Base di Hilbert

Una base di Hilbert (dal nome di David Hilbert ) o base di Hilbert , è una generalizzazione agli spazi di Hilbert o solo prehilbertiana della nozione classica di ortonormale di base in algebra lineare , per spazi euclidei (o hermitiani nel caso complesso) che sono di dimensione finita.

Come nel caso delle basi usuali, si tratta di poter scomporre un qualsiasi vettore di spazio in una somma di vettori collineari con quelli della famiglia prescelta. Tuttavia nel caso di una base di Hilbert, non si può (generalmente) scrivere un'uguaglianza tra il vettore scomposto e una combinazione lineare finita dei vettori della base: si deve generalmente accontentarsi di una serie i cui termini sono collineari ai vettori della base base, e convergente verso il vettore da scomporre (la nozione di convergenza di una serie ha qui un significato perché uno spazio di Hilbert è in particolare uno spazio vettoriale normalizzato ).

Definizione

Lasciate H uno spazio di prehilbert sul corpo K del numero reale o complesso e di una famiglia di vettori H . ${\ displaystyle F = (e_ {i}) _ {i \ in I}}$

Definizione - Diciamo che F è una base di Hilbert (o base Hilbertiana ) di H se:

F è una famiglia ortonormale di H , vale a dire:

{\ displaystyle \ forall (i, j) \ in I ^ {2} \ quad i \ neq j \ Rightarrow \ langle e_ {i} \ mid e_ {j} \ rangle = 0}

{\ displaystyle \ forall i \ in I \ quad \ langle e_ {i} \ mid e_ {i} \ rangle = \ Green e_ {i} \ Green ^ {2} = 1}

la famiglia è anche massima o "completa" o "totale" nel seguente senso:

{\ displaystyle \ forall x \ in H, \ \ exist (\ lambda _ {i}) _ {i \ in I} \ quad {\ text {come}} \ quad \ sum _ {i \ in I} \ lambda _ {i} e_ {i} = x}

La famiglia summability di vettori $(λ i e i )$ è quello associato con standard su H . La prima condizione (ortonormalità) garantisce l'unicità della famiglia degli scalari $(λ i )$ , per ogni vettore $x$ .

Nel caso in cui H sia di dimensione finita, questa definizione coincide con quella di base ortonormale . Nel caso di uno spazio dimensionale infinito, il termine base ortonormale indica molto generalmente una base di Hilbert.

Approccio intuitivo

Dal momento che il XVIII ° secolo, i matematici hanno cercato di risolvere alcuni problemi con serie funzioni. Leonhard Euler studia il problema di determinare la somma degli inversi dei quadrati degli interi . Una serie di polinomi trigonometrici risolve questa spinosa questione aperta da quasi un secolo. Joseph Fourier utilizza un approccio simile per studiare l'equazione del calore .

Il XX ° secolo ha visto una formalizzazione sia generale approccio geometrico moderno. David Hilbert considera le funzioni usate come elementi di uno spazio vettoriale di dimensione infinita. È dotato del seguente prodotto scalare, che consente di beneficiare delle tecniche di geometria euclidea :

{\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int f (x) g (x) {\ rm {d}} x.}

Uno spazio euclideo ha basi ortonormali , una generalizzazione del teorema di Pitagora rende semplicemente possibile calcolare le coordinate di un vettore in tale base ( e i ). Se x è un vettore, allora:

{\ Displaystyle x = \ sum \ langle e_ {i}, x \ rangle e_ {i}.}

Si è tentati di voler generalizzare questo risultato su uno spazio di dimensione infinita. Se lo spazio funzionale ha buone proprietà , un tale approccio è possibile. Questo è il caso se lo spazio è separabile , cioè se c'è una famiglia numerabile densa , cioè che rende possibile avvicinarsi a qualsiasi vettore nel modo più preciso desiderato. Questa situazione è analoga a quelle dei numeri reali. Ad una distanza arbitrariamente piccola da qualsiasi reale c'è un numero razionale. Il teorema di Stone-Weierstrass mostra che questo è il caso di un numero molto elevato di spazi funzionali.

