Equazione di Orr-Sommerfeld
L' equazione di Orr-Sommerfeld in meccanica dei fluidi è un'equazione agli autovalori che descrive l'evoluzione di disturbi infinitesimali in un flusso viscoso parallelo. Consente quindi di verificare la stabilità lineare del flusso e sono quindi un elemento per la previsione della transizione laminare-turbolenta .
Questa equazione prende il nome dal lavoro di William McFadden Orr e Arnold Sommerfeld .
Formulazione
Variabili ridotte
Siamo interessati ad un flusso parallelo incomprimibile descritto dalle equazioni di Navier-Stokes scritte in variabili ridotte che coinvolgono il numero di Reynolds basato su una lunghezza caratteristica L 0 e una velocità caratteristica U 0 del flusso
∂V~∂t~+(V~⋅∇X~)V~=-∇X~p~+1Re∇X~2V~∇X~⋅V~=0V~(X,0)=V~0(X){\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} {\ frac {\ parziale {\ tilde {\ mathbf {V}}}} {\ parziale {\ tilde {t}}}} + ({\ tilde {\ mathbf {V}}} \ cdot \ nabla _ {\ tilde {x}}) {\ tilde {\ mathbf {V}}} & = & - \ nabla _ {\ tilde {x}} \, {\ tilde {p }} + {\ frac {1} {Re}} \ nabla _ {\ tilde {x}} ^ {2} {\ tilde {\ mathbf {V}}} \\ [0.6em] \ nabla _ {\ tilde {x}} \ cdot {\ tilde {\ mathbf {V}}} & = & 0 \\ [0.6em] {\ tilde {\ mathbf {V}}} (\ mathbf {x}, 0) & = & { \ tilde {\ mathbf {V}}} _ {0} (\ mathbf {x}) \ end {array}}}
Dimostrazione
A partire dal sistema incomprimibile Navier-Stokes
∂V∂t+(V⋅∇X)V=-1ρ∇Xp+ν∇X2V∇X⋅V=0{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} {\ frac {\ partial \ mathbf {V}} {\ partial t}} + (\ mathbf {V} \ cdot \ nabla _ {x}) \ mathbf {V } & = & - {\ frac {1} {\ rho}} \ nabla _ {x} \, p + \ nu \, \ nabla _ {x} ^ {2} \ mathbf {V} \\ [0.6em ] \ nabla _ {x} \ cdot \ mathbf {V} & = & 0 \ end {array}}}dove è la viscosità cinematica , si definiscono per questo problema le seguenti grandezze di riferimento: lunghezza L 0 e velocità U 0 con cui si forma un numero di Reynolds caratteristico del problema trattato
Re=tu0L0ν{\ displaystyle Re = {\ frac {U_ {0} L_ {0}} {\ nu}}}Le variabili adimensionali sono quindi
X~=XL0,V~=Vtu0,t~=tu0tL0,p~=pρtu02{\ displaystyle {\ tilde {x}} = {\ frac {x} {L_ {0}}} \ ,, \; \; \; {\ tilde {\ mathbf {V}}} = {\ frac {\ mathbf {V}} {U_ {0}}} \ ,, \; \; \; {\ tilde {t}} = {\ frac {U_ {0} t} {L_ {0}}} \ ,, \ ; \; \; {\ tilde {p}} = {\ frac {p} {\ rho U_ {0} ^ {2}}}}In questo nuovo sistema viene scritto l'operatore gradiente
∇X~=L0∇X{\ displaystyle \ nabla _ {\ tilde {x}} = L_ {0} \ nabla _ {x}}Resta solo da introdurre queste quantità nel sistema di cui sopra e moltiplicarle per L 0 U 0 -2 .
La prosecuzione riguardante le sole variabili adimensionate ignorerà le tilde sulle variabili e si noterà il gradiente senza indice.
