Assistente operatore

In matematica , un operatore assistente è un operatore su uno spazio prehilbertiano che è definito, quando possibile, da un altro operatore A e che indichiamo con A * . Si dice anche che A * è l'aggiunta dell'operatore A .

Questo operatore assistente permette di far passare l'operatore A dalla parte destra del prodotto scalare che definisce lo spazio prehilbertiano alla parte sinistra del prodotto scalare. Si tratta quindi di una generalizzazione della nozione di matrice trasposta a spazi di dimensione infinita.

Se l'operatore iniziale è continuo e se lo spazio vettoriale è completo , l'aggiunta è sempre definita. Quindi nel caso della dimensione finita, l'assistente di qualsiasi operatore è ben definito. L'applicazione che associa dell'annessa ad un operatore è un semi-lineare (en) e involutiva isometry .  

La nozione di aggiunto permette di definire un insieme di operatori aventi una particolare compatibilità rispetto al prodotto scalare, operatori commutanti con il loro aggiunto. Quindi si dice che siano normali . Tra questi operatori vi sono tre importanti casi particolari, quello di operatore auto- assistente (assistente di se stesso), anti-auto- assistente (assistente del suo opposto) e unitario (inverso del suo assistente). Su uno spazio vettoriale reale i termini usati sono rispettivamente: simmetrico , antisimmetrico e ortogonale . Su uno spazio vettoriale complesso si dice rispettivamente: hermitiano (o hermitico), antihermitiano (o antihermitico) e unitario .

Il concetto di assistente di un operatore ha molte applicazioni. In dimensione finita e nel campo dei numeri complessi, la struttura degli endomorfismi normali è semplice, possono essere diagonalizzati in base ortonormale . Il caso della dimensione infinita è più complesso. È importante nell'analisi funzionale . Particolarmente studiato è il caso autoaggiunto, che fornisce il quadro più semplice della teoria spettrale , che è esso stesso al centro della meccanica quantistica . Nella teoria degli operatori , una C*-algebra è uno spazio di Banach provvisto di una legge di composizione interna simile alla composizione degli operatori e di un'operazione a stella avente le stesse proprietà dell'applicazione che associa il suo complemento ad un operatore.

Definizioni

L'assistente di un operatore è una nozione che corrisponde a situazioni molto diverse. Può essere applicato nel caso di uno spazio euclideo o hermitiano , cioè in dimensione finita . Viene utilizzato anche nel contesto più semplice dell'analisi funzionale , cioè in uno spazio di Hilbert o in uno spazio prehilbertiano . Infine, può essere applicato in un quadro molto generale agli spazi di Banach . Per questo motivo coesistono due definizioni.

prehilbertiano

Questa definizione copre in pratica due quadri teorici alquanto diversi. Quello della dimensione finita e quello in cui non si fa alcuna ipotesi sulla dimensione. Corrisponde anche a un primo caso di analisi funzionale, il più semplice. In generale lo spazio vettoriale scelto è uno spazio di Hilbert, cioè uno spazio prehilbertiano completo . Poiché è relativamente facile completare uno spazio prehilbertiano e i teoremi disponibili sono molto più numerosi, questo quadro è ampiamente utilizzato. Un'unica definizione copre questi due casi:

Sia H uno spazio prehilbertiano su un campo K uguale a quello di numeri reali o di complessi. Il prodotto scalare è indicato (⋅ | ⋅) in questo articolo. Siano a e a * due operatori su H , cioè due mappe lineari di H in sé.

Definizione  -  L'operatore si dice aggiunto di se: a*{\ displaystyle a ^ {*}}a{\ stile di visualizzazione a}

∀X,sì∈h(a(X)|sì)=(X|a*(sì)).{\ displaystyle \ forall x, y \ in H \ quad (a (x) | y) = (x | a ^ {*} (y)).}

C * -algebra

Come mostra il resto dell'articolo, la mappa *, che associa la sua aggiunta a un endomorfismo, è una mappa semilineare dello spazio dell'endomorfismo. Questo spazio ha, con la composizione degli endomorfismi, una struttura algebrica . Un'applicazione *, avente le stesse caratteristiche dell'appendice e definita su un'algebra, fa da cornice a una struttura chiamata C* -algebra. L'immagine di un elemento a dall'applicazione * è chiamata l'aiuto di a .

