Sistema numerico

Un sistema di numerazione è un insieme di regole che governano una o più numerazioni date. Più esplicitamente, è un insieme di regole per l'uso di segni , parole o gesti che consentono di scrivere, enunciare o imitare numeri , questi ultimi nascendo, nella loro forma scritta, contemporaneamente alla scrittura , della necessità di organizzare raccolti, scambi e appuntamenti . Il sistema numerico indù-arabo è oggi il più diffuso al mondo.

Criterio basilare

Il più antico sistema di numerazione, detto unario , si rivela poco pratico, soprattutto quando si tratta di gestire grandi quantità. Per ovviare a questo inconveniente, la soluzione consiste nel raggruppare le unità in pacchetti ogni volta che si raggiunge lo stesso valore, che viene chiamato base numerica . Allo stesso modo, questi pacchetti vengono raggruppati in pacchetti di ordine superiore e così via. Di solito, il numero di elementi in ogni pacchetto, che fornisce la base per il conteggio, è lo stesso. Ci sono eccezioni, tuttavia, per esempio nella nostra notazione delle ore: sessanta secondi per un minuto, sessanta minuti per un'ora, ventiquattro ore per un giorno, ventotto-trentuno giorni per un mese. Allo stesso modo, la numerazione Maya , di carattere vigesimale , è irregolare per avvicinarsi al calendario. La numerazione babilonese , di carattere sessagesimale , si presenta come una combinazione di sistemi.

Molti sistemi sono stati utilizzati da persone e tempi diversi.

Un sistema binario (base 2) utilizzato nelle lingue del Sud America e dell'Oceania è simile al sistema numerico utilizzato in informatica (1 corrente è attiva, 0 corrente non è attiva)
Un sistema ternario (base 3)
Un Quinary (base 5) le cui tracce rimangono fino al XX ° secolo in lingue africane , ma anche parzialmente nelle valutazioni Chuvash , Suzhou , romana e maya . Il nome dei numeri 6, 7, 8 e 9 in molte lingue testimonia questo sistema quinario: si dice che siano 5 + 1, 5 + 2, 5 + 3 e 5 + 4 in wolof (lingua del Niger -Congolese famiglia ), in Khmer (lingua austro-asiatiche), in nahuatl (lingua uto-azteca), e, in molte lingue austronesiane quali Lote o Ngadha (in forma parziale). La base quinaria appare come una sottobase della base decimale e della base vigesimale.
Un sistema senario (base 6) è usato nelle lingue Ndom e Kómnzo della Papua Nuova Guinea , così come nei dadi . Utilizza sei cifre da 0 a 5, conta le dita per "multipli di tre" basi, il più conveniente.
Un sistema ottale (base 8) è utilizzato nella lingua Pame settentrionale , in Messico , e nella lingua Yuki , in California , così come nell'informatica.
Un sistema nonario (base 9) è contrario alle basi esadecimali, "potenza di tre". Include due dita ternarie in una cifra.
Un sistema decimale (base 10) è stato utilizzato da molte civiltà, come i cinesi sin dai primi tempi e, probabilmente, i proto-indoeuropei . Oggi è di gran lunga il più diffuso.
Un sistema duodecimale (base 12) è utilizzato in Nepal dal popolo Chepang. Si trova, a causa dei suoi vantaggi in termini di divisibilità (per 2, 3, 4, 6), per un certo numero di valute e unità di conto corrente in Europa, nel Medio Evo , in parte in paesi anglosassoni. Nel imperiali sistema di unità e nel commercio. Viene anche utilizzato per contare mesi, ore, fiori, ostriche e uova.
Un sistema esadecimale (base 16), molto comunemente usato nell'elettronica così come nell'informatica. Il suo interesse risiede nelle conversioni banali con base 2, pur consentendo una scrittura più compatta dei numeri.
Un sistema vigesimale (o vicesimale, in base 20) esiste in Bhutan nella lingua Dzongkha, ed era in uso tra gli Aztechi e, sebbene irregolare, per la numerazione Maya . Lo ritroviamo per i suoi vantaggi in termini di divisibilità (per 2, 4, 5, 10). Alcuni credono che sia stato usato anche dai Galli o dai Baschi nei primi tempi, ma non è veramente noto se la loro numerazione fosse decimale o vigesimale.
Un sistema sessagesimale (base 60) è stato utilizzato per la numerazione babilonese , così come da indiani e arabi nella trigonometria . Attualmente è utilizzato nella misurazione del tempo e degli angoli.