David Hilbert era interessato a un'altra proprietà: la completezza . Come la situazione per i numeri reali, qualsiasi sequenza di Cauchy converge in tale spazio. La difficoltà risiede quindi nel significato da dare ad una serie contenente a priori un insieme di termini che non ha più motivo di essere numerabile se l'ipotesi di separabilità non è più soddisfatta. Due osservazioni consentono di risolvere questa questione. L'insieme di termini diversi da zero è sempre al massimo numerabile. Inoltre, la convergenza delle serie è assoluta , assicurando così che l'ordine in cui vengono presi gli elementi non influenzi il limite della serie.

Proprietà

Disuguaglianza di Bessel e coefficienti di Fourier

Un primo aumento gioca un ruolo importante nello stabilire le proprietà di una base di Hilbert. Si chiama disuguaglianza di Bessel .

Disuguaglianza di Bessel - Let E un sottospazio chiuso di H , un Hilbert di base E e un elemento H . Allora l'insieme degli indici i per il quale è al massimo numerabile, e la serie seguente è convergente e aumentata del quadrato della norma di : $(f_ {i}) _ {{i \ in I}}$ $X$ ${\ displaystyle \ langle x, f_ {i} \ rangle \ neq 0}$ $X$

{\ Displaystyle \ sum _ {i \ in I} | \ langle x, f_ {i} \ rangle | ^ {2} \ leq \ | x \ | ^ {2} ~.}

L'uguaglianza si verifica solo se . $x \ in E$

Il caso di uguaglianza è sempre verificato se E è uguale a H , prende il nome di uguaglianza di Parseval . È una generalizzazione del teorema di Pitagora , utilizzato nell'ambito della serie di Fourier .

La prova della disuguaglianza di Bessel contiene la seguente proprietà:

Proposta - Una famiglia ortonormale H è un Hilbert base se e solo se è completo , vale a dire se il sottospazio genera è denso in H .

Quindi, in dimensione infinita, una base di Hilbert B di H non è una base nel senso algebrico del termine, ma una base ortonormale di un sottospazio la cui unica adesione è uguale a H (sebbene l'insieme B stesso sia chiuso).

L'uguaglianza di Parseval ci permette di determinare l'espressione di un elemento x in una base di Hilbert ( e i ) di H :

Teorema e definizione - Se ( e i ) è una base di Hilbert di H , vale la seguente uguaglianza:

{\ Displaystyle x = \ sum _ {i \ in I} \ langle x, e_ {i} \ rangle e_ {i}.}

I coefficienti sono chiamati coefficienti di Fourier di x e sono gli unici coefficienti familiari per esprimere x nella base di Hilbert. ${\ displaystyle \ langle x, e_ {i} \ rangle}$

Quindi, come la situazione per una base in senso algebrico, esiste un solo modo di esprimere un vettore in una base di Hilbert, ma in generale come una serie e non più come una somma finita.

Dimensione hilbertiana

Possiamo definire la dimensione di Hilbert di uno spazio prehilbert come la cardinalità di qualsiasi parte ortonormale massima per l'inclusione. In effetti, il lemma di Zorn (o di Tukey ) garantisce l'esistenza di tali parti, e hanno tutte la stessa cardinalità secondo il seguente teorema:

Teorema - Nello spazio prehilbertian H se B è una parte massimale ortonormale, poi cardinale di qualsiasi parte orthonormal è aumentato da quella di B .

Dimostrazione

Se B è finito allora genera H quindi la sua cardinalità è maggiore di quella di qualsiasi parte libera , in particolare di qualsiasi parte ortonormale. Supponiamo ora che B sia infinito e che A sia una parte ortonormale. Per ogni vettore b di B , denotare con A ( b ) l'insieme dei vettori di A non ortogonali a b . Per massimalità di B , A è incluso nell'unione di A ( b ). Tuttavia, secondo la disuguaglianza di Bessel , ognuna di esse è al massimo numerabile, da qui l'aumento annunciato .

