Logaritmo naturale

Funzione logaritmo naturale Curva rappresentativa della funzione .

{\ displaystyle x \ mapsto \ ln x}

Valutazione	$\ ln$
Reciproco	${\ displaystyle \ exp}$
Derivato	${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {x}}}$
Primitivi	${\ displaystyle x \ mapsto x \ ln x-x + C}$

Caratteristiche principali

set di definizioni	$\R _ + ^ *$
Set di immagini	$\ mathbb {R}$

Valori speciali

Limite tra + ∞	+

Particolarità

asintoti	$x = 0$
zeri	1

Il logaritmo naturale o logaritmo naturale , o logaritmo iperbolico al XX ° secolo, trasformato, come le altre funzioni logaritmiche , somme prodotti. L'uso di tali funzioni consente di facilitare i calcoli comprendenti numerose moltiplicazioni, divisioni ed elevazioni a potenze razionali. È spesso indicato con $ln ()$ .

Si dice che il logaritmo naturale o naturale ha base $e$ perché $ln (e) = 1$ .

Il logaritmo naturale di un numero x può essere definito anche come la potenza a cui dobbiamo elevare $e$ per ottenere x . La funzione logaritmica naturale è quindi la biiezione reciproca della funzione esponenziale . È anche l' antiderivata definita su reali strettamente positivi e che si annulla a 1 della funzione inversa $x \mapsto 1 / X$ .

Questa funzione è stata annotata $l.$ o $l'$ all'inizio del XVIII ° secolo e nella prima metà del XIX ° secolo, poi il login. o accedere alla fine del XVIII ° secolo, quindi accedere a differenziare il log funzione (logaritmo di qualsiasi base, o più particolarmente logaritmo ) o logh ( "logaritmo iperbolico"), prima di tentare di imporre la notazione raccomandato dal AFNOR 1961 e gli standard ISO 80000-2: la notazione ln . Con un successo molto relativo, tuttavia: la notazione logaritmica è ancora oggi utilizzata in diversi rami della matematica, e specialmente nella teoria dei numeri, nonché in diversi linguaggi di programmazione, come C , C ++ , SAS , R , MATLAB , Mathematica , Fortran e BASE .

Storico

Questo logaritmo è chiamato Neperian, in omaggio al matematico scozzese John Napier che stabilì le prime tavole logaritmiche (che in realtà non sono tavole di logaritmi naturali). In genere datare l'origine dei logaritmi naturali nel 1647, quando Gregorio di Saint-Vincent lavora alla quadratura del dell'iperbole e dimostra che la funzione ottenuto verifica la proprietà di additività delle funzioni logaritmiche . Saint-Vincent, tuttavia, non vede alcun legame con i logaritmi di Napier, ed è il suo discepolo Alphonse Antoine de Sarasa che lo spiegherà nel 1649 . Il logaritmo naturale fu inizialmente chiamato "logaritmo iperbolico", in riferimento all'area sotto l'iperbole che rappresenta. Il nome “logaritmo naturale”, dovuto a Pietro Mengoli nel 1659, è ripreso nel 1668 in una nota di Nicolaus Mercator alla serie che porta il suo nome. Questa serie, utilizzata da Newton nel 1671, consente di calcolare in modo molto semplice i valori del logaritmo di Gregorio di Saint-Vincent. Il calcolo degli altri logaritmi appare poi molto complicato e, naturalmente, quello di Gregorio di Saint-Vincent diventa allora il logaritmo più naturale .

La funzione logaritmica naturale come antiderivata della funzione inversa

La funzione $x \mapsto 1 / X$ è continua su $] 0, + \infty [$ . Ammette quindi primitive di cui una sola si annulla in 1. Questa primitiva è detta logaritmo naturale ed è quindi definita da:

{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} \ quad \ ln x = \ int _ {1} ^ {x} {\ frac {1} {t}} ~ \ mathrm {d} t.}

Studio della funzione

La funzione logaritmica naturale è definita e derivabile (quindi continua) su $] 0, + \infty [$ e per ogni $x$ reale strettamente positivo, $\ ln'x = \ frac1x.$
Poiché questa derivata è strettamente positiva, il logaritmo naturale è strettamente crescente .
Poiché questa derivata è strettamente decrescente, il logaritmo naturale è strettamente concavo .
I limiti della funzione ai limiti del suo intervallo di definizione sono: $\lim\limits_ {x\to 0^+}\ln (x) = -\infty\qquad\text {et} \qquad\lim\limits_ {x\to+\infty} \ln (x) = +\ infinito.$ È quindi una biiezione da $] 0, + \infty [$ su ℝ.
Il suo numero derivato al punto $1$ (che dà la pendenza della tangente al grafico nel punto delle coordinate $(1, 0)$ ) è: $\ lim \ limit_ {h \ a 0} \ frac {\ ln (1 + h)} h = 1.$

