Operatore (matematica)

In matematica e fisica teorica , un operatore è un'applicazione tra due spazi vettoriali topologici .

Definizione di un operatore

Definizione

Siano E e F due spazi vettoriali topologici. Un operatore O è una mappatura da E a F :

O \: \ quad E \ \ a \ F

Operatore lineare

Un operatore è lineare se e solo se: $O: E \ a F$

{\ displaystyle \ forall (\ lambda, \ mu) \ in K ^ {2}, \ \ forall (x_ {1}, x_ {2}) \ in E, \ quad O (\ lambda x_ {1} + \ mu x_ {2}) \ = \ \ lambda O (x_ {1}) + \ mu O (x_ {2})}

dove K è il campo di scalari E e F .

Nota

Quando E è uno spazio vettoriale, ed (è un corpo ), un operatore è una forma lineare su E . ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle F = \ mathbb {K}}$

Campo di definizione)

Estendiamo la definizione precedente a mappe lineari definite solo su un sottospazio vettoriale di E , che chiamiamo dominio di definizione dell'operatore.

Continuità

Per definizione di continuità :

Sia O un operatore di dominio con valori in F e . L'operatore O si dice continuo in se e solo se per ogni intorno V di esiste un intorno di tale che: $D_ {0} \ subset E$ $x_ {0} \ in D_ {O}$ $x_ {0}$ $y_ {0} = O (x_ {0})$ $U$ $x_ {0}$

\ forall x \, \ in \, U \ cap D_ {O} \, \ quad O (x) \, \ in \, V

L'operatore O si dice continuo se e solo se è continuo in tutti i punti del suo dominio. $x_ {0} \ in D_ {O}$

Bibliografia

AN Kolmogorov e SV Fomin, Introductory Real Analysis , Dover Publications, Inc. (1975), ( ISBN 0-486-61226-0 ) .

T. Kato, Teoria perturbativa per operatori lineari , serie: Classics in Mathematics , Springer-Verlag ( 2 e -edition 1995) ( ISBN 3-540-58661-X ) .

B. Yosida, Analisi Funzionale , della serie: Classici in Matematica , Springer-Verlag ( 6 ° edizione, 1995) ( ISBN 3-540-58654-7 ) .