Stabilità
Si sovrappone alla condizione iniziale un disturbo di debole ampiezza
V(X,0)=V0(X)+V'(X){\ displaystyle \ mathbf {V} (\ mathbf {x}, 0) = \ mathbf {V} _ {0} (\ mathbf {x}) + \ mathbf {V} '(\ mathbf {x})}La nuova soluzione del sistema è ( U , q) tale che
tu=V+V',q=p+p'{\ displaystyle \ mathbf {U} = \ mathbf {V} + \ mathbf {V} '\ ,, \; \; \; q = p + p'}Tenendo conto | V ' | << | V | e quindi trascurando il sistema relativo ai disturbi si scrive
(V'⋅∇)V'{\ displaystyle (\ mathbf {V} '\ cdot \ nabla) \ mathbf {V}'}
∂V'∂t+(V'⋅∇)V+(V⋅∇)V'≃-∇p'+1Re∇2V'∇⋅V'=0{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} {\ frac {\ partial \ mathbf {V} '} {\ partial t}} + (\ mathbf {V}' \ cdot \ nabla) \ mathbf {V} + (\ mathbf {V} \ cdot \ nabla) \ mathbf {V} '& \ simeq & - \ nabla \, p' + {\ frac {1} {Re}} \, \ nabla ^ {2} \ mathbf { V} '\\ [0.6em] \ nabla \ cdot \ mathbf {V}' & = & 0 \ end {array}}}Il sistema è
- stabile se | V ' | è limitato
supX,t|V'|<ε{\ displaystyle \ sup _ {\ mathbf {x}, t} | \ mathbf {V} '| <\ epsilon} per tutto come
f(ε){\ stile di visualizzazione f (\ epsilon)}supX|V0'|<f{\ displaystyle \ sup _ {\ mathbf {x}} | \ mathbf {V} _ {0} '| <f}
- asintoticamente stabile se è stabile e inoltre
limit→∞|V'|=0{\displaystyle\lim\limits _ {t\rightarrow\infty} |\mathbf {V} '| = 0}
Equazioni di Rayleigh e Orr-Sommerfeld
Per quanto segue si riduce lo studio della stabilità ad un mezzo piano parallelo come V=(tu,0,0),V'=(v1,v2,0){\ displaystyle \ mathbf {V} = (u, 0,0) \ ,, \; \; \; \ mathbf {V} '= (v_ {1}, v_ {2}, 0)}
Come mostra il teorema di Squire , non è utile prendere in considerazione la componente trasversale.
L'equazione sui disturbi diventa
∂V'∂t+tu∇V'=-∇p'+1Re∇2V'{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {V} '} {\ partial t}} + u \ nabla \ mathbf {V}' = - \ nabla \, p '+ {\ frac {1} {Re} } \, \ nabla ^ {2} \ mathbf {V} '}
Equazione di Rayleigh
Poniamoci dapprima nel caso non viscoso e introduciamo la funzione corrente tale che
v1=∂Ψ∂sì,v2=-∂Ψ∂X{\ displaystyle v_ {1} = {\ frac {\ parziale \ Psi} {\ parziale y}} \ ,, \; \; \; v_ {2} = - {\ frac {\ parziale \ Psi} {\ parziale X}}}Cerchiamo soluzioni sotto forma di onde di pulsazione e vettore d'onda k
Ψ=Φ(K,sì,ω)eio(KX-ωt),p'=g(K,sì,ω)eio(KX-ωt){\ displaystyle \ Psi = \ Phi (k, y, \ omega) e ^ {i (kx- \ omega t)} \ ,, \; \; \; p '= g (k, y, \ omega) e ^ {i (kx- \ omega t)}}Una doppia trasformazione di Fourier in x e t permette di scrivere
(ω-tuK)dΦdsì+KΦdtudsì=Kg(ω-tuK)Φ=dgdsì{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} (\ omega -uk) {\ frac {\ mathrm {d} \ Phi} {\ mathrm {d} y}} + k \ Phi {\ frac {\ mathrm { d} u} {\ mathrm {d} y}} & = & kg \\ [0.6em] (\ omega -uk) \ Phi & = & {\ frac {\ mathrm {d} g} {\ mathrm {d } y}} \ fine {array}}}Questo sistema è semplificato per dare l' equazione di Rayleigh (supponiamo Ψ e u almeno due volte differenziabili)
(tu-ωK)(d2Φdsì2-K2Φ)-Φd2tudsì2=0{\ displaystyle \ left (u - {\ frac {\ omega} {k}} \ right) \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ Phi} {\ mathrm {d} y ^ { 2}}} - k ^ {2} \ Phi \ right) - \ Phi {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} y ^ {2}}} = 0}L'instabilità richiede che l'onda non sia smorzata e quindi che la parte immaginaria della velocità di fase c = ω / k sia positiva.