Alcune basi numeriche sono utilizzate in campi scientifici, in particolare nell'elettronica digitale e nell'informatica. Vedere l'articolo Basic (aritmetica) per maggiori dettagli.

Sistemi di espressione

Alcuni numeri beneficiano esclusivamente di un nome semplice, come mille in francese. Altrimenti, diversi principi consentono di comporli.

L' aggiunta : in francese diciassette (10 + 7), settanta (60 + 10);
la moltiplicazione : da quattro a venti (4x20), duecento (2x100) in francese;
la sottrazione : diciotto è detto duodeviginti nel latino classico (due di venti, 20-2);
la divisione : cinquanta si dice che sia infestata in bretone (metà- [de-] cento, 100/2);
la protrazione (termine introdotto da Claude Hagège ) trentacinque di loro dicevano holhu ca kal in Yucatec (da cinque a dieci due ottanta, 15, 2 × 20, da 15 a 2 × 20 o 15 dai venti precedenti 2 × 20, cioè 15 + 20). Nell'espressione di 35 (come in quella di trenta) è consigliabile ripristinare un relatore implicito (o cancellato) che era tu (in realtà ti + u con ti = locativo 'verso' eu = indice personale di 3 ° persona ' il suo 'che, in questo contesto, è stato utilizzato per derivare l'ordinale dal cardinale, così che l'espressione di 35 dovrebbe essere analizzata come "15 verso i secondi venti".

A volte viene utilizzato un sistema ausiliario. Rispetto al sistema principale, questo può essere:

inferiore : il numero Wolof è decimale ma usa un sistema quinario ausiliario, ventisei si dice che sia ñaar fukk ak juroom benn in Wolof (due decine e cinque uno, 2 × 10 + 5 + 1);
superiore : la numerazione basca è decimale ma usa un sistema vicesimale ausiliario, centocinquantadue è detto in ehunta berrogeita hamabi in basco (cento e due-venti-dieci-due, 100 + 2 × 20 + 10 + 2 ). Allo stesso modo, in francese di Francia e in francese canadese (Quebec) persistono ottanta e novanta (invece di ottanta in Svizzera e settanta e novanta in Svizzera e Belgio), che provengono dal sistema vicesimale medievale . , Usato come ausiliario del decimale principale sistema di origine latina.

Infine, alcuni numeri beneficiano di una costruzione indipendente dalla base utilizzata. Pertanto, attualmente in bretone , diciotto sarebbe triwecʼh (tre-sei, 3 × 6). C'erano anche precedentemente daounav (due-nove, 2 × 9) e, rispettivamente, per quarantacinque e quarantanove, pemp nav (cinque nove, 5 × 9) e seizh seizh (sette sette, 7 × 7). Inutile dire che quest'ultima forma non deriva da una base sette, ma dal valore simbolico di questo numero.

Sistemi mimo

Le persone tradizionalmente usano parti del loro corpo per contare. Per un conteggio decimale o quinario, generalmente sono coinvolte le dita. Gli Yukis , impiegando un ottale , usano gli spazi tra le dita per contare. Le persone Chepang , che utilizzano un sistema duodecimale , usano il pollice per contare sulle falangi delle dita . Sono stati impiegati anche molti altri metodi.

Sistemi di valutazione

I simboli usati per scrivere i numeri sono le cifre . Le regole per l'utilizzo di questi numeri consentono di distinguere schematicamente tre famiglie principali di sistemi di punteggio: sistemi additivi, ibridi e posizionali.

