Diagramma di Coxeter-Dynkin

In geometria , un diagramma di Coxeter-Dynkin è un grafico che mostra un insieme relazionale di specchio (o iperpiani di riflessione ) nello spazio per una costruzione caleidoscopica .

Come un grafico stesso, il diagramma rappresenta i gruppi di Coxeter , ogni nodo del grafico rappresenta uno specchio ( sfaccettatura del dominio) e ogni ramo del grafico rappresenta l'ordine dell'angolo diedro tra due specchi (su un bordo del campo).

Inoltre, i grafici hanno anelli (cerchi) attorno ai nodi per lo specchio attivo che mostrano un politopo uniforme (en) specifico.

Il diagramma è tratto dal diagramma Dynkin .

Descrizione

Il diagramma può anche rappresentare politopi aggiungendo anelli (cerchi) attorno ai nodi. Ogni diagramma deve avere almeno un nodo attivo per rappresentare un politopo.

Gli anelli esprimono informazioni: se un punto generatore è dentro o fuori dallo specchio. Più precisamente, uno specchio è attivo (crea riflessi) solo quando i punti sono fuori dallo specchio, quindi aggiungere un anello significa che un punto è fuori dallo specchio e crea un riflesso.

I bordi sono etichettati con un numero naturale n che rappresenta un angolo diedro di 180 / n . Se un bordo non è etichettato, si presume che sia 3 . Se n = 2, l'angolo è di 90 gradi e gli specchi non hanno interazione e il bordo può essere omesso. Due specchi paralleli possono essere contrassegnati con "∞".

In linea di principio, n specchi possono essere rappresentati da un grafico completo in cui sono disegnati tutti gli n * (n-1) / 2 . In pratica, interessanti configurazioni dello specchio includeranno un numero di angoli retti e i bordi corrispondenti possono essere omessi.

Polytopes e piastrellature possono essere generati utilizzando questi specchi e un unico punto di generazione. Le immagini speculari creano nuovi punti come i riflessi. È possibile creare bordi tra i punti e un'immagine speculare. I lati possono essere costruiti da cicli di bordi creati, ecc.

Esempi

Un singolo nodo rappresenta un singolo mirror. Questo è chiamato gruppo A 1 . Se è inanellato, crea un digone o un bordo perpendicolare allo specchio, rappresentato da {} o {2}.
Due nodi non attaccati rappresentano due specchi perpendicolari . Se i due nodi sono inanellati, si può creare un rettangolo o un quadrato se il punto è equidistante dai due specchi.
Due nodi attaccati da un bordo di ordine n possono creare un n-andato se il punto è su uno specchio e un 2n-andato se il punto è esterno ai due specchi. Questo forma il gruppo D 2 n .
Due specchi paralleli possono rappresentare un gruppo poligonale infinito D 2 ∞ , chiamato anche W 2 .
Tre specchi in un triangolo formano immagini viste in un caleidoscopio tradizionale e sono rappresentati da 3 nodi attaccati in un triangolo. La ripetizione degli esempi avrà bordi etichettati come (3 3 3), (2 4 4), (2 3 6), sebbene gli ultimi due possano essere disegnati su una linea con il bordo 2 ignorato. Questi genereranno piastrellature uniformi .
Tre specchi possono generare i poliedri uniformi , compresi i numeri razionali è l'insieme dei triangoli di Schwarz (en) .
Tre specchi di cui uno perpendicolare agli altri due possono formare prismi uniformi .

In generale, tutti gli n-politopi regolari, rappresentati dal simbolo Schläfli {p, q, r, ...} possono avere i loro domini fondamentali rappresentati da un insieme di n specchi e sono correlati in un diagramma di Coxeter-Dynkin in una linea di nodi e bordi etichettati con p, q, r ...

Gruppi finiti di Coxeter

Le famiglie di politopi convessi uniformi sono definite dai gruppi di Coxeter .

Appunti:

Tre simboli diversi sono dati per gli stessi gruppi: una lettera / numero, una serie di numeri con parentesi graffe e il diagramma di Coxeter.
I gruppi biforcati B n sono dati anche dalla notazione h [] che rappresenta il fatto che è una versione mezza o alternativa dei gruppi regolari C n .
I gruppi biforcati B n ed E n sono anche etichettati da un esponente [3 a, b, c ] dove a, b, c sono il numero di segmenti in ciascuno dei 3 rami.

non	A 1+	B 4+	C 2+	D 2 p	E 6-8	F 4	G 2-4
1	A 1 = []
2	A 2 = [3]		C 2 = [4]	D 2 p = [p]			G 2 = [5]
3	A 3 = [3²]	B 3 = A 3 = [3 0,1,1 ]	C 3 = [4,3]				G 3 = [5,3]
4	A 4 = [3³]	B 4 = h [4,3,3] = [3 1,1,1 ]	C 4 = [4,3²]		E 4 = A 4 = [3 0,2,1 ]	F 4 = [3,4,3]	G 4 = [5.3.3]
5	A 5 = [3 4 ]	B 5 = h [4,3³] = [3 2.1.1 ]	C 5 = [4,3³]		E 5 = B 5 = [3 1,2,1 ]
6	A 6 = [3 5 ]	B 6 = h [4,3 4 ] = [3 3.1.1 ]	C 6 = [4,3 4 ]		E 6 = [3 2,2,1 ]
7	A 7 = [3 6 ]	B 7 = h [4,3 5 ] = [3 4.1.1 ]	C 7 = [4,3 5 ]		E 7 = [3 3,2,1 ]
8	A 8 = [3 7 ]	B 8 = h [4,3 6 ] = [3 5.1.1 ]	C 8 = [4,3 6 ]		E 8 = [3 4,2,1 ]
9	A 9 = [3 8 ]	B 9 = h [4,3 7 ] = [3 6.1.1 ]	C 9 = [4,3 7 ]
10+	..	..	..	..	..	..	..

