Ottaedro troncato

Descrizione dell'immagine truncatedoctahedron.gif.

Elementi

Facce	Bordi	Vertici
14 (8 esagoni e 6 quadrati )	36	24 di grado 3

Dati chiave

genere	Archimede solido
Caratteristica	2
Proprietà	Semiregolare e convesso, zonoedro
Doppio	Tetrakihexahedron

L' ottaedro troncato o tétrakaidécaèdre di Archimede è un poliedro avente 8 lati esagonali regolari , 6 lati quadrati , 24 vertici identici e 36 bordi uguali. Essendo le sue facce poligoni regolari che si incontrano a vertici identici, l'ottaedro troncato è un solido di Archimede . Ogni faccia ha un centro di simmetria , è anche uno zonoedro .

Coordinate e permutazioni

Eseguendo le permutazioni di (0, ± 1, ± 2) si ottengono le coordinate cartesiane dei vertici di un ottaedro troncato centrato all'origine. I vertici sono anche quelli di 12 rettangoli le cui lunghezze sono parallele agli assi delle coordinate. ${\ displaystyle 6 \ times 4 = 24}$

L'ottaedro troncato può anche essere rappresentato da coordinate più simmetriche nella dimensione quattro: le 24 permutazioni di (1,2,3,4) formano i vertici di un ottaedro troncato nel sottospazio di dimensione 3 $x + y + z + w = 10$ . Per questo motivo, l'ottaedro troncato è talvolta noto anche come permutoedro . La costruzione si generalizza a qualsiasi $n$ , e forma un politopo di dimensione $n - 1$ , i cui vertici essendo ottenuti da $n !$ permutazioni di $(1,2, .., n )$ . Ad esempio, le sei permutazioni di (1,2,3) formano un esagono regolare nel piano $x + y + z = 6$ .

Costruzione geometrica

Otteniamo un tetrakaidecaedro di Archimede (o ottaedro troncato) troncando i 6 vertici di un ottaedro regolare all'altezza di un terzo di ciascun bordo.

Possiamo anche costruire un ottaedro troncato usando il modello opposto.

Misure e volume

Se i bordi dell'ottaedro troncato sono di lunghezza a ,

il suo volume è:

{\ displaystyle V = 8 {\ sqrt {2}} \ a ^ {3} \ circa 11 {,} 3137 \ a ^ {3}}

Dimostrazione

L'ottaedro da cui proviene l'ottaedro troncato ha una lunghezza del bordo . Possiamo vederlo come l'unione di due piramidi di base quadrata (bordo $b$ ) e altezza , quindi volume . Ciascuna delle 6 piccole piramidi rimosse dall'ottaedro era 3 volte più piccola quindi 3 3 = 27 volte meno voluminosa: Il volume dell'ottaedro troncato è quindi: ${\ displaystyle b = 3a}$ ${\ displaystyle \ textstyle b {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle v_ {0} = {\ frac {1} {3}} \ left (b {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ right) b ^ {2} = b ^ { 3} {\ frac {\ sqrt {2}} {6}}}$ ${\ displaystyle v_ {1} = v_ {0} / 27.}$ ${\ displaystyle \ textstyle V = 2v_ {0} -6v_ {1} = \ left (2 - {\ frac {6} {27}} \ right) b ^ {3} {\ frac {\ sqrt {2}} {6}} = {\ frac {8} {27}} {\ sqrt {2}} \ b ^ {3} = 8 {\ sqrt {2}} \ a ^ {3}.}$

l'area della sua superficie è:

{\ displaystyle A = 6 \, (1 + 2 {\ sqrt {3}}) \ a ^ {2} \ circa 26 {,} 7846 \ a ^ {2}}

Dimostrazione

La superficie dell'ottaedro troncato è composta da 6 facce quadrate e 8 facce esagonali, ogni lato $a$ . Ogni quadrato è di area Possiamo vedere ogni esagono come l'unione di 6 triangoli equilateri di lato $ha$ quindi di area : l'area di ogni esagono è L'area totale è quindi finalmente: ${\ displaystyle A _ {\ mathrm {c}} = a ^ {2}.}$ ${\ displaystyle \ textstyle A _ {\ mathrm {t}} = {\ frac {1} {2}} (a) \ left (a {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ right) = a ^ {2} {\ frac {\ sqrt {3}} {4}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle A _ {\ mathrm {h}} = 6A _ {\ mathrm {t}} = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} a ^ {2}.}$ ${\ displaystyle \ textstyle A = 6A _ {\ mathrm {c}} + 8A _ {\ mathrm {h}} = (6 + 12 {\ sqrt {3}}) \ a ^ {2}.}$

Note e riferimenti

Un tetrakaidecaedro è un poliedro con 14 facce .

Vedi anche

Bibliografia

(en) Robert Williams, The Geometrics Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design , 1979, ( ISBN 0-486-23729-X )
(it) Mathworld: l'ottaedro troncato

link esterno

(in) [1]
(it) Virtual Polyhedra: Encyclopedia polyhedra
(in) [2]
(pollici) [3]