La meccanica dei fluidi è un campo della fisica dedicato allo studio del comportamento dei fluidi ( liquidi , gas e plasma ) e delle forze interne associate. È un ramo della meccanica media continua che modella la materia usando particelle abbastanza piccole da essere analizzate matematicamente , ma abbastanza grandi in relazione alle molecole da essere descritte da funzioni continue.
Comprende due sottocampi: la statica dei fluidi , che è lo studio dei fluidi a riposo, e la fluidodinamica , che è lo studio dei fluidi in movimento .
La statica idrostatica o dei fluidi, è lo studio dei fluidi stazionari. Questo campo ha molte applicazioni come la misurazione della pressione e della densità . Offre spiegazioni fisiche per molti fenomeni della vita quotidiana, come la spinta di Archimede o le ragioni per cui la pressione atmosferica cambia con l'altitudine.
L'idrostatica è fondamentale per l' idraulica , l'ingegnerizzazione delle apparecchiature per lo stoccaggio, il trasporto e l'utilizzo dei fluidi. È anche rilevante per alcuni aspetti della geofisica o dell'astrofisica (ad esempio, per comprendere la tettonica delle placche e le anomalie nel campo gravitazionale terrestre ), per la meteorologia , la medicina (nel contesto della pressione sanguigna ) e molti altri settori.
La fluidodinamica , o idrodinamica, è una sottodisciplina della meccanica dei fluidi che si occupa del flusso di fluidi, liquidi o movimento di gas. La fluidodinamica offre una struttura sistematica che comprende leggi empiriche e semi-empiriche, derivate dalla misurazione del flusso e utilizzate per risolvere problemi pratici. La soluzione a un problema di fluidodinamica comporta tipicamente il calcolo di varie proprietà del fluido, come velocità , pressione , densità e temperatura , in funzione dello spazio e del tempo.
La fluidodinamica copre diverse sotto-discipline come:
Nel caso di flussi di gas incomprimibili (o simili), l'aerodinamica si unisce appunto all'idrodinamica (e viceversa), vale a dire che i ragionamenti teorici e le misure sperimentali che valgono per i liquidi valgono anche per i gas (incomprimibili o simili) e vice versa. Si possono quindi teoricamente calcolare con gli stessi metodi le forze generate da flussi liquidi o gassosi (incomprimibili o simili); quindi, possiamo anche determinare sperimentalmente le caratteristiche di portanza e resistenza di razzi in acqua (immagine a sinistra) o di sottomarini in aria (immagine a destra).
Fluidodinamica ha una vasta gamma di applicazioni, tra cui il calcolo delle forze e momenti applicati ai velivoli, determinare la portata massica di petrolio in condotte , prevedere mutate condizioni climatiche condizioni , comprensione nebulose in spazio interstellare e esplosione modellazione . Alcuni principi della fluidodinamica sono utilizzati nell'ingegneria del traffico e nella dinamica della folla .
Al livello più basso di modellizzazione, il mezzo è descritto dalla posizione e dalla velocità di ciascuna particella costituente e dal potenziale di interazione tra di esse. Questo approccio è ovviamente limitato dalla quantità di informazioni che assume. È solito:
Per i gas e ad un livello meno dettagliato ci si accontenta di descrivere la distribuzione statistica delle velocità ed eventualmente di tutti gli altri gradi di libertà (energia interna, rotazione e vibrazione nel caso delle molecole). Ludwig Boltzmann riuscì così a scrivere l'equazione cinetica che porta il suo nome. Questa funzione di tempo, posizione e velocità può essere calcolata utilizzando strumenti come la simulazione Monte Carlo diretta o il metodo gas-on-lattice particolarmente adatto ai mezzi porosi. Questi sono calcoli costosi a causa della dimensione 7 del problema. Per questo motivo viene generalmente utilizzato un potenziale di interazione fisicamente irrealistico ma che porta a risultati accettabili.
Con questo termine si intende la descrizione di fenomeni che possono essere descritti su larga scala davanti al precedente ma piccoli davanti alla scala continua .
Concetto di particella elementare di fluidoLa particella fluida descrive un fluido su scala mesoscopica : si tratta di un volume di dimensione sufficientemente piccola in modo che le proprietà del fluido non varino spazialmente nella particella e sufficientemente grande da includere in essa una grande quantità di molecole in modo da ottenere una media statistica fluttuazioni.