Sistemi additivi

Questi sistemi usano i numeri per rappresentare i poteri della base, e possibilmente i sottomultipli di quei poteri. Gli altri numeri si ottengono giustapponendo questi simboli. Il lettore è quindi responsabile dell'aggiunta dei valori dei simboli per scoprire il numero. È il caso dei sistemi di numerazione egiziano , greco , romano , gotico o più semplicemente del sistema unario o della numerazione delle foreste .

Esistono anche sistemi additivi e sottrattivi. Pertanto, il numero romano , additivo, conosce una successiva variante additiva e sottrattiva.

Sistemi ibridi

Questi sistemi usano i numeri per le unità e per le potenze di base. I numeri che rappresentano una potenza della base utilizzata sono, se necessario, combinati con un numero che rappresenta un'unità, e i numeri sono quindi rappresentati sommando multipli di potenze della base. Questo è il caso dei sistemi numerici cinese e giapponese . Si può notare che un tale sistema di notazione ha una forte analogia con il sistema per parlare i numeri nella maggior parte delle lingue. (Ad esempio, in francese, il numero duemilaottocentodiciassette si forma anche sommando multipli di potenze della base 10: 2 × 10³ + 8 × 10² + 1 × 10¹ + 7.)

Sistemi posizionali

Questi sistemi utilizzano cifre, il cui posto nella scrittura del numero indica il peso loro assegnato (peso n 0 = 1, peso n 1 = n, peso n 2 ,… per una base n). Questo è il caso dei sistemi numerici Maya e Babilonese , così come dei sistemi numerici indiano e arabo che sono l'origine della matematica moderna. Questi ora ti consentono di scrivere numeri semplicemente indipendentemente dalla base, usando lo zero posizionale.

In un tale sistema, una base β richiede cifre β per rappresentare tutti i numeri interi. Tipicamente, il valore di questi numeri varia da 0 a β-1; ma ci sono anche tipi di rappresentazioni non standard:

sistemi k-adici, senza 0, che utilizzano, per una base β, cifre da 1 a β (questi sono sistemi biiettivi );
sistemi bilanciati che utilizzano, per una base dispari β, cifre da - (β-1) / 2 a (β-1) / 2;
sistemi ridondanti, che utilizzano come base β un numero di cifre strettamente maggiore di β.

Alcuni sistemi sono incompleti perché non possono rappresentare tutti i numeri. Questo è il caso, ad esempio, dei sistemi di base β che utilizzano un numero di cifre strettamente inferiore a β.

Diversi sistemi hanno applicazioni in elettronica e informatica. Questi sistemi hanno la particolarità di rappresentare numeri su un numero definito di posizioni, e possono quindi rappresentare solo interi fino a un certo limite. Per esempio,

in binario: sistema negabinario ;
in ternario: sistema ternario equilibrato ;
in base β: sistema Avizienis .

Altri sistemi

Esistono anche sistemi alternativi di rappresentazioni numeriche, derivati dal sistema posizionale o indipendenti dal concetto di base come definito sopra. Ecco alcuni esempi,

in matematica (vedere la sezione successiva corrispondente): espansione continua della frazione , espansione di Engel in serie , espansione di Hensel , sistema di rappresentazione modulare ;
elettronica e computer: ho pensato binario (o codice Gray), il complemento del complemento a due , il BCD .