Tuttavia, questa nozione non è molto utile nel quadro generale degli spazi prehilbertiani. Infatti, qualsiasi base di Hilbert di H è ovviamente massimale ortonormale (quindi tutte le basi Hilbertiane di H , se ce ne sono, hanno lo stesso cardinale), ma il contrario è falso ( H può anche - cfr. Controesempio sotto - avere un sottospazio denso di Hilbert diverso dimensione quindi senza una base di Hilbert). Tuttavia, è vero se H è completo , il che garantisce l'esistenza di basi di Hilbert per spazi di Hilbert e consente di classificarli fino all'isomorfismo in base alla loro dimensione di Hilbert:

Proposizione - In uno spazio di Hilbert, una parte è massima ortonormale (se e) solo se è una base di Hilbert.

Dimostrazione

Sia B una parte ortonormale massimale di uno spazio di Hilbert H e F sia l'adesione del sottospazio vettoriale che genera. Sia x un vettore di H e y la sua proiezione ortogonale su F (che esiste, secondo la dimostrazione della disuguaglianza di Bessel nel caso generale: non è quindi necessario fare appello al teorema supplementare ortogonale ). Poi y - x è ortogonale a F così zero (da massimalit'a B ) così x appartiene F , consentendo di concludere che F = H .

Un controesempio

Ecco un esempio di spazio di Hilbert H la cui dimensione di Hilbert è la potenza del continuo c e di un sottospazio denso G di dimensione di Hilbert numerabile.

Sia K lo spazio di Hilbert ℓ 2 (ℕ) e E la sua base di Hilbert canonica . La dimensione (algebrica) di K è c , e possiamo completare E in una base (algebrica) E ∪ F (con F disgiunto da E ).

Sia L lo spazio di Hilbert ℓ 2 (ℝ) , B la sua base canonica di Hilbert, φ una biiezione da F a B e T la mappa lineare di K a L tale che T ( f ) = φ ( f ) per f ∈ F e T ( e ) = 0 per e ∈ e .

Nello spazio di Hilbert H : = K ⊕ L , il grafo G di T è denso. Infatti, la sua adesione è un sottospazio vettoriale che contiene K ⊕ 0 (perché è chiuso e contiene E ⊕0 per definizione di T ), e la cui proiezione su L contiene B (sempre per definizione di T ).

In G , la parte numerabile E ⊕0 è ortonormale massimale.

Esistenza

Senza l'ipotesi di completezza, l'esistenza di una base di Hilbert non è garantita. Tuttavia:

Teorema - Ogni spazio prehilbertiano separabile ha una base di Hilbert.

Dimostrazione

La logica ha un'analogia con la dimostrazione precedente, anche se il lemma di Zorn non è più necessario. Sia ( f n ) una successione densa in H ; è possibile estrarre una sottosequenza libera ( g n ) n > 0 tale che l'adesione dello spazio sub-vettore attraversato dal g n è uguale a H . Sia ( h n ) n > 0 la sequenza costruita per induzione come segue:

Sia n un intero positivo o nullo, assumiamo che h 1 , ..., h n siano già stati costruiti e indichiamo con H n il sottospazio che generano (quindi per n = 0 non assumiamo nulla, e H 0 = { 0}). Sia y la proiezione ortogonale di g n +1 su H n (che esiste, secondo la dimostrazione della disuguaglianza di Bessel nel caso finito). Allora il vettore g n +1 - y è diverso da zero. Dividendolo per la sua norma, costruiamo un vettore unitario h n +1 ortogonale a H n (quindi a tutti i precedenti h i ) e tale che lo spazio vettoriale generato da H n e h n +1 contenga g n +1 .

La famiglia ( h n ) è ortonormale per costruzione. I primi i vettori di questa famiglia generano lo stesso spazio dei primi i vettori della famiglia ( g n ): gli spazi vettoriali generati da ( h n ) e ( g n ) sono quindi fusi, il che completa la dimostrazione.

L' algoritmo di Gram-Schmidt si basa su questa logica.

Esempi

Spazio suite

Nello spazio di Hilbert ℓ 2 (ℕ), la base canonica di Hilbert è la famiglia ( δ n ) n ∈ℕ . Più in generale, in ℓ 2 ( X ) dove X è un qualsiasi insieme, la base canonica di Hilbert è (δ x ) x ∈ X , dove l'elemento δ x di ℓ 2 ( X ) è definito da: δ x ( x ) = 1 e tutti gli altri δ x ( y ) sono zero. (Se X è finito, è la base ortonormale canonica del corrispondente spazio euclideo o hermitiano.)