Banach

Nell'analisi funzionale, non tutti gli spazi hanno un prodotto scalare. L'approccio dei deputati resta comunque fruttuoso. L'operatore a ha proprietà inferiori a quelle del paragrafo precedente.

Nel caso generale, non è più limitato, cioè non esiste necessariamente un limite superiore della norma dell'immagine di un vettore dell'unità palla . Quindi la derivata di una funzione della variabile reale nell'insieme reale con supporto compatto , infinitamente differenziabile e aumentata in valore assoluto di uno non è aumentata di una costante indipendente dalla funzione. Questo spazio provvisto della norma di convergenza uniforme è importante per la definizione delle distribuzioni . La derivata è un operatore lineare illimitato che gioca un ruolo importante nell'analisi funzionale.

Un operatore a non è necessariamente definito su tutta Banach. Quindi l'operatore di derivazione non è definito su nessuna funzione di] –1/2, 1/2 [in e integrabile in valore assoluto. Per lo stesso motivo del paragrafo precedente, è comunque utile considerare questo operatore.

In questa sezione, E e F designano due Banach ha un operatore illimitato da E a F , E * e F * indicano i duali topologici di E e F . Nel resto dell'articolo, il termine duale significa duale topologico. È infatti più usato del duale algebrico in questo contesto. Il termine D ( a ) denota il dominio di a , cioè il sottospazio vettoriale su cui a è definito. Si assume denso in E . La notazione 〈⋅, ⋅〉E (risp. 〈⋅, ⋅〉F ) denota la parentesi di dualità , essa corrisponde alla mappa bilineare di E * × E ( risp. F * × F ) che ad una coppia formata da d ' una forma lineare e un vettore di E (risp. F ) associa uno scalare.

Definizione  -  Il dominio indicato con D ( a *) dell'operatore aggiunto di a è il seguente sottoinsieme di F *:

D(a*)={sì*∈F*,∃vs≥0,∀X∈D(a)|⟨sì*,a(X)⟩F|≤vs‖X‖}{\ displaystyle {\ mathcal {D}} (a ^ {*}) = \ {y ^ {*} \ in F ^ {*}, \; \ esiste c \ geq 0, \; \ forall x \ in { \ mathcal {D}} (a) \ quad | \ langle y ^ {*}, a (x) \ rangle _ {F} | \ leq c \ | x \ | \}}

Questa definizione consente quanto segue:

Definizione  -  L' operatore aggiunto a * di a è l'operatore di D ( a *) in E * che verifica l'uguaglianza:

∀X∈D(a),∀sì*∈D(a*)⟨sì*,a(X)⟩F=⟨a*(sì*),X⟩E{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (a), \; \ forall y ^ {*} \ in {\ mathcal {D}} (a ^ {*}) \ quad \ langle y ^ {*}, a (x) \ rangle _ {F} = \ rangle a ^ {*} (y ^ {*}), x \ rangle _ {E}}

È comune che E e F siano confusi; l'assistente è quindi un operatore di E *.

spazio di Hilbert

Assumiamo in tutta questa sezione che H sia uno spazio di Hilbert , cioè uno spazio prehilbertiano completo . In questo caso il duale topologico si identifica con lo spazio H . I risultati ottenuti nel caso delle forme bilineari valgono senza grandi modifiche.

Il caso della dimensione finita è un po' più semplice perché ogni mappa lineare è continua e l'isomorfismo tra lo spazio e il suo duale è più evidente. Un approccio più didattico è disponibile nell'articolo Spazio euclideo per il caso reale e spazio hermitiano per il caso complesso.

Nota: Nel caso in cui il corpo sottostante H sia quello dei complessi, il prodotto scalare è sesquilineare . La convenzione scelta nell'articolo è che la forma è lineare per la prima variabile e semilineare per la seconda. Il coniugato di un λ scalare è indicata con λ . Per impostazione predefinita, le istruzioni vengono fornite per gli spazi complessi. Rimangono vere per il reale e l'applicazione combinata diventa l'identità.

