Spazio Schwartz

In matematica , lo spazio di Schwartz è lo spazio delle funzioni in declino (vale a dire, funzioni indefinitamente differenziabili con rapida diminuzione, nonché le loro derivate di tutti gli ordini). Il duale di questo spazio è lo spazio delle distribuzioni temperate . Spazia e gioca un ruolo essenziale nella teoria della trasformata di Fourier . ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {S}} ^ {{\ prime}}$ ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {S}} ^ {{\ prime}}$

Definizione

Una funzione $f$ è parte dello spazio quando è indefinitamente differenziabile, e se $f$ e tutte le sue derivate stanno rapidamente diminuendo , cioè, il loro prodotto da qualsiasi funzione polinomiale è infinitamente vincolato. Si dice che le funzioni appartenenti a stiano diminuendo . ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}$

Per due multi-indici , definiamo le norme per ${\ displaystyle \ alpha, \ beta}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ alpha, \ beta}}$

{\ displaystyle \ | f \ | _ {\ alpha, \ beta} = \ | x ^ {\ alpha} D ^ {\ beta} f \ | _ {\ infty}}

dove è la derivata dell'ordine di $f$ . Quindi lo spazio di Schwartz può essere descritto come ${\ displaystyle D ^ {\ beta} f}$ $\beta$

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}) = \ {f \ in {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {N}) \ mid \ forall (\ alpha, \ beta) \ \ | f \ | _ {\ alpha, \ beta} <+ \ infty \}}

Se non c'è ambiguità, lo spazio può essere semplicemente rappresentato dalla lettera . ${\ mathcal {S}}$

Proprietà

Topologia

Lo spazio di Schwartz può essere dotato di una topologia, la topologia iniziale associata alla famiglia delle semi-norme , equivalente a quella associata alla famiglia filtrante delle semi-norme definita da: $(\ |. \ | _ {{\ alpha, \ beta}}) _ {{\ alpha, \ beta \ in \ mathbb {N} ^ {N}}}$ $({\ mathcal {N}} _ {p}) _ {{p \ in \ mathbb {N}}}$

{\ mathcal {N}} _ {p} (.) = \ sum _ {{| \ alpha |, | \ beta | \ leq p}} \ |. \ | _ {{\ alpha, \ beta}}, \, p \ in \ mathbb {N}.

Lo spazio Schwartz è, fornito con questa topologia, uno spazio Fréchet . Essendo definito da una famiglia di filtri numerabili di semi-norme, è effettivamente uno spazio localmente convesso , separato , metrizzabile , e dimostriamo inoltre che è completo .

La convergenza di una successione di è quindi definita come segue. Una sequenza di funzioni converge in una funzione if e if ${\ mathcal {S}}$ ${\ displaystyle (\ phi _ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $\ phi$ $\ phi \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$

\ forall p \ in \ mathbb {N} \ quad \ lim _ {{n \ to \ infty}} {\ mathcal {N}} _ {p} (\ phi _ {n} - \ phi) = 0.

Il suo duale topologico è lo spazio delle distribuzioni temperate ${\ mathcal {S}} "$ .

Esempi

Lo spazio contiene lo spazio delle funzioni C ∞ con supporto compatto . Questo spazio, anche notato , è denso nel senso della (forte) convergenza definita sopra. ${\ mathcal {S}}$ $\ mathcal {D}$ $C_ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$
Contiene anche altri elementi come le funzioni della forma prodotto di un polinomio e di una gaussiana:

x \ mapsto x ^ {\ alpha} e ^ {{- a \ | x \ | ^ {2}}} \ in {\ mathcal {S}}

per qualsiasi multi-indice α e qualsiasi reale .

a> 0

Lo spazio è un sottospazio vettoriale dei diversi spazi $L$ $p$ per $1 \leq$ $p$ $\leq + \infty$ . È inoltre denso in ciascuno di questi insiemi, tranne $L$ $\infty$ . ${\ mathcal {S}}$

