Costruzione di Wythoff

In geometria , una costruzione di Wythoff , dal nome del matematico Willem Abraham Wythoff , è un metodo per costruire un poliedro uniforme o tassellatura piana. Viene spesso definita la costruzione caleidoscopica di Wythoff.

Si basa sull'idea di pavimentare una sfera , con triangoli sferici . Se tre specchi sono posizionati in modo tale che i loro piani si intersechino in un unico punto, allora gli specchi circondano un triangolo sferico sulla superficie di qualsiasi sfera centrata in quel punto e per riflessioni ripetute si ottiene una moltitudine di copie del triangolo. Se gli angoli del triangolo sferico sono scelti in modo appropriato, i triangoli tasselleranno la sfera una o più volte.

Posizionando un vertice in un punto opportuno nel triangolo sferico circondato dagli specchi, le immagini di questo punto per riflessioni ripetute possono essere fatte per formare un poliedro uniforme. Per un triangolo sferico ABC , ci sono quattro modi per ottenere un poliedro uniforme:

  1. la parte superiore è posizionato nel punto A . Questo produce un poliedro il cui simbolo Wythoff è un | b  c , dove un uguale ¸ diviso per l'angolo del triangolo A , e lo stesso per b e c  ;
  2. la parte superiore è posizionato sul punto del segmento AB che biseca l'angolo C . Questo produce un poliedro il cui simbolo Wythoff è un  b | c  ;
  3. il vertice divide in due i tre angoli. Questo produce un poliedro il cui simbolo Wythoff è un  b  c | ;
  4. il vertice è su un punto tale che, quando subisce una rotazione di due volte l'angolo al vertice attorno ad uno dei tre vertici del triangolo, la sua distanza dalla sua immagine non dipende da quale dei tre si sceglie. Consideriamo solo le immagini del vertice iniziale da un numero pari di riflessioni. Il poliedro ha il simbolo di Wythoff | a  b  c .

Il metodo generale è applicabile anche per politopi regolari di dimensioni maggiori, compresi i policorri uniformi quadridimensionali.

Riferimenti

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