Ecco altri due esempi di basi di Hilbert, questa volta per L 2 ([0,1]) (che possono essere facilmente trasformate in basi di Hilbert di L 2 ([ a, b ]) per un intervallo arbitrario [ a, b ], modificando la variabile).

Sistema trigonometrico

L'esempio classico di base di Hilbert (e anche l'origine del concetto) è l'insieme delle funzioni trigonometriche

{\ displaystyle \ {x \ mapsto {\ sqrt {2}} \ cos (2 \ pi nx) ~ | ~ n \ in \ mathbb {N} \} \ cup \ {x \ mapsto {\ sqrt {2}} \ sin (2 \ pi nx) ~ | ~ n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \}}

Queste funzioni non costituiscono una base in senso algebrico, perché non costituiscono una famiglia che genera L 2 ([0,1]). Più precisamente, formano una base del sottospazio dei polinomi trigonometrici .

Il fatto che questa famiglia sia totale è noto con il nome di teorema di Riesz-Fischer .

Sistema Haar

La famiglia wavelet di Haar ( ψ n, k ), indicizzata da n e k , numeri naturali tali che k <2 n , forma anche una base di Hilbert di L 2 ([0,1]). Queste funzioni sono definite dalla wavelet madre ψ data da

{\ displaystyle \ psi (x) = \ left \ {{\ begin {array} {ll} 1 & {\ textrm {si}} \ quad 0 \ leq x <{\ frac {1} {2}}, \ \ -1 & {\ textrm {si}} \ quad {\ frac {1} {2}} \ leq x <1, \\ 0 & {\ textrm {altrimenti,}} \\\ end {array}} \ giusto.}

chiedendo

{\ Displaystyle \ psi _ {n, k} (x) = 2 ^ {n / 2} \ psi (2 ^ {n} xk) ~}

Note e riferimenti

W. Rudin, Analisi reale e complessa , Masson et Cie,1975, 81-82 p. ( ISBN 2-225-38214-X )
Laurent Schwartz, Topologia generale e analisi funzionale , Hermann,1970, 405 p.
Qualsiasi base di Hilbert numerabile è quindi una base di Schauder .
Vedi ad esempio S. Lang, Analyse actual , Paris, InterEditions, 1977 ( ISBN 978-2-72960059-4 ) , p. 150 .
L. Euler, Dimostrazione della somma di questa sequenza 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ecc. , Journal lit. della Germania, della Svizzera e del Nord 2, 1743, p. 115-127 .
Per maggiori dettagli vedere: (in) La soluzione di Eulero del problema di Basilea - La storia più lunga di E. Sandifer della New York University .
J. Fourier, Teoria analitica del calore , Parigi, Firmin Didot Père et Fils, 1822, canna. Jacques Gabay, 1988 ( ISBN 2-87647-046-2 ) .
(en) Paul R. Halmos , uno spazio di Hilbert problema Libro , Springer , coll. " GTM " ( n o 19)1982, 2 ° ed. , 369 p. ( ISBN 978-0-387-90685-0 , presentazione in linea ) , p. 30.
(in) Shmuel Kantorovitz , Introduzione all'analisi moderna , OUP ,2003, 448 p. ( ISBN 978-0-19-152355-7 , presentazione online ) , p. 112.
Corina Reischer , Marcel Lambert e Walter Hengartner , Introduzione all'analisi funzionale , PUQ ,diciannove ottantuno, 552 p. ( ISBN 978-2-7605-2026-4 , presentazione online ) , p. 222.

Vedi anche

Bibliografia

Jean-Pierre Aubin , Analisi funzionale applicata , PUF , 1987 ( ISBN 978-2-13039264-4 )
Haïm Brezis , Analisi funzionale: teoria e applicazioni [ dettaglio delle edizioni ]
(en) Serge Lang , Analisi reale e funzionale , Berlino, Springer, 2007 ( ISBN 3540940014 )
Walter Rudin , Analisi funzionale [ dettaglio delle edizioni ]

link esterno

Analisi di Hilbert di Frédéric Laroche in Walks Mathematics , 2005
Promemoria sugli spazi di Hilbert di Jean Lacroix dell'Università Pierre-et-Marie-Curie