Possiamo effettuare in questa particella un bilancio di massa, quantità di moto ed energia utilizzando i corrispondenti flussi sui limiti del dominio. Questo approccio porta alla scrittura delle corrispondenti equazioni di conservazione e, andando al limite, alle equazioni descrittive del fenomeno. Questo metodo è anche la base della descrizione numerica, essendo il volume elementare la maglia elementare di calcolo.
Soppressione dei dettagli di medie dimensioniLa geometria studiata può includere dettagli, la cui considerazione esplicita renderà il problema costoso, ad esempio una rugosità della superficie o il dettaglio della geometria di un mezzo poroso. In quest'ultimo caso, i metodi ben noti di volume di media o di omogeneizzazione permettono il calcolo delle grandezze che intervengono nella forma di coefficienti come il coefficiente di diffusione nel equazione di Darcy . Nel caso della ruvidità, l'omogeneizzazione si traduce nella scrittura di una relazione di salto con il muro, vale a dire una relazione che lega qualsiasi valore alla sua derivata spaziale.
Si possono includere in questa categoria anche i fenomeni di rarefazione in uno shock o in uno strato parietale . In queste regioni dello spazio, le equazioni del continuo non sono valide su una distanza di pochi cammini liberi medi . Di solito possono essere ignorati. Quando questo non è il caso, la loro modellazione porta, come prima, a saltare le equazioni. La relazione Rankine-Hugoniot ne è un esempio.
Infine, e questo non è il problema minore, possiamo eliminare tutte le fluttuazioni di un flusso turbolento con metodi di media molto diversi, che possono ridurre il problema ad una semplice diffusione equivalente. Anche qui lo scopo è quello di semplificare il calcolo, possibile per simulazione diretta, ma costoso.
Il livello macroscopico risulta quindi da una drastica semplificazione di tutti i dettagli del problema, tutti ugualmente presenti attraverso i coefficienti che intervengono nelle equazioni descrittive, delle condizioni al contorno e dell'equazione di stato del mezzo.
Queste nozioni, che separano nettamente due tipi di flusso, hanno un'origine microscopica:
Le equazioni di Navier-Stokes per un fluido semplice ( Newtoniano ) sono il cardine del campo, da cui si deducono molte altre leggi.
Queste equazioni sono scritte in un sistema di coordinate fisso, con due espressioni delle diverse grandezze a seconda della posizione: o secondo le coordinate correnti nel sistema di riferimento ( descrizione euleriana ), o secondo le coordinate occupate in un certo momento iniziale ( lagrangiana descrizione ). Nel primo caso il vettore rappresenta la velocità al momento t e nel punto di coordinate ( ) (ma in tempi diversi non sarà la stessa porzione di materiale), nel secondo caso rappresenta la velocità all'istante t del materiale che all'istante iniziale occupava la posizione (e che all'istante t si trova in un punto diverso ). La descrizione euleriana è più spesso usata.
Queste equazioni possono essere ottenute in almeno due modi:
Nel primo metodo compaiono il tensore delle sollecitazioni (o tensore della pressione, comprese le sollecitazioni viscose e la pressione) e il flusso di calore. Per queste due grandezze si assume che siano legate ad un gradiente:
Il meccanismo sottostante nei due casi non è molto evidente: si sospetta che questa proporzionalità sia legata ad una linearizzazione delle equazioni che descrivono l'esatto problema sottostante. Questo è un processo generale in fisica matematica .
Il metodo che parte dal microscopico permette di fare luce su questo aspetto. Le equazioni di Navier-Stokes sono l'espressione di una piccola perturbazione della funzione di distribuzione microscopica delle velocità e, eventualmente, delle energie interne ( statistica di Maxwell-Boltzmann ). Viceversa le equazioni di Eulero descrivono il caso corrispondente all'equilibrio termodinamico locale .
Occorre poi fornire i coefficienti che intervengono: pressione, viscosità e conducibilità. La pressione è definita dall'equazione di stato . Le proprietà di trasporto, viscosità e conducibilità possono risultare nel caso del gas da un calcolo effettuato a livello microscopico (del potenziale interatomico ). Per i liquidi queste quantità sono una questione di esperienza.
Esempio: fluido incomprimibileρ | Massa volumica |
V | velocità |
t | tempo |
P | tensore di pressione (sollecitazioni) |
io | tensore unitario |
p | pressione |
μ | viscosità dinamica |
La somiglianza è la dimostrazione di numeri adimensionali che consentono di ridurre il numero di parametri che intervengono nelle equazioni al fine di semplificarne l'analisi, eventualmente per definire esperimenti alla scala del laboratorio. Si basa sull'invarianza di scala che garantisce la covarianza delle equazioni: queste sono valide in qualsiasi sistema di riferimento galileiano .