Esistenza (e unicità)

• Qualsiasi operatore limitato a su H ammette un (unico) aiutante.
  Infatti, sia y un vettore di H , la mappa che ad un vettore x associa ( a ( x ) | y ) è una forma lineare continua. Il teorema di rappresentazione di Riesz garantisce quindi l'esistenza di un (unico) vettore z tale che la forma lineare continua coincida con l'applicazione a x associati ( x | z ). L'applicazione è * a cui si unisce z è poi l'assistente ha .
• Viceversa, se due mappe qualsiasi soddisfanoa,a*:h→h{\ displaystyle a, a ^ {*}: H \ a H}∀X,sì∈h(a(X)|sì)=(X|a*(sì)){\ displaystyle \ forall x, y \ in H \ quad (a (x) | y) = (x | a ^ {*} (y))}allora a , a * sono sia lineari che continui .
  Mostriamolo ad esempio per un *.
  • La linearità è una conseguenza diretta delle proprietà di bilinearità e non degenerazione del prodotto scalare. Usiamo quello:∀X,sì1,sì2∈h,∀λ∈K(X|a*(sì1+λsì2))=(a(X)|sì1+λsì2)=(a(X)|sì1)+λ¯(a(X)|sì2){\ displaystyle \ forall x, y_ {1}, y_ {2} \ in H, \; \ forall \ lambda \ in K \ quad (x | a ^ {*} (y_ {1} + \ lambda y_ {2 })) = (a (x) | y_ {1} + \ lambda y_ {2}) = (a (x) | y_ {1}) + {\ bar {\ lambda}} (a (x) | y_ {2})}Possiamo dedurre:(X|a*(sì1+λsì2))=(X|a*(sì1))+(X|λa*(sì2))pertanto(1)(X|a*(sì1)+λa*(sì2)-a*(sì1+λsì2))=0.{\ displaystyle (x | a ^ {*} (y_ {1} + \ lambda y_ {2})) = (x | a ^ {*} (y_ {1})) + (x | \ lambda a ^ { *} (y_ {2})) \ quad {\ text {so}} \ quad (1) \; (x | a ^ {*} (y_ {1}) + \ lambda a ^ {*} (y_ { 2}) - a ^ {*} (y_ {1} + \ lambda y_ {2})) = 0.}L'uguaglianza (1) è vera per tutti i valori di x che mostra che il termine a destra è zero. Questa nullità dimostra il carattere lineare di un *.
  • Per mostrare la continuità di a * basta, grazie al teorema del grafo chiuso , verificare che se x n tende a x e se a * (x n ) tende a y allora a * ( x ) = y . Ora queste due ipotesi implicano (usando l'equazione di addizione) che per ogni z , ( z | a * ( x n )) tende sia a ( z | a * ( x )) che a ( z | y ), per cui a * ( x ) - y è zero (perché ortogonale a tutti z ).

Esempio Per tutti i vettori , l'assistente dell'operatore è l'operatore .X,sì∈h{\ stile di visualizzazione x, y \ in H}X⊗sì:z↦⟨z,sì⟩X{\ displaystyle x \ otimes y: z \ mapsto \ langle z, y \ rangle x}sì⊗X{\ displaystyle y \ otimes x}

Proprietà elementari

Per molti versi l'assistente è un'immagine speculare dell'operatore.

• L'assistente dell'operatore a è lineare.

Questo risultato (che non implica la linearità di a ) è stato dimostrato sopra.

In dimensione finita, la matrice dell'aggiunta di a è l' aggiunta della matrice di a . Infatti, sia una matrice che abbia una base ortonormale di H e X (risp. Y ) la matrice di un vettore x (risp. Y) H .

