Teorema di Stone-Weierstrass

In matematica , il teorema di Stone-Weierstrass è una generalizzazione del teorema di approssimazione di Weierstrass in analisi reale , secondo cui qualsiasi funzione continua definita su un segmento può essere approssimata uniformemente da funzioni polinomiali .

La generalizzazione di Marshall Stone estende questo risultato a funzioni continue definite su uno spazio compatto e con valori reali , sostituendo l' algebra delle funzioni polinomiali con una subalgebra o un reticolo che soddisfi ipotesi naturali.

Teorema di approssimazione di Weierstrass

Sia f una funzione continua da [ a , b ] a ℝ.

Per ogni ε> 0, esiste una funzione polinomiale p con coefficienti reali tale che per ogni x in [ a , b ], | f ( x ) - p ( x ) | ≤ ε.

o :

Esiste una sequenza ( P n ) di polinomi convergenti uniformemente per f su [ a , b ].

L'insieme C ([ a , b ]) di funzioni con valori reali e continui su [ a , b ], dotato della norma infinita ${\ displaystyle \ | f \ | = \ sup _ {x \ in [a, b]} | f (x) |}$ , è un'algebra di Banach ( cioè una ℝ-algebra associativa e uno spazio di Banach tale che per tutti f e g ). L'insieme delle funzioni polinomiali forma una sottoalgebra di C ([ a , b ]) e il teorema di approssimazione di Weierstrass afferma che questa sottoalgebra è densa in C ([ a , b ]). ${\ displaystyle \ | f \ cdot g \ | \ leq \ | f \ | \ cdot \ | g \ |}$

Il teorema per ogni a , b è equivalente a quello per a , b fisso (con a < b ).

Supponiamo che il teorema sia vero per qualsiasi funzione continua su un segmento fisso [ c , d ] (con c < d ), e mostra che è ancora vero per una funzione continua f su un altro segmento [ a , b ] (con a < b ). Per questo, cerchiamo di scegliere un polinomio omeomorfismo Φ: [ un , b ] → [ c , d ] - per esempio l' affine biiezione x ↦ c + ( x - a ) ( d - c ) / ( B - A ) - e sia g la funzione f ∘ Φ −1 , che su [ c , d ] è continua quindi (per ipotesi) limite uniforme di una successione di polinomi g n . Sia f n : = g n ∘ Φ. È ancora una funzione polinomiale, questa volta definita su [ a , b ] e (poiché $Φ$ è una biiezione da [ a , b ] su [ c , d ]) ║ f - f n ║ = ║ ( g - g n ) ∘ Φ║ = ║ g - g n ║ → 0.

Di seguito, un esempio di una sequenza di polinomi convergenti alla funzione di valore assoluto nell'intervallo [–1, 1].

Altre versioni e generalizzazioni

Versione trigonometrica

Per ogni funzione continua periodica f , esiste una sequenza di polinomi trigonometrici che converge uniformemente a f .

Derivato dalla teoria della serie di Fourier , il teorema di Fejér fornisce un esempio costruttivo di tale sequenza.

Legge dei grandi numeri

S. Bernstein ha fornito una dimostrazione costruttiva e probabilistica del teorema di Weierstrass su [0, 1], dimostrando che potremmo prendere:

P_ {n} (x) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} f \ sinistra ({\ frac kn} \ destra) B_ {k} ^ {n} (x)

dove sono i polinomi di Bernstein . $B_ {k} ^ {n} (x) = {n \ scegli k} x ^ {k} (1-x) ^ {{nk}}$

Infatti, se X è una variabile casuale che segue la distribuzione binomiale dei parametri ( n , x ), allora P n ( x ) è l' aspettativa di f ( X / n ), cioè la media di f applicata al numero di successi di n esperimenti indipendenti di probabilità x . La semplice convergenza di P n ( x ) af ( x ) per ogni x è una conseguenza della legge debole dei grandi numeri . Aumentando la probabilità della differenza tra X / n ed x , si deduce la convergenza uniforme di P n verso f .