Si può quindi con un cambio di variabile far apparire numeri adimensionali e quindi diminuire il numero di variabili di un problema.
Esempio: numero di ReynoldsTorniamo all'esempio precedente. Definiamo:
Da questi valori deduciamo le variabili ridotte:
- spazio | |
- tempo | |
- velocità | |
- pressione |
Il sistema in variabili ridotte si scrive:
è l'operatore nabla adimensionale e il numero di Reynolds.
Il problema non dipende più esplicitamente dalle dimensioni fisiche: l'equazione di cui sopra descrive una famiglia di problemi (e quindi di soluzioni) dedotti l'uno dall'altro per trasformazione dello spazio e del tempo.
L'instabilità delle soluzioni delle equazioni è dovuta alla quantità non lineare del movimento di trasporto V ⋅ ∇ V . Corrispondono ad una biforcazione della soluzione ottenuta per un certo valore del numero di Reynolds . Incontriamo vari tipi di instabilità:
Inoltre, le interfacce soggette ad un'accelerazione o ad un campo di gravità possono essere sede di instabilità: Rayleigh-Taylor , Richtmyer-Meshkov , ecc.
Il passaggio dallo stato laminare di un flusso a uno stato completamente turbolento può seguire diverse strade:
Non esiste un modello di transizione valido per tutti. Ciò è facilmente comprensibile nel caso della transizione naturale in cui la fonte dell'instabilità può essere diversa e dove inoltre la sua ampiezza gioca un ruolo. Allo stesso modo, la turbolenza esterna non è necessariamente controllata. In pratica, su tale e tale configurazione vengono utilizzati validi criteri sperimentali.
La turbolenza è un fenomeno studiato fin dai tempi di Leonardo da Vinci ma ancora poco compreso. Non esiste una teoria per descrivere il fenomeno dalle equazioni di Navier-Stokes. La cascata turbolenta si manifesta con un trasferimento di energia dalle grandi strutture create dai gradienti di velocità - ancora il termine V ⋅ ∇ V - verso i piccoli vortici distrutti dalla dissipazione viscosa. Un importante risultato ottenuto da Kolmogorov è la descrizione delle scale intermedie in cui la diffusione dell'energia cinetica avviene per mescolamento e stiramento/piegamento dei vortici. Questa regione ha una proprietà di autosomiglianza : i trasferimenti avvengono in modo identico a tutte le scale. Questo risultato illustra la capacità esplicativa della fisica statistica e dell'approccio ai sistemi dinamici .
La turbolenza quasi bidimensionale si ottiene quando una delle dimensioni del problema è limitata. È il caso dell'atmosfera, dove i grandi vortici superano di molto l'“altezza utile” dove può svilupparsi una terza dimensione. C'è quindi una doppia cascata di energia.
In pratica, l'approccio fisico statistico non consente un calcolo globale. Allo stesso modo, la risoluzione diretta delle equazioni è troppo costosa e serve solo a generare esperimenti numerici che fungono da test per una teoria. In pratica, la fluidodinamica computazionale utilizza un metodo in cui i momenti delle correlazioni statistiche delle variabili risultanti da una media sono modellati da una ragionevole ipotesi fisica. Esistono diversi modelli , ognuno più o meno adatto ad una data situazione.
Gli effetti della turbolenza sul flusso sono significativi. Direttamente promuovono lo scambio di massa, slancio ed energia. Questo fenomeno aumenta anche il rumore acustico . Ha anche un effetto indiretto modificando la struttura complessiva di una regione, ad esempio la regione spellata di uno strato limite o un getto.
La legge costitutiva di un mezzo solido o fluido (o anche intermedio) collega le sollecitazioni σ ij esercitate nel mezzo alle deformazioni ε ij del mezzo e/o alle loro derivate rispetto al tempo.
Per molti fluidi, il tensore delle sollecitazioni può essere scritto come la somma di un termine isotropo (la pressione p) e di un deflettore (il taglio):
δ ij è il simbolo di Kronecker , μ la viscosità dinamica e V la velocità.
In realtà esiste sempre un termine di viscosità di volume μ 'div V δ ij corrispondente ad una variazione isotropa di volume e dovuta ad interazioni molecolari anelastiche. Questo termine è generalmente trascurato sebbene sia misurabile e, nel caso dei gas, calcolabile. Molto piccolo, si assume che sia zero nell'ipotesi di Stokes .