(X|a*(sì))=(a(X)|sì)=T(AX)sì¯=TX(TAsì¯)=TXTA¯sì¯.{\ displaystyle (x | a ^ {*} (y)) = (a (x) | y) = {} ^ {t} \! (AX) {\ overline {Y}} = ^ {t} \! X (^ {t} A {\ overline {Y}}) = ^ {t} \! X {\ overline {^ {t} {\ overline {A}} Y}}.}

• Se l'operatore a è limitato , allora anche l'assistente è limitato e la sua norma dell'operatore è uguale a quella di a .

Il termine limitato qui significa che l' immagine della palla unitaria è limitata. Un operatore è limitato se e solo se è continuo.

La continuità dell'aggiunto è stata dimostrata sopra senza assumere che a sia limitato, usando il potente teorema del grafo chiuso. Supponendo che si è limitato, l'evidenza è più fondamentale: appena notato che lo standard era così come quella dell'assistente è quello di bilineare o forma sesquilineare in x e y collegate ( una ( x ) | y ) = ( x | a * ( y )).

• La norma del composto di a e della sua aggiunta è uguale al quadrato di quello di a  :

‖a∘a*‖=‖a‖2.{\ displaystyle \ | a \ circ a ^ {*} \ | = \ | a \ | ^ {2}.}

Applicazione assistente

L'isometria * , di ( H ) in sé, che all'operatore a associa l'assistente a *, è detta mappa dell'assistente .

Teorema  -  L'isometria a ↦ a *, di ( H ) in sé:

• controllato(a∘B)*=B*∘a* ;{\ displaystyle (a \ circ b) ^ {*} = b ^ {*} \ circ a ^ {*} ~;}
• è semilineare:(a+λB)*=a*+λ¯B* ;{\ displaystyle (a + \ lambda b) ^ {*} = a ^ {*} + {\ overline {\ lambda}} b ^ {*} ~;}
• è involutivo  :a**=a.{\ displaystyle a ^ {**} = a.}

Dimostrazioni

• Vice di un composto:∀X,sì∈h(a∘B(X)|sì)=(B(X)|a*(sì))=(X|B*∘a*(sì)).{\ displaystyle \ forall x, y \ in H \ quad (a \ circ b (x) | y) = (b (x) | a ^ {*} (y)) = (x | b ^ {*} \ circ a ^ {*} (y)).}
• Semilinearità:∀X,sì∈h((a+λB)(X)|sì)=(a(X)|sì)+λ(B(X)|sì)=(X|(a*+λ¯B*)(sì)).{\ displaystyle \ forall x, y \ in H \ quad ((a + \ lambda b) (x) | y) = (a (x) | y) + \ lambda (b (x) | y) = (x | (a ^ {*} + {\ bar {\ lambda}} b ^ {*}) (y)).}
• Involutività:∀X,sì∈h(a(X)|sì)=(X|a*(sì))=(a*(sì)|X)¯=(sì|a**(X))¯=(a**(X)|sì).{\ displaystyle \ forall x, y \ in H \ quad (a (x) | y) = (x | a ^ {*} (y)) = {\ overline {(a ^ {*} (y) | x )}} = {\ overline {(y | a ^ {**} (x))}} = (a ^ {**} (x) | y).}

Essendo un endomorfismo involutivo dello spazio vettoriale reale, è quindi una simmetria, vale a dire che è diagonalizzabile con gli autovalori 1 e –1 (maggiori dettagli sono forniti nel § “Simmetria” dell'articolo sulla diagonalizzazione ).

Un operatore uguale (resp. Opposto) al suo assistente è detto hermitiano o auto-assistente (resp. Antihermitian o anti-auto-assistente). Un tale operatore è normale , cioè cambia con il suo assistente. Un'altra famiglia di operatori normali è quella degli automorfismi ortogonali .

Gli endomorfismi normali di uno spazio hermitiano e gli endomorfismi autouniti di uno spazio euclideo sono diagonalizzabili.

