I poliedri convessi e i loro duali includono gli insiemi di:
Uniforme convessa | Doppio convesso | Uniforme stellata | Doppia stella | |
---|---|---|---|---|
Regolare | Solidi platonici | Solidi di Keplero-Poinsot | ||
Quasi regolare | solidi di Archimede | Solidi catalani | (nessun nome speciale) | (nessun nome speciale) |
Semi-regolare | (nessun nome speciale) | (nessun nome speciale) | ||
prismi | Diamanti | Prismi stellari | Diamanti stellati | |
Antiprismi | trapezoedri | Antiprismi a stella | Stella trapezoidale |
Ci sono anche molti poliedri uniformi non convessi , inclusi esempi di vari tipi di prismi.
Poliedri nobiliUn poliedro nobile (en) è sia isoedrico (en) (lati uguali) che isogonale (angoli uguali). Oltre ai poliedri regolari, ci sono molti altri esempi.
Il duale di un poliedro nobile è anche un poliedro nobile.
Alcune famiglie di poliedri, dove ogni faccia è un poligono dello stesso tipo:
Non esiste un poliedro le cui facce sono tutte uguali e che sono poligoni regolari con sei o più lati perché il punto d'incontro di tre esagoni regolari definisce un piano. (vedi poliedro obliquo infinito per le eccezioni).
deltaedriUn deltaedro è un poliedro le cui facce sono tutte triangoli equilateri. Ce ne sono un numero infinito, ma solo otto sono convessi:
Norman Johnson ha cercato poliedri non uniformi con facce regolari. Nel 1966 pubblicò un elenco di 92 solidi convessi, ora noti come solidi di Johnson , e diede loro nomi e numeri. Non ha dimostrato che ce ne fossero solo 92, ma ha ipotizzato che non ce ne fossero più. Victor Zalgaller (in) nel 1969 ha dimostrato che l'elenco di Johnson era completo.
Le piramidi sono autoduali.
Stellazioni e sfaccettatureLa stellazione di un poliedro è il processo di espansione delle facce (nei loro piani), cioè si incontrano per formare un nuovo poliedro.
È l'esatto contrario della sfaccettatura che è il processo di rimozione di parti di un poliedro senza creare nuovi vertici. La sfaccettatura permette di ottenere, tra l'altro, molti nuovi solidi concavi semiregolari. Costruiamo nuove facce regolari raggruppando gli spigoli di un poliedro semiregolare. Il più semplice è un ettaedro costruito dall'ottaedro, composto da tre facce quadrate e quattro facce triangolari.
TroncamentiE' l'operazione che consiste nel piallare un vertice o uno spigolo. Conserva le simmetrie del solido.
Troncamento dei verticiQuesta operazione permette di ottenere sette dei solidi di Archimede dai solidi platonici. Notiamo infatti che piallatura sempre di più i bordi di un cubo si ottiene successivamente il cubo troncato , il cubottaedro , il tronco di ottaedro e infine l'ottaedro . Possiamo anche seguire questa serie nell'altra direzione.
Partendo dal dodecaedro regolare, si ottiene il dodecaedro troncato , l' icosidodecaedro , l' icosaedro troncato (che dà la forma al pallone da calcio), quindi l' ottaedro .
Il tetraedro dà il tetraedro troncato .
Possiamo applicare questa operazione al dodecaedro grande o all'icosaedro grande e ottenere solidi uniformi concavi.
Troncamento del bordoDa un cubo, questa operazione dà successivamente un cubottaedro , quindi un dodecaedro rombico .
Da un dodecaedro regolare si ottiene l' icosidodecaedro e poi il triacontaedro rombico .
I compostiI composti poliedrici si formano come composti di due o più poliedri.
Questi composti condividono spesso gli stessi vertici di altri poliedri e sono spesso formati per stellazione. Alcuni sono elencati nell'elenco del poliedro modello Wenninger (in) .
ZonoedriUno zonohedron è un poliedro convesso dove ogni faccia è un poligono con simmetria inversa o, equivalentemente, rotazioni di 180°.
La parola "poliedro" è stata utilizzata per una varietà di oggetti con proprietà strutturali simili ai poliedri tradizionali.
Un poliedro complesso (en) è un poliedro che è costruito in uno spazio di tre dimensioni complesse. Questo spazio ha sei dimensioni: tre dimensioni reali corrispondenti allo spazio ordinario, con una dimensione immaginaria che accompagna ciascuna.
Alcuni campi di studio consentono ai poliedri di avere facce e bordi curvi.
Poliedri sfericiLa superficie di una sfera può essere divisa da archi di grandi cerchi (regioni delimitanti chiamate poligoni sferici ) per formare un poliedro sferico . Questo punto di vista è molto adatto per dimostrare gran parte della teoria dei poliedri simmetrici.
I poliedri curvi che riempiono lo spazioI due tipi importanti sono:
Più recentemente, i matematici hanno definito un poliedro come un insieme in uno spazio reale affine (o euclideo ) di qualsiasi dimensione n che ha lati piatti. Può essere definito come l'unione di un numero finito di poliedri convessi, dove un poliedro convesso è un qualsiasi insieme che è l'intersezione di un numero finito di semispazi . Può essere limitato o illimitato. In questo senso, un politopo è un poliedro limitato.
Tutti i poliedri tradizionali sono poliedri generali e, inoltre, ci sono esempi come:
“ Il Peccato Originale nella teoria dei poliedri risale ad Euclide, poi attraverso Keplero, Poinsot , Cauchy , Hess (de) , Brückner… [in questo] che in ogni fase… gli autori non sono riusciti a definire cosa “sono” poliedri”… "
. Vedi anche Grünbaum 2003 .