Sottospazio stabile

In algebra lineare , un endomorfismo lascia stabile un sottospazio vettoriale F quando gli elementi di F hanno un elemento di F come loro immagine .

La ricerca di sottospazi stabili è strettamente correlata alla teoria della riduzione dell'endomorfismo .

Definizioni

Lasciate E uno spazio vettoriale e u endomorfismo di E .

Un sottospazio vettoriale F di E è detto stabile u quando , vale a dire: . In questo caso, u induce su F un endomorfismo $u (F) \ sottoinsieme F$ $\ forall x \ in F, \ u (x) \ in F$

u_ {F}: \ left \ {{\ begin {matrix} F & \ longrightarrow & F \\ x & \ longmapsto & u (x) \ end {matrix}} \ right.

L' endomorfismo indotto è una duplice restrizione dell'endomorfismo iniziale con una nuova serie di partenza e una nuova serie di arrivo. La condizione di stabilità è una condizione necessaria e sufficiente affinché questa doppia restrizione sia un'applicazione.

Rappresentazione a matrice

Se E è di dimensione finita e provvista di una base adattata a F (cioè una base di F completata in una base di E ), la matrice rappresentativa di u può essere denotata da blocchi

{\ begin {pmatrix} A&B \\ C&D \ end {pmatrix}}

Poi F è uno spazio stabile u se e solo se C = 0, e in questo caso la matrice del endomorphism indotta F è A .

Esempi

Lasciate E uno spazio vettoriale e u un endomorfismo di E . I due banali sottospazi {0} ed E sono stabili per u .
Un endomorfismo di uno spazio vettoriale diverso da zero per il quale gli unici sottospazi stabili sono i due sottospazi banali è chiamato endomorfismo irriducibile . Qualsiasi endomorfismo di una linea vettoriale è irriducibile. Qualsiasi rotazione di un piano euclideo il cui angolo non sia multiplo di è irriducibile. In dimensione finita, un endomorfismo è irriducibile se e solo se è ciclico e se il suo minimo polinomio è irriducibile. $\ pi$
Sia E uno spazio vettoriale, u un endomorfismo di E e una famiglia di sottospazi stabili da u . Quindi e sono stabili da u $(A_i) _ {i \ in I}$ $\ cap _ {{i \ in I}} A_ {i}$ $\ sum {} _ {{i \ in I}} A_ {i}$
Una linea è stabile da un endomorfismo u se e solo se è generata da un autovettore di u . Di conseguenza, qualsiasi sottospazio generato da autovettori di u è stabile da u .
Se u è una diagonalizzabile endomorphism di E allora qualsiasi sottospazio di E ha un ulteriore stabile u . Al contrario, il nucleo di un endomorfismo nilpotente diverso da zero è un sottospazio (stabile) senza stabilità aggiuntiva.
Se u è diagonalizzabile, allora la sua restrizione a qualsiasi sottospazio stabile è diagonalizzabile, ad es. che i sottospazi stabili sono esattamente i sottospazi generati da autovettori.

Estensione del concetto

Per uno spazio vettoriale, un sottospazio vettoriale di e un insieme di endomorfismi di , diciamo che è stabile per si è stabile per qualsiasi elemento di . $E$ $F$ $E$ $X$ $E$ $F$ $X$ $F$ $X$

Stabilità e trigonalizzazione

Assumiamo anche E di dimensione finita n . Si dice che un endomorfismo sia trigonalizzabile quando ha una matrice rappresentativa triangolare superiore .

Ciò equivale a cercare spazi , di rispettive dimensioni 1, 2,…, n , tutti stabili da u . Si parla quindi di una bandiera stabile da parte di u . $E_ {1} \ subset E_ {2} \ subset \ dots \ subset E_ {n} = E$

Sottospazi caratteristici

Lasciare E un K spazio-vettore, u un endomorphism di E e P un polinomio a coefficienti in K . I sottospazi e sono stabili da u . Perché questa costruzione sia interessante, l'endomorfismo deve essere sia diverso da zero che non invertibile. Questo è ciò che accade in dimensione finita quando il polinomio P è un divisore stretto del polinomio minimo di u . ${\ displaystyle \ operatorname {Ker} (P (u))}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Im} (P (u))}$ $Poteva)$

Sia u un autovalore di u , cioè in dimensione finita, una radice del polinomio . Notare la molteplicità di nel polinomio . Possiamo definire due interessanti spazi stabili: $\ lambda$ $\ pi _ {u}$ $\gamma$ $\ lambda$ $\ pi _ {u}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Ker} (u- \ lambda \ operatorname {Id})}$ è chiamato spazio proprio associato all'autovalore ; $\ lambda$
${\ Displaystyle \ operatorname {Ker} (u- \ lambda \ operatorname {Id}) ^ {\ gamma}}$ è chiamato sottospazio caratteristico associato all'autovalore , contiene l'autospazio sopra. È uguale ad esso se e solo se la molteplicità di questo autovalore nel polinomio minimo è uguale a 1. $\ lambda$ $\gamma$ $\ pi _ {u}$

Quando il polinomio è diviso, il lemma del kernel ci permette di affermare che i sottospazi caratteristici sono addizionali. In questo caso u è diagonalizzabile se e solo se ogni spazio caratteristico è uguale al corrispondente spazio autogeno. $\ pi _ {u}$

Sottospazi ciclici

Lasciare E un K spazio-vettore, u un endomorphism di E e x un vettore di E . Il set è stabile da u . Lo chiamiamo sottospazio ciclico generato da x . $\ {P (u) \ (x) \ metà P \ in K [X] \}$

U si dice che sia un endomorphism ciclico se esiste un vettore x di E tale che il sottospazio ciclico attraversato da x è uguale a E .

Se E è n- dimensionale e u è un endomorfismo ciclico di E , allora è una base di E e la matrice di u in questa base è una matrice compagna . $(x, u (x) \ punti, u ^ {{n-1}} (x))$

In dimensione finita, un endomorfismo diagonalizzabile è ciclico se e solo se i suoi autovalori sono semplici (sono semplici radici del polinomio caratteristico ). al cartello vicino).

Sottospazi stabili e dualità

Sia E uno spazio vettoriale, u un endomorfismo di E e t u l' endomorfismo trasposto dello spazio duale E *. Un sottospazio F di E è stabile per u se e solo se il suo ortogonale F ° in E * è stabile per t u . In particolare, un iperpiano di E è stabile se e solo se è il nocciolo di una forma lineare propria di t u , il che equivale a dire che contiene un sottospazio della forma Im ( u - λ Id). In dimensione finita, questo può accadere solo per λ autovalore.

Se E è uno spazio di Hilbert , possiamo dare una variante: un sottospazio chiuso F è stabile da un operatore limitato u se e solo se il suo ortogonale F ⊥ in E è stabile dall'operatore aggiunto u *, e un iperpiano chiuso è stabile da u se e solo se è normale per u *.

Commutazione e stabilità

Se due endomorfismi u e v commutano, il kernel e l'immagine di u sono stabili per v . Più in generale, il kernel e l'immagine di ogni polinomio in u sono stabili per v (poiché questo endomorfismo commuta anche in v ), in particolare ogni sottospazio proprio per u è stabile per v (poiché è il kernel d 'un polinomio in u di grado 1), e lo stesso per i sottospazi caratteristici.

Note e riferimenti

esercitazioni corrette su Wikiversità .
Fabrice Lembrez , Algebra e geometria: PC-PC * PSI-PSI * PT-PT * , Nathan , 365 p. ( ISBN 978-2-09-812099-0 , leggi online ) , p. 123-124.