Ortogonalità

Le proprietà di ortogonalità associate alle forme bilineari sono presenti in questo contesto:

• Il kernel di un * è l'ortogonale della immagine di un  :Kera*=(Sonoa)⊥.{\ displaystyle {\ text {Ker}} \, a ^ {*} = ({\ text {Im}} \, a) ^ {\ bot}.}In effeti, ∀X∈h,X∈Kera*⇔∀sì∈h(a*(X)|sì)=0⇔∀sì∈h(X|a(sì))=0⇔X∈(Sonoa)⊥.{\ displaystyle \ forall x \ in H, \; x \ in {\ text {Ker}} \, a ^ {*} \ Leftrightarrow \ forall y \ in H \ quad (a ^ {*} (x) | y ) = 0 \ Leftrightarrow \ forall y \ in H \ quad (x | a (y)) = 0 \ Leftrightarrow x \ in ({\ text {Im}} \, a) ^ {\ bot}.}Un immediato corollario - dimostrabile anche matricialmente - è che in dimensione finita a e a * hanno lo stesso rango perché ogni sottospazio vettoriale è chiuso quindi il suo ortogonale è un ulteriore .

Prendendo l'ortogonale dei due membri se ne deduce:

• L'ortogonale del nucleo di a * è l' adesione dell'immagine di a  :(Kera*)⊥=Sonoa¯.{\ displaystyle ({\ text {Ker}} \, a ^ {*}) ^ {\ bot} = {\ overline {{\ text {Im}} \, a}}.}L'adesione di un insieme E , indicato con E , è il più piccolo chiuso che lo contiene. Ad esempio, se a * è iniettivo , allora a ha un'immagine densa in H , il che, in dimensione infinita, non significa che a è suriettiva .
• Sia E un sottospazio stabile per a , l'ortogonale di E è stabile per a *.
  Infatti, sia y un elemento dell'ortogonale di E , la sua immagine per a * è ortogonale a E perché∀X∈E(X|a*(sì))=(a(X)|sì)=0.{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad (x | a ^ {*} (y)) = (a (x) | y) = 0.}In dimensione infinita, se E non è chiuso, il contrario è falso (ad esempio se E è un iperpiano non chiuso, la sua ortogonale è sempre stabile di un * - poiché è ridotto al vettore zero - mentre E n ' non è stabile di a in generale).

Spettro

Lo spettro di un operatore a è l'insieme degli scalari λ tali che la mappa a - λId non è biunivoca (Id che designa la mappa identità). In dimensione finita lo spettro è l'insieme degli autovalori . In dimensione infinita può essere più ampio (vedi gli articoli Spettro di un operatore lineare e Valore spettrale ).

• Lo spettro dell'operatore a * è il coniugato di quello di a .

Le proprietà dello spettro sono specificate se H è di dimensione finita:

• Se H è di dimensione finita, il determinante (rispetto il polinomio caratteristico) di a * è il coniugato di quello di a .

• Se H è di dimensione finita, il polinomio minimo di a * è il coniugato di quello di a .

Di conseguenza, se è l'autovalore di molteplicità m dell'operatore a (cioè radice di ordine m del suo polinomio caratteristico) allora il coniugato di λ è l'autovalore di molteplicità m dell'operatore a *, e analogamente, se λ è la radice di ordine m del polinomio minimo di a (che equivale a dire che m è il più piccolo intero tale che il nucleo di ( a - λId) m sia uguale al nucleo di ( a - λId) m + 1 ), allora il coniugato di è radice di ordine m del polinomio minimo di a *.

Dimostrazioni

• Lo spettro dell'operatore a * è il coniugato di quello di a  :

Un operatore è biunivoco se e solo se il suo aggiunto è (secondo la proprietà ). Applicandolo a un - λId, si deduce il risultato. (a∘B)*=B*∘a*{\ displaystyle (a \ circ b) ^ {*} = b ^ {*} \ circ a ^ {*}}

• Se H è di dimensione finita, il determinante (rispetto il polinomio caratteristico) di a * è il coniugato di quello di a  :

L'articolo Determinante (matematica) dimostra che una matrice quadrata ha lo stesso determinante della sua trasposta. Inoltre, il determinante di una matrice coniugata è il coniugato del determinante. Il fatto che il determinante di un endomorfismo sia uguale a quello della sua matrice mostra che il determinante dell'aggiunta di a è il coniugato di quello di a . Le stesse proprietà applicate all'endomorfismo a - λId mostrano l'uguaglianza dei polinomi caratteristici.