Alcuni materiali come i vetri hanno un comportamento che cambia continuamente dallo stato solido allo stato liquido. Questo è molto probabilmente il caso del vetro comune se si vogliono ritenere le misurazioni della viscosità nell'intervallo in cui sono fattibili in un tempo ragionevole o quello di Silly Putty .
Molti fluidi hanno comportamenti diversi, in particolare nel taglio. Questo comportamento è legato alla loro composizione: fase solida in sospensione, polimero, ecc. Il loro studio è la reologia . Si presenta generalmente il loro comportamento sotto un semplice taglio per cui la viscosità è la pendenza della curva sforzo-deformazione:
La relazione sforzo-deformazione non è sufficiente per caratterizzare alcuni fluidi il cui comportamento è più complesso:
Queste caratteristiche possono dar luogo a comportamenti notevoli quali:
I comportamenti possono essere descritti da modelli reologici ottenuti ordinando in modo più o meno complesso gli elementi di base: molla per elasticità, smorzatore per comportamento viscoso, tampone per pseudoplasticità. Otteniamo così il modello di Kelvin-Voigt o il modello di Maxwell per descrivere la viscoelasticità.
Le caratteristiche vengono misurate mediante reometri o, nel caso dei polimeri, possono essere previste.
Un flusso può essere stazionario o instabile o entrambi. Prendiamo l'esempio del flusso attorno a un cilindro infinito:
I vortici possono sorgere in una regione distaccata come il ricircolo nell'esempio precedente. Questo è quindi un fenomeno sostenuto di origine viscosa.
Possono anche avere per origine una dissimmetria delle condizioni al contorno: è il caso delle estremità di un'ala di aeroplano. In questo caso si tratta di un fenomeno inerziale non mantenuto (in un punto di un dato spazio). I vortici così creati sono grandi e poco influenzati dalla viscosità, il che conferisce loro una lunga durata.
Matematicamente, la vorticità (o vorticità) è definita come la velocità di rotazione o la metà di questo valore. Sappiamo scrivere un'equazione di trasporto per questa grandezza che è alla base degli studi sulla turbolenza vista dall'angolo meccanico dei fluidi e non dall'angolo statistico come nello studio della cascata turbolenta .
Tutti i fluidi sono viscosi in una certa misura. La comprimibilità dell'acqua, ad esempio, vale circa 5 × 10 −10 m 2 N −1 , il che suppone pressioni dell'ordine del kilobar per ottenere un effetto misurabile. Questo valore basso permette nel caso generale di fare l'approssimazione della densità costante. I flussi in cui vale questa approssimazione sono generalmente tali per cui la temperatura in essi è sostanzialmente costante e dove quindi la viscosità può ritenersi costante. L'equazione di conservazione dell'energia è disaccoppiata e le equazioni di Navier-Stokes ridotte a una forma più semplice . Se, inoltre, assumiamo che il numero di Reynolds sia piccolo (Re ≈ 1) ci ritroviamo con l' equazione di Stokes . Nel caso di un flusso irrotazionale, mostriamo che la velocità segue da un potenziale : si parla di flusso potenziale .
Tuttavia, la comprimibilità di un liquido non è mai nulla ed è possibile propagare in esso un'onda d'urto, che suppone una discontinuità di tutte le variabili come indicato dalle relazioni di Rankine-Hugoniot . Questi si riferiscono alle equazioni di Eulero , quindi ad un mezzo senza viscosità. Questa discontinuità esiste solo da un punto di vista macroscopico poiché la teoria cinetica mostra per i gas una rapida variazione senza discontinuità su una distanza di pochi cammini liberi medi .
L'onda d'urto deriva da una proprietà notevole delle equazioni di Eulero: il loro carattere iperbolico . L'informazione nel mezzo è trasportata dalle caratteristiche . Ciò ha dato origine in passato a metodi di risoluzione per costruzione geometrica in casi abbastanza semplici come un ugello o l' onda che accompagna un oggetto in volo supersonico . Questa proprietà è oggi alla base dei metodi numerici di risoluzione dei volumi finiti : risolutori di Riemann .
A parte il problema della turbolenza, i cosiddetti effetti viscosi, infatti tutti gli effetti legati al trasporto di massa ( diffusione ), quantità di moto (taglio) ed energia ( conduzione ), sono generalmente confinati in particolari regioni, generalmente una parete. e in questo caso si parla di strato limite . Un enorme progressi nella comprensione di questo fenomeno è stato fatto agli inizi del XX ° secolo. Ha permesso l'avvento dell'aerodinamica moderna grazie all'analisi che ne permette il carattere parabolico : l'informazione non risale il flusso. Inoltre, la relativa semplicità delle equazioni permette l'individuazione di soluzioni approssimate .