Teorema di Stone-Weierstrass, versione algebrica

Il teorema di approssimazione generalizza in due direzioni:

L'intervallo compatto [ a , b ] può essere sostituito da uno spazio compatto X .
L'algebra delle funzioni polinomiali può essere sostituita da un'altra sottoalgebra A di C ( X ) a condizione che soddisfi una proprietà cruciale che è quella di separare i punti (in) (un sottoinsieme A di C ( X ) separa i punti se per qualsiasi coppia { x , y } di punti in X , esiste una funzione p di A tale che p ( x ) ≠ p ( y )).

In questo contesto, il teorema è scritto:

Teorema - Sia X uno spazio compatto e C ( X ) l'algebra di Banach delle funzioni continue da X a ℝ. Una sottoalgebra è densa in C ( X ) se (e solo se) separa i punti e contiene, per ogni punto x di X , una funzione che non svanisce in x .

Poiché i polinomi su [ a , b ] formano una sottoalgebra unificata di C ([ a , b ]) che separa i punti, il teorema di Weierstrass è una conseguenza del teorema di cui sopra.

Il campo dei numeri reali può essere sostituito da quello dei complessi , a condizione di supporre che A sia stabile per coniugazione .

Questo teorema è dedotto dal teorema di Stone-Weierstrass "versione reticolare" (sotto) e dai seguenti due lemmi.

Lemma 1 - Per ogni reale a > 0, esiste una successione di polinomi che converge uniformemente su [- a , a ] verso la funzione x ↦ | x |.

Lemma 2 - Ogni sottoalgebra chiusa di C ( X ) è un reticolo.

Prova dei due lemmi

Lemma 1 . Per omotetia , è sufficiente approssimare mediante polinomi la funzione del valore assoluto su [–1, 1]. Per questo, scriviamo | x | = $\sqrt 1 - (1 - x 2 )$ e usiamo che la serie di Taylor della funzione $h$ ↦ $\sqrt 1 - h$ è normalmente convergente su [0, 1].
Lemma 2 . Sia L questa subalgebra. In virtù delle relazioni $\ max (g, h) = {\ frac {g + h} 2} + {\ frac {| gh |} 2} {\ text {et}} \ min (g, h) = {\ frac {g + h} 2} - {\ frac {| gh |} 2},$ è sufficiente dimostrare che se $f$ ∈ L allora | $f$ | ∈ L . Prendendo $a = \ max _ {{x \ in X}} \ sinistra | f (x) \ destra |,$ che esiste per continuità e compattezza, troviamo dal Lemma 1 una successione di polinomi $( P n )$ che converge uniformemente su $[- a , a ]$ verso la funzione di valore assoluto. Anche se significa sottrarre a ciascuno di questi polinomi il suo termine costante, possiamo supporre che siano più zero a 0. La $P n ( f )$ forma quindi una successione di funzioni di L , che converge uniformemente su X verso | $f$ |.

Riduzione del teorema a quello della "versione reticolare"

Lasciare L l' adesione del sub-algebra A .

Per continuità di moltiplicazione, addizione e prodotto per uno scalare, L è una subalgebra.
Per Lemma 2, è un reticolo.
Mostriamo che l'ipotesi del teorema di Stone-Weierstrass “versione reticolare” è verificata. Let $x$ essere due punti distinti $x$ ed $y$ di X e due numeri reali $a$ e $b$ . A partire dal $p, q, r \ in A {\ text {tale che}} p (x) \ neq p (y), q (x) \ neq 0, r (y) \ neq 0,$ costruiamo prima $g \ in A {\ text {tale che}} g (x) \ neq g (y), g (x) \ neq 0, g (y) \ neq 0,$ modificando $g = p + uq + vr$ per realtà $u$ e $v$ opportunamente scelto. Ci sono quindi numeri reali $α$ e $β$ tali che la funzione $f = \ alpha g + \ beta g ^ {{2}}$ (che appartiene ad A quindi a L ) soddisfa $f ( x ) = a$ e $f ( y ) = b$ .

Ne consegue che L è denso in C ( X ) quindi uguale a C ( X ), vale a dire che A è denso in C ( X ).