La funzione logaritmica naturale come funzione logaritmica

Il logaritmo naturale soddisfa la stessa equazione funzionale di qualsiasi funzione logaritmica , vale a dire: per ogni $x$ e $y$ reale strettamente positivo,

\ ln (xy) = \ ln (x) + \ ln (y).

Infatti, per $y > 0$ fissato, la funzione $x \mapsto ln ( xy )$ (definita su $] 0, + \infty [$ ) ha la stessa derivata del logaritmo naturale, quindi differisce da una costante reale $k$ : $ln ( xy ) = ln ( x ) + k$ , con $k = ln ( y )$ poiché $ln (1 y ) = ln (1) + k = k$ .

Da questa proprietà algebrica deduciamo quanto segue, per tutti i reali strettamente positivi $a$ e $b$ :

$\ ln \ sinistra (\ frac ab \ destra) = \ ln (a) - \ ln (b)$
${\ displaystyle \ forall r \ in \ mathbb {Q} \ quad \ ln (a ^ {r}) = r \ ln (a).}$

Il fatto che tutte le funzioni logaritmiche siano tra loro proporzionali permette di ottenere, per ogni reale strettamente positivo $a$ , il logaritmo in base $a$ in funzione del logaritmo naturale:

\ log_a (x) = \ frac {\ ln (x)} {\ ln (a)}.

La funzione logaritmica naturale come reciproco della funzione esponenziale

Lo studio della funzione logaritmica naturale ha mostrato che è una biiezione da $] 0, + \infty [$ in ℝ. La sua biiezione reciproca , da ℝ in $] 0, + \infty [$ , coincide con la funzione esponenziale , poiché è la sua stessa derivata e assume il valore 1 in 0. Ciò fornisce una possibile definizione della funzione esponenziale dal logaritmo. Viceversa, avremmo potuto definire il logaritmo come la biiezione reciproca dell'esponenziale e poi verificarne la caratterizzazione sopra .

Dimostrazione

Let $f :] 0, + \infty [\to ℝ$ e $g : ℝ \to] 0, + \infty [$ due biiezioni, reciproci di ogni altro. Abbiamo ovviamente: $f (1) = 0$ se e solo se $g (0) = 1$ . Mostriamo, grazie al teorema sulla derivata di una biiezione reciproca , che $f$ è una primitiva di $x \mapsto 1 / X$ se e solo se $g$ è la propria derivata.

Se $f$ è differenziabile e se per ogni reale $x > 0$ , $f ' ( x ) = 1 / X$ , allora $g$ è differenziabile e

{\ displaystyle \ forall y \ in \ mathbb {R} \ qquad g '(y) = {\ frac {1} {f' (g (y))}} = g (y).}

Viceversa, se $g$ è differenziabile e se per ogni reale $y$ , $g ' ( y ) = g ( y )$ , allora $f$ è differenziabile e

{\ displaystyle \ forall x \ in] 0, + \ infty [\ qquad f '(x) = {\ frac {1} {g' (f (x))}} = {\ frac {1} {g ( f (x))}} = {\ frac {1} {x}}.}

In altre parole :

{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {\ star} \ quad {\ rm {e}} ^ {\ ln (x)} = x \ qquad {\ text {e}} \ qquad \ forall y \ in \ mathbb {R} \ quad \ ln ({\ rm {e}} ^ {y}) = y,}

che si può riassumere in:

{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}, ~ \ forall y \ in \ mathbb {R} \ quad y = \ ln x \ Leftrightarrow x = {\ rm {e} } ^ {y}}

e permette di risolvere equazioni in cui l'incognita compare come esponente.

Questa relazione permette di esprimere tutte le altre funzioni esponenziali di base un reale strettamente positivo $a$ con (per ogni $x$ reale ):

{\ displaystyle a ^ {x} = {\ rm {e}} ^ {x \ ln (a)}.}

Questa definizione coincide ovviamente con quella di $un r$ per razionale $r$ .

