Haar wavelet
Il wavelet di Haar , o funzione di Rademacher , è un wavelet creato da Alfréd Haar nel 1909 . È considerato il primo wavelet conosciuto. È una funzione costante a tratti, che lo rende il wavelet più semplice da capire e implementare. Il wavelet di Haar può essere generalizzato da quello che viene chiamato il sistema di Haar .
Haar wavelet
La funzione madre delle wavelet di Haar è una funzione costante a tratti:
ψ(t)={1per0≤t<12,-1per12≤t<1,0altrimenti{\ displaystyle \ psi (t) = {\ begin {case} 1 & \ quad {\ textrm {pour}} \; \; 0 \ leq t <{\ frac {1} {2}}, \\ - 1 & \ quad {\ textrm {pour}} \; \; {\ frac {1} {2}} \ leq t <1, \\ 0 & \ quad {\ textrm {altrimenti}} \\\ end {case} }}
La funzione di scala associata è quindi una funzione di porta :
f(t)={1per0≤t<1,0altrimenti{\ displaystyle f (t) = {\ begin {cases} 1 & \ quad {\ textrm {pour}} \; \; 0 \ leq t <1, \\ 0 & \ quad {\ textrm {altrimenti}} \ \\ end {cases}}}
Il sistema Haar
Il sistema Haar è una sequenza di funzioni continue a tratti, appartenenti a for . È definito come segue, dalle funzioni dell'indicatore :
Lp([0,1]){\ displaystyle L ^ {p} ([0,1])}![{\ displaystyle L ^ {p} ([0,1])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d53d55ccc06ce5cc9ec3bede2be3e7933c206ee3)
1≤p<+∞{\ displaystyle 1 \ leq p <+ \ infty}
- h1(t)=11[0;1](t){\ displaystyle h_ {1} (t) = 1 \! \! 1 _ {[0; 1]} (t)}
![{\ displaystyle h_ {1} (t) = 1 \! \! 1 _ {[0; 1]} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1280f242515792132b7bbab0f8a41104e5f8d4a)
- Per e :K≥0{\ displaystyle k \ geq 0}
1≤l≤2K{\ Displaystyle 1 \ leq l \ leq 2 ^ {k}}
h2K+l(t)=11[2l-22K+1;2l-12K+1](t)-11[2l-12K+1;2l2K+1](t).{\ displaystyle h_ {2 ^ {k} + l} (t) = 1 \! \! 1 _ {\ left [{\ frac {2l-2} {2 ^ {k + 1}}}; {\ frac {2l-1} {2 ^ {k + 1}}} \ right]} (t) -1 \! \! 1 _ {\ left [{\ frac {2l-1} {2 ^ {k + 1} }}; {\ frac {2l} {2 ^ {k + 1}}} \ right]} (t).}![{\ displaystyle h_ {2 ^ {k} + l} (t) = 1 \! \! 1 _ {\ left [{\ frac {2l-2} {2 ^ {k + 1}}}; {\ frac {2l-1} {2 ^ {k + 1}}} \ right]} (t) -1 \! \! 1 _ {\ left [{\ frac {2l-1} {2 ^ {k + 1} }}; {\ frac {2l} {2 ^ {k + 1}}} \ right]} (t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/891350b83b9e782cecccac5398cab62e8cfe16cf)
Ecco le rappresentazioni grafiche di h 2 e h 3 :
Una delle proprietà interessanti del sistema Haar è che è una base di Schauder per .
Lp([0,1]){\ displaystyle L ^ {p} ([0,1])}1≤p<+∞{\ displaystyle 1 \ leq p <+ \ infty}
Riferimenti
-
(in) " Wavelets: seeing the Forest - and the Trees " su www.beyonddiscovery.org (visitato il 22 maggio 2010 )
Articoli Correlati
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">