I flussi a superficie libera si riferiscono ai flussi di un fluido delimitato da una superficie libera continua. Riguardano principalmente l'atmosfera, gli oceani oi laghi e i fiumi oi canali, ma possono anche descrivere ad esempio una stella.
I problemi su larga scala nell'atmosfera o nell'oceano non hanno un carattere specifico. Sono descritti dalle equazioni di Navier-Stokes . Altri sono limitati in una o più direzioni dello spazio. Quelli sono :
La tensione superficiale non gioca un ruolo in questo tipo di problema.
Questo campo della meccanica dei fluidi si occupa di ciò che accade quando abbiamo a che fare con più fasi che scorrono insieme. Nella maggior parte dei casi si tratta di un mezzo a due fasi in cui una fase minore in volume è dispersa nella fase maggiore. Possiamo distinguere in base all'ambiente maggioritario:
Questa sistematizzazione dei fenomeni può creare un'illusione: nasconde problemi di natura molto diversa. Ad esempio, le bolle e la loro interazione con il loro ambiente costituiscono di per sé un vero e proprio problema fisico che deve essere affrontato ancor prima di interessarsi al problema delle due fasi.
Per la trattazione teorica e numerica del problema si distinguono i metodi cinetici dove si segue ogni elemento della fase diluita applicando ad esso le leggi di interazione ad hoc (ad esempio nell'equazione di Mason-Weaver ) e metodi bifluidi dove Coupled Navier -Le equazioni di Stokes vengono scritte per ogni fase, fatte salve alcune ipotesi sulla media delle fasi (esempio del metodo del volume del fluido . Questo metodo è più economico ma spesso pone problemi di condizioni al contorno dove le ipotesi non sono rispettate.
Va notato che è probabile che i sistemi a due fasi mostrino instabilità specifiche, un esempio notevole è il geyser .
In dimensioni e frazioni sufficienti, gli elementi dispersi possono influenzare la turbolenza.
I flussi in mezzi porosi sono presenti in molti campi come l' idrologia , la protezione termica , ecc. Sono spesso fluidi omogenei ma incontriamo casi eterogenei come nell'estrazione del petrolio . Questi sono flussi di fluido intrinsecamente a bassa velocità, generalmente descritti dall'equazione di Stokes alla scala dei pori. La legge di Darcy stabilita sperimentalmente è dimostrabile prendendo la media del volume o l' omogeneizzazione in questa condizione. L'estensione a flussi più veloci ( legge di Darcy-Forchheimer ) avviene introducendo un numero di Reynolds. Per i gas sappiamo anche come trattare tutti i regimi di flusso dal molecolare al continuo ( equazione di Darcy-Klinkenberg ).
La quantità importante nel campo è la permeabilità . Questo è misurabile. È stata a lungo valutata teoricamente da modelli che utilizzano porosità di forma semplice, rispettando la porosità (ad esempio la legge di Kozeny-Carman ). Questi metodi hanno una prevedibilità limitata alle variazioni e non ai valori assoluti. Questo è cambiato con l'avvento della microtomografia che consente la simulazione numerica diretta del fenomeno alla scala dei pori.
La fluidodinamica computazionale consiste nello studio dei movimenti di un fluido, o dei loro effetti, mediante la risoluzione numerica delle equazioni che governano il fluido . A seconda delle approssimazioni scelte, che sono generalmente il risultato di un compromesso in termini di esigenze di rappresentazione fisica rispetto alle risorse di calcolo o modellazione disponibili, le equazioni risolte possono essere le equazioni di Eulero , le equazioni di Navier , il modello di Stokes :, ecc .
La meccanica dei fluidi computazionale è cresciuta da una curiosità matematica per diventare uno strumento essenziale praticamente in ogni ramo della fluidodinamica, dalla propulsione aerospaziale alle previsioni meteorologiche alla progettazione degli scafi delle navi . Nel campo della ricerca, questo approccio è oggetto di uno sforzo significativo, perché consente l'accesso a tutte le informazioni istantanee (velocità, pressione, concentrazione) per ogni punto del dominio computazionale, per un costo generalmente globale modesto rispetto al corrispondente esperienze. I metodi si sono concentrati non solo sul calcolo effettivo, ma anche sull'elaborazione dei dati dell'esperimento (possibilmente digitale!).
Questa disciplina fiorì grazie al progresso dei computer, certo, ma anche grazie a quelli dell'analisi numerica e dell'analisi stessa.