In geometria , un dodecaedro è un poliedro a dodici facce. Poiché ogni faccia ha almeno tre lati e ogni bordo confina con due facce, un dodecaedro ha almeno 18 bordi.
Alcuni hanno proprietà specifiche come facce regolari o simmetrie :
dodecaedro trapezo-rombico
Piritoedro | |
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Un piritoedro ha 30 spigoli, divisi in due gruppi di diversa lunghezza, comprendenti 24 e 6 spigoli. | |
Poligono di facce | pentagono irregolare |
Diagrammi di Coxeter |
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Facce | 12 |
Bordi | 30 (6 + 24) |
Vertici | 20 (8 + 12) |
Gruppo di simmetria | T h , [4,3 + ], (3 * 2), ordine 24 |
Gruppo di rotazione | T , [3,3] + , (332), ordine 12 |
Doppio | Pseudoicosaedro |
Proprietà | convesso |
Capo |
Un piritoedro è un dodecaedro con simmetria piritometrica (T h ). Come il dodecaedro regolare , ha dodici facce pentagonali identiche, tre delle quali si intersecano in ciascuno dei 20 vertici. Tuttavia, i pentagoni non sono necessariamente regolari, quindi la struttura normalmente non ha assi di simmetria del 5 ° ordine: i suoi trenta bordi sono divisi in due gruppi, contenenti rispettivamente 24 e 6 bordi della stessa lunghezza.
Sebbene il dodecaedro regolare non esista nei cristalli (ma esiste nei quasi-cristalli ), la forma distorta del piritedro è osservata nel cristallo di pirite e potrebbe aver ispirato la scoperta della forma regolare del solido platonico .
Il suo nome deriva da una delle forme cristalline comuni di pirite , l'altra essendo cubica.
Pirite cubica |
Pirite piritonica |
quasi-cristallo di Ho-Mg-Zn |
Coordinate di 8 dei vertici:
(± 1, ± 1, ± 1)Le coordinate degli altri 12 vertici sono le permutazioni di:
(0, ± (1+ h ), ± (1− h 2 ))dove h è l'altezza del tetto nella cupola sopra le facce del cubo. Quando h = 1, 6 dei bordi degenerano in punti, che formano un dodecaedro rombico . Per il dodecaedro regolare, h = (√5-1) / 2, l'inverso della sezione aurea .
Il piritedro ha gradi di libertà geometrici con i casi limite di uno scafo cubico convesso come limite con bordi collineari e un dodecaedro rombico come un altro limite quando 6 bordi sono ridotti a lunghezza zero. Il dodecaedro regolare rappresenta un caso speciale specifico in cui tutti gli angoli e gli spigoli sono uguali.
1: 1 | 1: 1 | 2: 1 | 1.3092 ...: 1 | 1: 1 | 0: 1 |
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h = 0 | h = (√5−1) / 2 | h = 1 | |||
Stella regolare del grande dodecaedro stellato , con pentagoni deformati in pentagrammi regolari |
Dodecaedro piritomico concavo |
Un cubo può essere trasformato in un piritedro tagliando tutti i bordi e le facce nelle direzioni incrociate. |
Proporzioni geometriche del piritoedro nella struttura Weaire-Phelan |
Un dodecaedro regolare è un caso intermedio i cui bordi hanno la stessa lunghezza. |
Un dodecaedro rombico è il caso limite in cui la lunghezza di 6 dei bordi è ridotta a zero. |
Un dodecaedro regolare può essere costruito da un cubo nel modo seguente: la faccia quadrata superiore del cubo è sostituita da un "tetto" formato da due pentagoni, uniti lungo la sommità del tetto. Le diagonali dei pentagoni parallele alla sommità del tetto coincidono con i due lati opposti della piazza. Allo stesso modo, le altre 5 facce quadrate vengono sostituite da una coppia di pentagoni. Il piritoedro viene finalmente costruito modificando la pendenza di questi "tetti".