• Se H è di dimensione finita, il polinomio minimo di a * è il coniugato di quello di a  :

Sia P ( X ) il polinomio minimo di a . L'endomorfismo P ( a ) è zero e anche il suo coniugato è zero, il che mostra che il polinomio coniugato di P ( X ) annulla l'aggiunta, il suo coniugato è quindi un multiplo del polinomio di a *. Mostriamo anche che il polinomio coniugato del polinomio minimo dell'aggiunta annulla a . I due polinomi sono multipli l'uno dell'altro, sono entrambi unitari, il che rende possibile concludere che c'è uguaglianza.

Spazio Banach

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Confronta con l'articolo inglese in: Operatore illimitato

Molte proprietà, valide per gli Hilbert, possono essere generalizzate. L'analisi dell'assistente di un operatore nel quadro più generale di Banach presenta alcune analogie con il caso precedente. Le tecniche utilizzate sono tuttavia leggermente diverse. In questa sezione E e F denotano Banach e ha un operatore illimitato da E a F .

Il termine “operatore illimitato” designa una mappa lineare senza precisione sul carattere continuo dell'operatore. Il matematico Haïm Brezis precisa: Può quindi capitare che un operatore illimitato sia limitato. La terminologia non è molto allegra, ma è molto usata e non crea confusione!

Esistenza e unicità

Come prima, ogni operatore ha ammesso un solo deputato. Più precisamente :

• Per ogni operatore illimitato a da D ( a ) in F esiste un'unica aggiunta, e l'aggiunta è lineare.

Sorge allora la domanda se D ( a *) sia denso nel duale di F .

• Se a è un operatore chiuso, allora la topologia debole del duale di F , D ( a *) è densa nel duale di F . Se inoltre F è riflessivo allora D ( a *) è denso per la solita topologia.

Dimostrazione

• Per ogni operatore illimitato a da D ( a ) in F esiste un'unica aggiunta, e l'aggiunta è lineare.

Nota prima che D ( a *) è uno spazio vettoriale. Sia y 1 * (risp. Y 2 *) un vettore di D ( a *), λ un elemento di K e c 1 (risp. C 2 ) una costante che soddisfa la seguente proprietà:

∀X∈D(a)|⟨sì1*,a(X)⟩|≤vs1‖X‖e|⟨sì2*,a(X)⟩|≤vs2‖X‖{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (a) \ quad | \ langle y_ {1} ^ {*}, a (x) \ rangle | \ leq c_ {1} \ | x \ | \ quad {\ text {and}} \ quad | \ langle y_ {2} ^ {*}, a (x) \ rangle | \ leq c_ {2} \ | x \ |}

Il seguente aumento mostra che y 1 * + λ y 2 * è effettivamente un elemento di D ( a *).

∀X∈D(a)|⟨sì1*+λ.sì2*,a(X)⟩|≤|⟨sì1*,a(X)⟩|+λ.|⟨sì2*,a(X)⟩|≤(vs1+|λ|.vs2).‖X‖{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (a) \ quad | \ langle y_ {1} ^ {*} + \ lambda .y_ {2} ^ {*}, a (x) \ rangle | \ leq | \ langle y_ {1} ^ {*}, a (x) \ rangle | + \ lambda. | \ langle y_ {2} ^ {*}, a (x) \ rangle | \ leq (c_ { 1} + | \ lambda | .c_ {2}). \ | X \ |}

Sia y * un elemento di D ( a *). Per impostazione predefinita, a * ( y *) è una forma lineare continua su D ( a ). L'insieme di arrivo K è completo, la forma è continua quindi Cauchy-continuo e si estende per continuità in un modo unico. Pertanto, la mappa a * ( y *) è effettivamente un elemento di E *.

La linearità di a * deriva direttamente dalla bilinearità di 〈⋅, ⋅〉.