Matematica

Definizione

Un sistema di numerazione è una tripla ( X, I, φ ), dove X è l'insieme di enumerazione, I è una notte fi o numeri numerabili e φ è una mappatura iniettiva nella serie di cifre , . In notazione decimale, X è l'insieme dei numeri naturali, è l'insieme delle cifre decimali e la sequenza associata a un numero intero è la sequenza delle sue cifre decimali. L'applicazione φ è detta rappresentazione di applicazione, e φ ( x ) è la rappresentazione di x ∈ X . Suite ammissibili sono definiti come rappresentazioni di immagini φ ( x ) per x ∈ X . ${\ displaystyle \ Phi: X \ hookrightarrow I ^ {\ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle x \ mapsto (\ epsilon _ {n} (x)) _ {n \ geq 1}}$
${\ displaystyle I = \ {0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7, \, 8, \, 9 \}}$
Georg Cantor definisce un sistema di numerazione come i dati di una serie di numeri naturali a n disposti in ordine crescente (nel caso del sistema decimale: a n = 10 n ) e per ciascuno, con un valore massimo m n di coefficiente per che ci permettiamo di moltiplicarlo (nel caso del sistema decimale: m n = 9). Egli chiama rappresentazione di un numero naturale N tutto sequenza finita di coefficienti c k , ogni c k è un numero naturale non superiore a m k , tale che la somma di c k un k è uguale a N . Dimostra che un tale sistema è "semplice", cioè rappresenta ogni intero N in modo univoco, se e solo se a 0 = 1 e per tutti gli n , a n +1 = (1 + m n ) a n , allora in questo caso si estende le rappresentazioni di interi in rappresentazioni di reali ( positivi ), aggiungendovi serie infinite della forma ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {d_ {k}} {a_ {k}}}, \ quad d_ {k} \ in \ {0,1, \ ldots , m_ {k-1} \}.}$
Aviezri S. Fraenkel fornisce una definizione generale di un sistema numerico e descrive i casi di unicità e completezza: un sistema numerico è completo se consente di rappresentare tutti i numeri interi.
Lo studio sistematico è stato ripreso nel contesto dei linguaggi formali e della combinatoria da Michel Rigo.
Il problema della propagazione del rinvio è stato studiato da Valérie Berthé , Christiane Frougny, Michel Rigo e Jacques Sakarovitch.

Esempi

La rappresentazione q -adica, o scrittura in base q : qualsiasi numero intero naturale è scritto in un modo univoco come , con le cifre e dove è il numero di cifre di n in base q . Allo stesso modo, qualsiasi reale può essere scritto, in un modo unico se la sua espansione è propria (nessuna sequenza infinita di q -1 come 0.999 ... = 1), come . ${\ Displaystyle n = \ sum _ {i = 0} ^ {N} \ epsilon _ {i} (n) q ^ {i}}$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ epsilon _ {i} (n) <q}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {N} (n) \ not = 0}$ ${\ Displaystyle N = \ left \ lfloor {\ frac {\ log (n)} {\ log (q)}} \ right \ rfloor +1}$ ${\ Displaystyle n = \ sum _ {i = - \ infty} ^ {N} \ epsilon _ {i} (n) q ^ {i}}$
La rappresentazione Zeckendorf : i numeri di Fibonacci , , usato per scrivere tutto intero naturale come unicamente con i numeri e . ${\ displaystyle F_ {0} = 1}$ ${\ displaystyle F_ {1} = 2}$ ${\ displaystyle F_ {n + 2} = F_ {n + 1} + F_ {n}}$ ${\ displaystyle n = \ sum _ {i = 0} ^ {N} \ epsilon _ {i} (n) F_ {i}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {i} (n) \ in \ {0,1 \}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {N} (n) \ not = 0}$
La rappresentazione in frazioni continue : qualsiasi numero reale può essere scritto (in modo univoco se l'espansione è propria) con e per k> 0 . ${\ displaystyle x = a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2} + {\ frac {1} {a_ {3} + \ dots}} }}}}}$ ${\ displaystyle a_ {0} \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle a_ {k} \ in \ mathbb {N} ^ {*}}$
Sistemi di numeri di base non interi : la base d'oro è un esempio.
La scomposizione in numeri primi è un sistema di numerazione, utilizzato in particolare dai computer quantistici , ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*}, \ exist! (\ alpha _ {p}) _ {p \ in {\ mathcal {P}}} \ in \ mathbb {N} ^ {({\ mathcal {P}})}: n = \ prod _ {p \ in {\ mathcal {P}}} p ^ {\ alpha _ {p}}}$ .