Sviluppo seriale

Fu Nicolaus Mercator il primo a proporre lo sviluppo intero di $ln (1 + x )$ ; il raggio di convergenza di questo sviluppo è $1$ . Abbiamo quindi la serie di Taylor :

{\ displaystyle {\ begin {allineato} \ forall x \ in \ left] -1,1 \ right [\ quad \ ln (1 + x) & = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} { \ frac {(-x) ^ {n}} {n}} \\ & = x - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {3} } - \ cdots \\ & = x \ left ({\ frac {1} {1}} - x \ left ({\ frac {1} {2}} - x \ left ({\ frac {1} {3 }} - x \ sinistra ({\ frac {1} {4}} - x \ sinistra ({\ frac {1} {5}} - \ cdots \ destra) \ destra) \ destra) \ destra) \ destra) . \ end {allineato}}}

(Vedi anche Funzione ipergeometrica # Casi speciali .)

Secondo la formula di Taylor con integrale dei resti o il teorema di convergenza radiale di Abel , tale espansione è ancora valida per $x = 1$ . Otteniamo così la somma della serie armonica alternata .

D'altra parte, si noti che Leonhard Euler ha applicato audacemente questa espansione a $x = -1$ . Senza preoccuparsi della convergenza, mostra che la serie armonica è il logaritmo naturale di $1 / 1 - 1$ , cioè dell'infinito. Oggi formalizziamo questa osservazione di Eulero con: "la serie armonica troncata in N è vicina al logaritmo di N quando N è grande" .

Per ottenere una migliore velocità di convergenza si può dedurre da essa:

{\ displaystyle {\ begin {allineato} \ forall x \ in \ left] -1,1 \ right [\ quad \ ln \ left ({\ frac {1 + x} {1-x}} \ right) & = 2x \ sinistra ({\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {3}} x ^ {2} + {\ frac {1} {5}} x ^ {4} + {\ frac {1} {7}} x ^ {6} + {\ frac {1} {9}} x ^ {8} + \ cdots \ destra) \\ & = 2x \ sinistra ({\ frac {1} {1 }} + x ^ {2} \ sinistra ({\ frac {1} {3}} + x ^ {2} \ sinistra ({\ frac {1} {5}} + x ^ {2} \ sinistra ({ \ frac {1} {7}} + x ^ {2} \ left ({\ frac {1} {9}} + \ cdots \ right) \ right) \ right) \ right) \ right), \ end { allineato}}}

che viene riscritto:

{\ displaystyle \ forall y \ in \ left] 0, + \ infty \ right [\ quad \ ln (y) = 2 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2k + 1}} \ sinistra ({\ frac {y-1} {y + 1}} \ destra) ^ {2k + 1}.}

Proprietà complementari

Studio dei limiti

I seguenti limiti consentono di determinare le crescite comparative del logaritmo naturale e di qualsiasi funzione di potenza :

{\ displaystyle \ mathrm {for ~ all ~ r {\ acute {e}} el ~} \ alpha> 0, \ qquad \ lim \ limit _ {x \ a 0 ^ {+}} x ^ {\ alpha} \ ln (x) = 0 \ qquad {\ text {et}} \ qquad \ lim \ limit _ {x \ a + \ infty} {\ frac {\ ln (x)} {x ^ {\ alpha}}} = 0.}

Derivato logaritmico

Per ogni funzione differenziabile reale $u$ , la funzione composta $ln\circ | tu |$ (definito in ogni punto in cui $u$ non si annulla) è differenziabile, di derivata

\ left (\ ln \ circ | u | \ right) '= \ frac {u'} u.

Questa derivata è detta derivata logaritmica della funzione $u$ . Rappresenta una variazione relativa istantanea. È quindi una misura utile sia in economia che nel calcolo dell'errore. Consente inoltre un calcolo più semplice della derivata di funzioni date sotto forma di prodotti, quozienti o potenze.

Primitivo

Applicando la formula di integrazione per parti al prodotto delle funzioni e , si ottiene: $\ ln$ ${\ displaystyle x \ mapsto 1}$

{\ displaystyle \ forall x> 0 \ quad \ int _ {1} ^ {x} \ ln {(t)} \ \ mathrm {d} t = x \ ln {(x)} - x + 1}

Secondo il teorema fondamentale dell'analisi , le primitive di sono quindi funzioni della forma ${\ displaystyle \ ln}$

{\ displaystyle x \ mapsto x \ ln {(x)} - x + k, \ quad k \ in \ mathbb {R}}

il più semplice è la funzione . ${\ displaystyle x \ mapsto x \ ln {(x)} - x}$

La funzione logaritmica naturale in funzione della variabile complessa

La domanda se sia possibile estendere il logaritmo naturale (cioè impostarlo su un insieme più grande che $] 0, + \infty [$ ) sorto nella seconda metà del XVII ° secolo con lo sviluppo in serie di funzioni. Il problema è che non esiste una funzione continua univoca su ℂ *, avente la proprietà algebrica delle funzioni logaritmiche e coincidente su $] 0, + \infty [$ con la funzione logaritmica naturale reale.