Intere funzioni

Nel 1885, Weierstrass aveva anche dimostrato un teorema analogo per le funzioni intere ( funzioni olomorfe nell'intero piano complesso), che Torsten Carleman (en) generalizzò nel 1927, mostrando che qualsiasi funzione continua su R è un limite uniforme (su R ) di una sequenza di funzioni intere. A seguito di un'osservazione di Marcel Brelot , Wilfred Kaplan (en) ha dimostrato che la dimostrazione di Carleman ha persino prodotto il seguente risultato:

Teorema di Carleman - Sia una funzione continua. Per ogni funzione continua , esiste un intero funzione tale che: . ${\ displaystyle Q: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle E: \ mathbb {R} \ to \ left] 0, + \ infty \ right [}$ $f$ ${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad | f (x) -Q (x) | <E (x)}$

Applicazioni

Il teorema di Stone-Weierstrass ci permette di dimostrare le seguenti quattro proposizioni:

se f è una funzione continua con valori reali definiti nel blocco [ a , b ] × [ c , d ] e se ε è reale strettamente positivo, allora esiste una funzione polinomiale p con due variabili tali che per ogni x in [ a , b ] e y in [ c , d ], | f ( x , y ) - p ( x , y ) | <ε.
se X e Y sono due spazi compatti e se f : X × Y → ℝ è una funzione continua allora, per ogni ε> 0, esistono n > 0 e funzioni continue f 1 , f 2 ,…, f n su X e g 1 , g 2 ,…, g n su Y tali che ║ f - ∑ f i g i ║ <ε
Una misura limitata su [ a , b ] i cui momenti sono nulli è zero ( cfr. Problema del momento ). Ad esempio, se una funzione integrabile $f$ di [0, 1] in ℝ è tale che $\ forall p \ in \ mathbb {N}, ~ \ int _ {0} ^ {1} t ^ {p} f (t) ~ {\ mathrm d} t = 0,$ allora $f$ è zero quasi ovunque (quindi ovunque se è continuo ).
Se X è uno spazio metrico compatto ( quindi separabile ) , l'algebra di Banach C ( X ) è separabile . Basta scegliere in X una parte numerabile densa Y , definire su X , per ogni elemento y di Y , una funzione f y per f y ( x ) = d ( x , y ), e prendere per A la Uniferous sub -ℝ-algebra di C ( X ) generata da questi f y : poiché A è denso in C ( X ) secondo il teorema, l'unifera sub-ℚ-algebra generata da questi stessi f y (numerabile e denso in A ) è denso in C ( X ).
Se f è una funzione continua su [ a ; b ] quindi f ammette un antiderivativo su questo segmento. Questa dimostrazione fornisce l'esistenza di una primitiva senza coinvolgere una nozione di integrale.

Alcuni risultati validi per funzioni continue possono essere ridotti al caso di funzioni indefinitamente differenziabili usando il teorema di Stone-Weierstrass. È così che otteniamo una dimostrazione del teorema del punto fisso di Brouwer usando il teorema di Stokes .

Teorema di Stone-Weierstrass, versione reticolare

Sia X uno spazio compatto. Un sottoinsieme L di C ( X ) è chiamato un reticolo di C ( X ) se per ogni coppia di elementi f , g di L , funzioni max ( f , g ) e min ( f , g ) anche appartenere ad L . La versione reticolare del teorema di Stone-Weierstrass afferma che:

Teorema - Se X è uno spazio compatto con almeno due punti e se L è un reticolo di C ( X ) tale che, per tutti i punti distinti x ed y di X e tutti reali a e b , L contiene una funzione f soddisfacente f ( x ) = a e f ( y ) = b , allora L è denso in C ( X ).

Questa versione più generale segue immediatamente dal seguente lemma.

Lemma 3 - Sia L un reticolo di C ( X ). Affinché una funzione $g$ di C ( X ) appartenga all'adesione di L , (è necessario e) è sufficiente che per ogni $x , y$ ∈ X e ogni $ε> 0$ , esista una funzione $f$ ∈ L tale che

| f (x) -g (x) | <\ varepsilon {\ text {e}} | f (y) -g (y) | <\ varepsilon.

Prova del Lemma 3

Lasciate $ε> 0$ e $g$ ∈ C ( X ) che soddisfa questa condizione. Costruiremo una funzione $f$ ∈ L che approssima $g$ uniformemente $ε$ vicino.