Questa equazione deve essere risolta con le condizioni al contorno rappresentative del problema. Ad esempio con i muri in y 1 e y 2 abbiamo
Φ(sì1)=Φ(sì2)=0{\ displaystyle \ Phi (y_ {1}) = \ Phi (y_ {2}) = 0}Il problema è un problema agli autovalori che ammette soluzioni per coppie (k, ω), soluzioni della relazione di dispersione f (k, ω) = 0.
Equazione di Orr-Sommerfeld
La stessa analisi di cui sopra con il termine viscoso per un problema di Couette o Poiseuille porta all'equazione
(tu-vs)(d2Φdsì2-K2Φ)-Φd2tudsì2=1ioKRe(d4Φdsì4-2K2d2Φdsì2+K4Φ){\ displaystyle (uc) \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ Phi} {\ mathrm {d} y ^ {2}}} - k ^ {2} \ Phi \ right) - \ Phi {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} y ^ {2}}} = {\ frac {1} {ikRe}} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {4} \ Phi} {\ mathrm {d} y ^ {4}}} - 2k ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ Phi} {\ mathrm {d } y ^ {2}}} + k ^ {4} \ Phi \ destra)}La relazione di dispersione è qui f (k, ω, Re) = 0.
Mediante risoluzione numerica, mostriamo che un flusso di Poiseuille è instabile per Re> 5772.22. Oltre questo valore e per disturbi molto deboli, compaiono onde di Tollmien-Schlichting .
Per un flusso Couette, nessun valore Re soddisfa il criterio di instabilità lineare.
Instabilità non lineare
Tuttavia, l'assenza di instabilità lineare non garantisce stabilità per un disturbo di ampiezza finita. Ad esempio un flusso di Poiseuille è instabile da Re = 2900 per una data ampiezza (vedi curva).
Riferimenti
-
(in) Eckert, " La fastidiosa nascita della teoria della stabilità idrodinamica: Sommerfeld e il problema della turbolenza " , European Physical Journal H , vol. 35,2010, pag. 29-51 ( leggi online )
-
(in) W. Mark F. Orr, " La stabilità dell'oro Instabilità Moti stazionari di un liquido e perfetti di un liquido viscoso. Parte I: A Perfect Liquid ” , Atti della Royal Irish Academy . Sezione A: Scienze matematiche e fisiche , vol. 27,1907, pag. 9-68 ( leggi online )
-
(in) W. Mark F. Orr, " La stabilità dell'oro Instabilità Moti stazionari di un liquido e perfetti di un liquido viscoso. Parte II: un liquido viscoso ” , Atti della Royal Irish Academy . Sezione A: Scienze matematiche e fisiche , vol. 27,1907, pag. 69-138 ( leggi online )
-
(De) A. Sommerfeld, “ Ein Beitrag zur hydrodynamische Erklärung der turbulenten Flüssigkeitsbewegungen ” , Atti del 4° Congresso Internazionale dei Matematici , Roma, vol. III,1908, pag. 116-124
-
(in) HB Squire, " Sulla stabilità per i disturbi tridimensionali del flusso di fluido viscoso tra pareti parallele " , Atti della Royal Society Series A , vol. 142, n . 847,1933, pag. 621-628 ( leggi in linea )
-
(in) PJ Schmid e DS Henningson, Stabilità e transizione nei flussi di taglio , Springer ,1985, 558 pag. ( ISBN 978-1-4612-6564-1 , leggi online )
-
SA Orszag, “ Soluzione accurata dell'equazione di stabilità Orr – Sommerfeld ”, Journal of Fluid Mechanics , vol. 50, n ° 4,1996, pag. 689-703 ( DOI 10.1063/ 1.868919 , Bibcode 1996PhFl .... 8.1424H )
-
(in) A. Georgescu Teoria della stabilità idrodinamica , Dordrecht/Boston/Lancaster, Martinus Nijhoff Publishers ,2001, 306 pag. ( ISBN 90-247-3120-8 , leggi online )
-
(in) Paul Manneville, instabilità, caos e turbolenza. Introduzione alla dinamica non lineare e ai sistemi complessi , Imperial College Press ,2004, 391 pag. ( ISBN 1-86094-483-3 , leggi online )
Articoli Correlati
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