Operazioni spaziali di Schwartz

Lo spazio è stabile per addizione interna e per derivazione, e queste operazioni definiscono operatori continui. ${\ mathcal {S}}$
Lo spazio è stabile per moltiplicazione interna, o anche per moltiplicazione per qualsiasi funzione di. In particolare, è stabile per moltiplicazione per una funzione polinomiale. Per qualsiasi funzione di , l'operatore definito da è continuo all'interno di se stesso. ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N}).$ $f$ ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $\ phi \ mapsto f \ phi$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$

Moltiplicatori di :

{\ mathcal {S}}

Definiamo lo spazio dei moltiplicatori di come il sottoinsieme delle funzioni le cui derivate sono tutte con crescita polinomiale, cioè ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {N})$

\ forall \ alpha \ in (\ mathbb {N} ^ {N}) \ quad \ esiste C _ {\ alpha}> 0, \ esiste N _ {\ alpha} \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {N} \ quad | (\ partial ^ {\ alpha} f) (x) | \ leq C _ {\ alpha} (1+ | x |) ^ {{N _ {\ alpha}}}.

Chiamiamo lo spazio delle funzioni differenziabili indefinitamente a crescita lenta. ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N})$

La trasformazione di Fourier induce un automorfismo topologico di . Questo automorfismo è dato da ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {F}}$ $\ left ({\ mathcal {F}} f \ right) \ left (\ xi \ right) = \ int _ {{\ mathbb {R} ^ {N}}} f (x) {{\ rm {e} }} ^ {{- 2 {{\ rm {i}}} \ pi \ xi x}} {{\ rm {d}}} x$ dove l' automorfismo inverso è dato da $\ xi x = \ sum _ {{k = 1}} ^ {N} \ xi _ {k} x_ {k}.$ ${\ mathcal {{\ bar {F}}}},$ $\ left ({\ mathcal {{\ bar {F}}}} f \ right) \ left (\ xi \ right) = \ int _ {{\ mathbb {R} ^ {N}}} f (x) { {\ rm {e}}} ^ {{2 {{\ rm {i}}} \ pi \ xi x}} {{\ rm {d}}} x.$ Il teorema di Plancherel-Parseval dice che se diamo la struttura prehilbertiana indotta dalla trasformazione di Fourier è un operatore unitario di in sé. ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {N}) \ supset {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}),$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$
La classe Schwartz è assorbente per il prodotto convoluzione con ${\ mathcal {E}} "$ : per qualsiasi distribuzione con supporto compatto e funzione Schwartz che abbiamo $T \ in {\ mathcal {E}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$ $\ phi \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}),$

T \ ast \ phi \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}).

Più in generale, denotiamo l'insieme di convolori di cioè l'insieme di distribuzioni come inviato continuamente in Questo insieme è un sottospazio vettoriale di (vale a dire dello spazio delle distribuzioni temperate ) che contiene le distribuzioni con supporto compatto e le funzioni di decadimento veloce integrabili localmente . Questo è il motivo per cui chiamiamo lo spazio delle distribuzioni in rapido decadimento. Dotato del prodotto di convoluzione, è inoltre un'algebra associativa , commutativa e unificata su cui e sono moduli unitari. ${\ mathcal {O}} _ {c} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}),$ $T \ in {\ mathcal {D}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$ $g \ mapsto g \ ast T$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}).$ ${\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {O}} _ {c} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {O}} _ {{c}} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$

Note e riferimenti

Nota

Riferimenti

(it) Harish-Chandra , “ Serie discreta per gruppi di Lie semisemplici. II. Determinazione esplicita dei personaggi ” , Acta Math. , vol. 116,1966, p. 1-111
L. Schwartz , " Teoria delle distribuzioni e trasformazione di Fourier ", Annales de l' Université de Grenoble , vol. 23, 1947-1948, pagg. 7-24 ( leggi online )
Laurent Schwartz , Teoria della distribuzione , Parigi, Hermann,1966, 418 p. ( ISBN 2-7056-5551-4 )
[PDF] F. Golse , Distribuzioni, analisi di Fourier, equazioni alle derivate parziali , École polytechnique, 2012, dispensa del corso