Il sistema di rappresentazione modulare (RNS) consente, utilizzando una base di moduli reciprocamente primi , di enumerare tutti gli interi fino alla loro sequenza di resto utilizzando il Teorema cinese del resto . ${\ displaystyle \ {m_ {1}, m_ {2}, \ ldots, m_ {n} \}}$ ${\ displaystyle 0 \ leq x <M}$ $M = \ prod _ {{i = 1}} ^ {n} m_ {i}$ ${\ displaystyle (x {\ pmod {m_ {i}}}) _ {1 \ leq i \ leq n}}$
L' enumerazione fattoriale (en) , in cui una serie finita di interi con rappresenta il numero intero . ${\ displaystyle (x_ {n}, \ ldots, x_ {1})}$ ${\ displaystyle 0 \ leq x_ {k} \ leq k}$ ${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {k} .k!}$

Sistema di conteggio delle fibre

I numeri provengono da una trasformazione non iniettiva $T: X \ a X$

Nella rappresentazione q-adica, la "cifra delle unità" è data da e la sequenza di cifre da dove T è la mappa . ${\ displaystyle \ epsilon (n) = n \, ({\ text {mod}} \, q)}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {k} (n) = \ epsilon (T ^ {k} (n))}$ ${\ displaystyle T (n) = ({n- \ epsilon (n)}) / q}$
La continuazione delle figure della rappresentazione in frazioni continue viene da e dall'applicazione di Gauss . ${\ displaystyle \ epsilon (x) = \ lfloor 1 / x \ rfloor}$ ${\ displaystyle T (x) = 1 / x- \ epsilon (x)}$

Note e riferimenti

" Numbers in Wolof " , su www.omniglot.com (visitato il 10 gennaio 2020 )
di Tuxy Varman | , " Figure khmer " , su Srok Khmer - Impara il khmer ,28 novembre 2014(accesso 10 gennaio 2020 )
" Numbers in Nahuatl " , su www.omniglot.com (visitato il 10 gennaio 2020 )
" Numbers in Lote " , su www.omniglot.com (visitato il 10 gennaio 2020 )
" Numbers in Ngadha " , su www.omniglot.com (visitato il 10 gennaio 2020 )
A. Cauty, Specificities of precolombian Mayan numeration , Memory of the Société de Linguistique de Paris, Nouvelle Série, volume XII, 2002, Leuven (Belgium), Peters, p.121-147
A. Cauty, The protractive type of the mayan area , Facts of Languages, n . 20, 2002: Mesoamerica, Caribbean, Amazonia, Vol. 1, Parigi, Ophrys, p. 85-93.
Michel Rigo, formali Lingue, Macchine e Sistemi di numerazione , vol. 2: Applicazioni per Riconoscibilità e Decidibilità , Londra / Hoboken, NJ, ISTE / John Wiley & Sons, Inc.,2014.
(De) Georg Cantor, " Ueber die einfachen Zahlensysteme " , Zeitschrift für Mathematik und Physik , vol. 14,1869, p. 121-128 ( leggi in linea ).
(in) Aviezri S. Fraenkel, " Systems of Numeration " , American Mathematical Monthly , vol. 92, n o 21985, p. 105-114.
Valérie Berthé , Christiane Frougny , Michel Rigo e Jacques Sakarovitch , " The carry propagation of the successor function ", Advances in Applied Mathematics , vol. 120, 2020, articolo n . 102062 ( DOI 10.1016 / j.aam.2020.102062 , arXiv 1907.01464 ).
(in) AJ Kempner, " Anormal systems of numeration " , American Mathematical Monthly , vol. 43, n o 10,1936, p. 610-617 ( DOI 10.2307 / 2300532 ).
John Gribbin , Quantum physics , 2 th ed., Pearson Education, 2007 ( ISBN 978-2-7440-7263-5 ) , p. 57 .
Charles-Ange Laisant , " Sulla numerazione fattoriale, applicazione alle permutazioni ", Bulletin of the Mathematical Society of France , vol. 16,1888, p. 176-183 ( leggi in linea ).

Vedi anche

link esterno

NUMERI: curiosità, teoria e usi sul sito di Gérard Villemin (basi di conteggio)
Numerazione
Convertitore di base sul sito dell'Università Nice-Sophia-Antipolis
Software per scoprire i sistemi di numerazione [1] sul sito Michel Ramus