Continuità dell'assistente

Il teorema del grafo chiuso indica che un operatore a è continuo se e solo se il suo grafo è chiuso. Il grafico di a è il sottospazio vettoriale di E x F formato dai punti ( x , a ( x )) quando x attraversa D ( a ). Un operatore che ha un grafo chiuso si dice chiuso , il che equivale a dire limitato o continuo. Per ragioni stilistiche è più comune parlare di operatore chiuso illimitato che di operatore non chiuso limitato, anche se i significati sono gli stessi.

• Un operatore illimitato a con dominio denso ha un aiutante chiuso.

Dimostrazione

Sia ( v n *) una successione di D ( a *) convergente a v * nel duale di F e tale che anche la successione (a * ( v n *)) converge, ma questa volta verso u * nel duale di E . L'obiettivo è mostrare che ( v *, u *) è un elemento del grafico dell'aggiunta di a . Si verifica la seguente uguaglianza:

∀X∈E,∀non∈NON⟨vnon*,a(X)⟩=⟨a*(vnon*),X⟩{\ displaystyle \ forall x \ in E, \; \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad \ langle v_ {n} ^ {*}, a (x) \ ranle = \ langle a ^ {*} ( v_ {n} ^ {*}), x \ intervallo}

Un passaggio al limite mostra che:

∀X∈E⟨v*,a(X)⟩=⟨tu*,X⟩≤‖tu*‖.‖X‖{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad \ langle v ^ {*}, a (x) \ rangle = \ langle u ^ {*}, x \ rangle \ leq \ | u ^ {*} \ |. \ | x \ |}

L'ultimo aumento mostra che v * è un elemento di D ( a *) e l'ultima uguaglianza mostra che u * è l'immagine di v * di a *. Di conseguenza il punto ( v *, u *) è un elemento del grafico di a *, il che dimostra la proposizione.

Ortogonalità

Se a è chiuso e ha un dominio denso, allora le proprietà di ortogonalità corrispondenti alla situazione di Hilbert rimangono vere:

• Il nucleo di a è uguale all'ortogonale dell'immagine di a * e il nucleo di a * è uguale all'ortogonale dell'immagine di a .

Kera=(Sonoa*)⊥eKera*=(Sonoa)⊥{\ displaystyle {\ text {Ker}} \, a = ({\ text {Im}} \, a ^ {*}) ^ {\ bot} \ quad {\ text {e}} \ quad {\ text { Ker}} \, a ^ {*} = ({\ text {Im}} \, a) ^ {\ bot}}

La situazione differisce leggermente per l'ortogonalità dei nuclei.

• L'ortogonale del nucleo di a contiene l'adesione dell'immagine del deputato di a e l'ortogonale del nucleo del deputato di a è l'adesione dell'immagine di a .

(Kera)⊥⊃Sonoa*¯e(Kera*)⊥=Sonoa¯{\ displaystyle ({\ text {Ker}} \, a) ^ {\ bot} \ supset {\ overline {{\ text {Im}} \, a ^ {*}}} \ quad {\ text {e} } \ quad ({\ text {Ker}} \, a ^ {*}) ^ {\ bot} = {\ overline {{\ text {Im}} \, a}}}

Se lo spazio E è riflessivo, allora l'ortogonale del nucleo di a è uguale all'adesione dell'immagine di a *; in caso contrario, l'uguaglianza non è garantita.

Con le ipotesi di chiusura e densità del dominio di a  :

• Le seguenti quattro proprietà sono equivalenti:

(1) L'immagine di a è chiusa. (2) L'immagine del deputato si è chiusa. (3) L'immagine di a è l'ortogonale del nucleo aggiunto. (4) L'immagine dell'aggiunta è l'ortogonale del nucleo di a . Dimostrazioni

• Il nucleo di a è uguale all'ortogonale dell'immagine di a * e il nucleo di a * è uguale all'ortogonale dell'immagine di a  :

Si noti che, essendo a continuo, il dominio di a * è il duale dell'intero F , quindi:

X∈Kera⇔∀sì*∈F*⟨sì*,a(X)⟩=0⇔∀sì*∈D(a*)⟨a*(sì*),X⟩=0{\ displaystyle x \ in {\ text {Ker}} \, a \ Leftrightarrow \ forall y ^ {*} \ in F ^ {*} \; \ langle y ^ {*}, a (x) \ rangle = 0 \ Leftrightarrow \ forall y ^ {*} \ in {\ mathcal {D}} (a ^ {*}) \; \ langle a ^ {*} (y ^ {*}), x \ rangle = 0}

Il che dimostra la prima uguaglianza.

