Conte di Ostrowski
In matematica, la numerazione di Ostrowski , dal nome di Alexander Ostrowski , è un sistema di numerazione basato sull'espansione frazionaria continua ; è un sistema di numerazione posizionale non standard per interi e per numeri reali .
Notazioni
Sia un numero irrazionale positivo con espansione della frazione continua
α{\ displaystyle \ alpha}
α=a0+1a1+1a2+1a3+⋯{\ displaystyle \ alpha = a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2} + {\ cfrac {1} {a_ {3} + \ cdots} }}}}}}Sia la successione dei denominatori del convergente a , data da
(qnon){\ displaystyle (q_ {n})}pnon/qnon{\ displaystyle p_ {n} / q_ {n}}α{\ displaystyle \ alpha}
qnon=anonqnon-1+qnon-2{\ displaystyle q_ {n} = a_ {n} q_ {n-1} + q_ {n-2}}.
Impostiamo , dov'è l' operatore Gauss-Kuzmin-Wirsing dato da , e ; allora abbiamo
αnon=Tnon(α){\ displaystyle \ alpha _ {n} = T ^ {n} (\ alpha)}T{\ displaystyle T}T(X)={1/X}{\ displaystyle T (x) = \ {1 / x \}}βnon=(-1)non+1α0α1⋯αnon{\ displaystyle \ beta _ {n} = (- 1) ^ {n + 1} \ alpha _ {0} \ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {n}}
\ .
βnon=anonβnon-1+βnon-2{\ displaystyle \ beta _ {n} = a_ {n} \ beta _ {n-1} + \ beta _ {n-2}}
Rappresentazione di numeri reali
Qualsiasi numero reale positivo può essere scritto come
X{\ displaystyle x}
X=∑non=1∞bnonβnon {\ displaystyle x = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} \ beta _ {n} \}dove i coefficienti verificano la disuguaglianza e, se c'è uguaglianza , allora .
bnon{\ displaystyle b_ {n}}bnon≤anon{\ displaystyle b_ {n} \ leq a_ {n}}bnon=anon{\ displaystyle b_ {n} = a_ {n}}bnon-1=0{\ displaystyle b_ {n-1} = 0}
Rappresentazione dei numeri naturali
Qualsiasi numero intero positivo può essere scritto in modo univoco come
NON{\ displaystyle N}
NON=∑non=1Kbnonqnon {\ displaystyle N = \ sum _ {n = 1} ^ {k} b_ {n} q_ {n} \}dove i coefficienti verificano la disuguaglianza e se allora .
0≤bnon≤anon{\ displaystyle 0 \ leq b_ {n} \ leq a_ {n}}bnon=anon{\ displaystyle b_ {n} = a_ {n}}bnon-1=0{\ displaystyle b_ {n-1} = 0}
Se è la sezione aurea , allora i quozienti parziali sono tutti uguali a 1, i denominatori q n sono i numeri di Fibonacci e troviamo il teorema di Zeckendorf sulla codifica di Fibonacci di interi positivi come somma di numeri di Fibonacci distinti non consecutivi.
α=φ{\ displaystyle \ alpha = \ varphi}anon{\ displaystyle a_ {n}}qnon{\ displaystyle q_ {n}}
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Note e riferimenti
-
Jean-Paul Allouche e Jeffrey Shallit , Sequenze automatiche: teoria, applicazioni, generalizzazioni , Cambridge University Press ,2003, 571 p. ( ISBN 978-0-521-82332-6 , zbMATH 1086.11015 , leggi online ).
- Chiara Epifanio, Christiane Frougny, Alessandra Gabriele, Filippo Mignosi e Jeffrey Shallit , “ Grafici Sturmiani e rappresentazioni intere su sistemi di numerazione ”, Discrete Applied Mathematics , vol. 160, n osso 4-5,2012, p. 536-547 ( DOI 10.1016 / j.dam.2011.10.029 , zbMATH 1237.68134 )
- Alexander Ostrowski , " Bemerkungen zur Theorie der diophantischen Approximationen ", Hamb. Abh. , vol. 1,1921, p. 77–98
- (en) N. Pytheas Fogg (pseudonimo), Valérie Berthé , Sébastien Ferenczi, Christian Mauduit e Anne Siegel (editori), Sostituzioni in dinamica, aritmetica e calcolo combinatorio , Berlino / Heidelberg / New York, Springer-Verlag , coll. "Appunti di matematica" ( n o 1794)2002, 402 p. ( ISBN 3-540-44141-7 , zbMATH 1014.11015 )
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