(Nota: vengono forniti nomi alternativi come semplici gruppi di Lie (en) .)

A n forma la famiglia dei politopi simpliciali (stesso nome: A n ).
B n è la famiglia dei mezzi ipercubi , a partire da n = 4 con le 24 cellule en = 5 con il penteratto (chiamato anche D n ).
C n forma la famiglia degli ipercubi (stesso nome: C n ).
D 2 n forma i poligoni regolari (chiamati anche I 1 n ).
E 6 , E 7 , E 8 sono i generatori dei politopi Gosset semiregolari (stessi nomi: E 6 , E 7 , E 8 ).
F 4 è la famiglia del policoro a 24 celle (stesso nome: F 4 ).
G 3 è la famiglia del poliedro dodecaedro / icosaedro (chiamato anche H 3 ).
G 4 è la famiglia del policoro da 120 cellule / 600 cellule (chiamata anche H 4 ).

Infiniti gruppi di Coxeter

Le famiglie di tassellature uniformi convesse sono definite dai gruppi di Coxeter.

Appunti:

I gruppi regolari (lineari) possono essere forniti con una notazione equivalente tra parentesi graffe.
Il gruppo S n può anche essere etichettato con una notazione h [] come metà di un regolare.
Il gruppo Q n può anche essere etichettato con una notazione q [] come un quarto di regolare.
I gruppi biforcati T n sono anche etichettati da una forma esponente [3 a, b, c ] dove a, b, c sono il numero di segmenti in ciascuno dei 3 rami.

non	P 3+	Q 5+	R 3+	S 4+	T 7-9	U 5	V 3	W 2
2								W 2 = [∞]
3	P 3 = h [6,3]		R 3 = [4,4]				V 3 = [6,3]
4	P 4 = q [4,3,4]		R 4 = [4.3.4]	S 4 = h [4,3,4]
5	P 5	Q 5 = q [4,3², 4]	R 5 = [4,3², 4]	S 5 = h [4,3², 4]		U 5 = [3,4,3,3]
6	P 6	Q 6 = q [4,3³, 4]	R 6 = [4,3³, 4]	S 6 = h [4,3³, 4]
7	P 7	Q 7 = q [4,3 4 , 4]	R 7 = [4,3 4 , 4]	S 7 = h [4,3 4 , 4]	T 7 = [3 2,2,2 ]
8	P 8	Q 8 = q [4,3 5 , 4]	R 8 = [4,3 5 , 4]	S 8 = h [4,3 5 , 4]	T 8 = [3 3,3,1 ]
9	P 9	Q 9 = q [4,3 6 , 4]	R 9 = [4,3 6 , 4]	S 9 = h [4,3 6 , 4]	T 9 = [3 5,2,1 ]
10	P 10	Q 10 = q [4,3 7 , 4]	R 10 = [4,3 7 , 4]	S 10 = h [4,3 7 , 4]
11	...	...	...	...

(Nota: vengono forniti anche nomi alternativi come semplici gruppi di Lie.)

P n è un gruppo ciclico (chiamato anche ~ A n-1 ).
Q n (chiamato anche ~ D n-1 )
R n forma la famiglia della tassellatura regolare dell'ipercubo {4,3, ....} (chiamato anche ~ B n-1 ).
S n forma la famiglia di piastrellatura alternata ipercubica (chiamata anche ~ C n-1 ).
T 7 , T 8 , T 9 sono le piastrellature Gosset (chiamate anche ~ E 6 , ~ E 7 , ~ E 7 ).
U 5 è la piastrellatura regolare di 24 celle {3,4,3,3} (chiamata anche ~ F 4 ).
V 3 è la piastrellatura esagonale (chiamata anche ~ H 2 ).
W 2 è costituito da due specchi paralleli (chiamati anche ~ I 1 ).

Riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato “ Coxeter - Diagramma di Dynkin ” ( vedi elenco degli autori ) .
(en) Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , a cura di F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience, 1995 ( ISBN 978-0-471-01003-6 ) , documento 17 : The Evolution of Coxeter-Dynkin diagrams , [Nieuwbrooke voor Wiskunde 9 (1991) 233-248]
(en) HSM Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays , Dover, 1999 ( ISBN 978-0-486-40919-1 ) (Capitolo 3: Wythoff's Construction for Uniform Polytopes)
(in) HSM Coxeter, Regular polytopes (Macmillan, 1963), 3 e ed, Dover.1973 ( ISBN 0-486-61480-8 ) (Capitolo 5: The Kaleidoscope, and Section 11.3 Representation by graphs)

Vedi anche

Link esterno

(it) [PDF] Polytopes regolari, reticoli radicali e quasicristalli , R. Bruce King