Notiamo che, poiché D ( a ) è denso in E , un vettore del duale di E è zero se e solo se è ortogonale a D ( a ), quindi:

sì*∈Kera*⇔∀X∈D(a)⟨a*(sì*),X⟩=0⇔∀X∈D(a)⟨sì*,a(X)⟩=0{\ displaystyle y ^ {*} \ in {\ text {Ker}} \, a ^ {*} \ Leftrightarrow \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (a) \; \ langle a ^ {*} (y ^ {*}), x \ rangle = 0 \ Leftrightarrow \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (a) \; \ langle y ^ {*}, a (x) \ ranle = 0}

Il che dimostra il secondo pareggio.

• L'ortogonale del nucleo di a contiene l'adesione dell'immagine del deputato di a e l'ortogonale del nucleo del deputato di a è l'adesione dell'immagine di a  :

Lo studio delle forme bilineari continue mostra che l'ortogonale di un'ortogonale di uno spazio vettoriale contiene l'adesione dello spazio iniziale. L'ortogonale dell'ortogonale dell'immagine dell'aggiunta di a contiene dunque l'aderenza dell'immagine dell'aggiunta di a . La proposizione precedente permette di concludere per la seguente inclusione:

(Kera)⊥⊃Sonoa*¯{\ displaystyle ({\ text {Ker}} \, a) ^ {\ bot} \ supset {\ overline {{\ text {Im}} \, a ^ {*}}}}

Note e riferimenti

Appunti

1. Cfr. ad esempio S. Lang , Analyze Réelle , InterEditions, Paris, 1977 ( ISBN  978-2-72960059-4 ) , p.  157 .
2. Jacques Dixmier , Les C*-algebras e le loro rappresentazioni , Gauthier-Villars, 1964, canna. J. Gabay, 1996 ( ISBN  978-2-87647-013-2 ) .
3. Vedi ad esempio Brezis , p.  27.
4. Questa è una delle versioni del teorema di Hellinger-Toeplitz  (in)  : RE Edwards, "  The Hellinger-Toeplitz theorem  ", J. London Math. Soc. , S. 1, vol. 32, n .  4, 1957 p.  499-501 .
5. Brezis , p.  27.

Riferimenti

• Walter Rudin , l'analisi reale e complessa: Lezioni ed esercitazioni , Dunod, 3 ° ed. 1998 ( ISBN  978-210004004-9 )
• Serge Lang , Algebra [ dettaglio delle edizioni ]
• Haïm Brezis , Analisi funzionale: teoria e applicazioni ,1999 [dettaglio delle edizioni]
• (it) Joram Lindenstrauss e Lior Tzafriri, Classical Banach Spaces Vol I , Springer, 1996 ( ISBN  978-354060628-4 )
• (it) Gert Pedersen, C * -algebras and their automorphism groups , Academic Press, London, New-York, 1979 ( ISBN  978-012549450-2 )

Appendici

Link interni

• Aluthge trasformazione

link esterno

• L'aggiunta di un endomorfismo e le sue proprietà di A. Morame dell'Università di Nantes 2006. Il corso tratta il caso reale in dimensione finita.
• Assistente di un endomorfismo di uno spazio hermitiano sul sito les-mathematiques.net, di C. Antonini & al. Il corso tratta il caso complesso principalmente in dimensione finita.
• Assistente di un endomorfismo Sito della società Cabrilog sostenuto dal CNRS e dall'Università Joseph Fourier di Grenoble. Si tratta del caso euclideo di dimensione due.
• Analisi funzionale e teoria spettrale B. Maurey University of PARIS VII. Corrisponde ad un master e tratta il caso generale del Banach.
• Assistente di un operatore di J.Ch. Gilberto dall'Inria. Questo testo tratta solo il caso del Banach.

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