Possiamo però definire il logaritmo di un numero negativo ponendo, per ogni reale strettamente positivo $a$ , $ln (- a ) = ln ( a ) + iπ$ , ma la funzione così definita non possiede le proprietà algebriche della funzione logaritmica reale naturale . Possiamo incontrarlo lavorando con una calcolatrice che si occupa di numeri complessi: se studiamo la funzione $x \mapsto | ln ( x ) |$ , la calcolatrice potrebbe dover definire questa funzione su ℝ * interpretando il valore assoluto come modulo:

\ sinistra | \ ln (-a) \ destra | = \ sqrt {\ ln ^ 2 (a) + \ pi ^ 2}

per

un

reale strettamente positivo.

Note e riferimenti

Vedi per esempio (la) Leonhard Euler , “ Variae osservazioni circa series in ﬁnitas ” , Commentarii academiae scientarum Petropolitanae , vol. 9,1737, pag. 160-188 ; anche in Opera Omnia , Serie Prima, Opera Mathematica, Volumen Quartum Decimum, Teubner, 1925.
Vedi ad esempio Augustin Cauchy , Esercizi di analisi e fisica matematica , vol. 3, pag. 379, leggi online su Google Libri .
Vedi ad esempio Adrien-Marie Legendre , Saggio sulla teoria dei numeri , Parigi, Duprat, anno VI (1797 o 1798).
Si veda ad esempio (di) Edmund Landau , Handbuch der Lehre von der der Verteilung Primzahlen , Berlino 1909 ( 2 e ed. Con il Chelsea, New York, 1953).
Vedi libri di testo in Francia fino al 1972. O per esempio: Nikolai Piskunov , Calcolo, 5 ° Ed, 1972. Edizioni Mir , Mosca III.10 p. 91 .
Ad esempio, vedere (in) LBW Jolley, Summation of Series , 2 e (revised) edition, Dover Publications , New York, 1961 read online .
NF X 02-1 01 secondo le tabelle numeriche di J. Laborde, p. VI, 1976.
ISO 80000-2:2009 , Organizzazione internazionale per la standardizzazione .
Per esempio, vedere questa nota (in) GH Hardy and EM Wright , An Introduction to the Theory of Numbers ( 1 a ed. 1938) [ Retail Editions ]( 6 ° ed., Oxford, 2008, 1.7) " log x è, ovviamente, il logaritmo 'napieriano' di x in base e. I logaritmi "comuni" non hanno alcun interesse matematico. "
A. Dahan-Dalmedico e J. Peiffer , A History of Mathematics: Roads and Mazes ,1986[ dettaglio delle edizioni ], pag. 214.
Jean-Pierre Le Goff, “Dal cosiddetto metodo dell'esaurimento - Grégoire de Saint Vincent”, in La dimostrazione matematica nella storia , IREM de Besançon.
Simone Trompler, " La storia dei logaritmi " , ULB ,2002, pag. 11.
(la) Mengoli, Geometriae speciosae Elementa. Riferimenti e collegamenti raccolti da (in) Jeff Miller " Usi più antichi conosciuti di alcune parole della matematica - Logaritmo naturale " .
(it) Mercator " Alcune delle illustrazioni di Logarithmotechnia " , Transazioni filosofiche , vol. 3, n . 38,1668, pag. 759-764 ( leggi in linea ).
Metodo di Newton per il calcolo dei logaritmi naturali, Il metodo delle flussioni e delle successioni infinite su Gallica , p. 102-105.
Trompler 2002 , p. 12.
(La) Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum , tome 1, Bousquet, Lausanne, 1748, example 1, p. 228 ; anche in Opera Omnia , Serie Prima, Opera Mathematica, vol. 8, Teubner, 1922.

Vedi anche

link esterno

"Chiedere la modellazione come questione epistemologica per l'introduzione delle proprietà degli esponenziali nelle classi", conferenza di Jean Dhombres : parti 1 , 2 e 3