In primo luogo un elemento fisso $z \in X$ .
Lasciate $x \in X$ . Per ipotesi, esiste una funzione $f z, x$ ∈ L tale che $f _ {{z, x}} (z)> g (z) - \ varepsilon {\ text {e}} f _ {{z, x}} (x) <g (x) + \ varepsilon.$ Poi chiediamo $V _ {{z, x}} = \ {y \ in X \ mid f _ {{z, x}} (y) <g (y) + \ varepsilon \}$ che contiene $x$ e che è un aperto , per continuità di $f z, x$ e $g$ .
La famiglia $( V z, x ) x \in X$ è una copertura aperta di X , e per compattezza possiamo estrarre da essa una copertura finita $( V z, x ) x \in A z$ . Possiamo quindi chiedere $h_ {z} = \ min _ {{x \ in A_ {z}}} f _ {{z, x}}$ che appartiene al reticolo L . Notare che la funzione $h z$ soddisfa $h_ {z} (z)> g (z) - \ varepsilon {\ text {e}} \ forall y \ in X, h_ {z} (y) <g (y) + \ varepsilon.$
Ora guardiamo alla famiglia $( h z ) z \in X$ . Ci mettiamo in posa $U_ {z} = \ {y \ in X \ mid h_ {z} (y)> g (y) - \ varepsilon \}$ che contiene $ze$ che è aperto, per gli stessi motivi di $V z, x$ . La famiglia $( U z ) z \in X$ copre X , e per compattezza estraiamo una sottocopertura finita $( U z ) z \in B$ Poniamo $f = \ max _ {{z \ in B}} h_ {z}$ di proprietà L .

La funzione $f$ quindi verifica

\ forall x \ in X, \ quad g (x) - \ varepsilon <f (x) <g (x) + \ varepsilon

come previsto.

Note e riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato “ Pietra - Teorema di Weierstrass ” ( vedi l'elenco degli autori ) .

(de) Karl Weierstrass , “ Über die analytische Darstellbarkeit Sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen ” , Sitz'ber. K. Preuss. Akad. Wiss. Berlino ,1885 : I, p. 633-639 e II, p. 789-805 .
Tale spazio è per definizione separato .
Laurent Schwartz, Generale topologia e l'analisi funzionale , Hermann,1970, p. 372-376
Questa dimostrazione è dovuta a Henri Lebesgue , che aveva appena superato l' Agrégation in matematica , nel suo primo articolo: Henri Lebesgue, " Sull'approssimazione delle funzioni ", Bulletin des sciences mathiques , vol. 22,1898, p. 278-287 ( leggi in linea ).
Torsten Carleman, Su un teorema di Weierstrass , Arkiv. Albero. Astron. Fys. , volo. 20, n o 4, 1927, pag. 1-5 .
Carleman lo formula, come Weierstrass, in termini - meglio conosciuti nel 1885 - di una serie di funzioni convergenti uniformemente (perché normalmente ) ( Weierstrass 1885 , p. 637: " es convergirt […] die Reihe […] unbedingt und gleichmässig ${\ Displaystyle \ sum _ {\ nu = 0} ^ {\ infty} f _ {\ nu} (x)}$ " ).
(in) Wilfred Kaplan, " Approssimazione per intere funzioni " , Michigan Math. J. , vol. 3, n o 1,1955, p. 43-52 ( DOI 10.1307 / mmd / 1031710533 , leggi in linea ).
Pinkus 2000 , p. 51-54.
Cfr. (En) Charalambos D.Aliprantis e Kim C.Bordo , Analisi dimensionale infinita: Guida per autostoppisti , Springer ,2007, 3 e ed. ( ISBN 978-3-540-32696-0 , leggi online ) , p. 353, che dimostrano anche il contrario: per ogni X compatto , se C ( X ) è separabile allora X è metrizzabile . Infatti, per ogni spazio vettoriale normato separabile E , la palla unitaria del duale E ' , dotata della topologia debole- *, è metrizzabile , oppure per E = C ( X ), X è naturalmente identificata con un sottospazio di questa palla .

Vedi anche

Bibliografia

(en) Allan Pinkus, " Weierstrass e la teoria dell'approssimazione " , J. Approx. Teoria , vol. 107, n o 1,2000, p. 1-66 ( DOI 10.1006 / jath.2000.3508 )