Legge di Darcy-Forchheimer

Il Darcy-Forchheimer corregge la legge di Darcy per le portate di fluido in mezzi porosi, tenendo conto degli effetti inerziali. Proviene dal lavoro di Jules Dupuit (1863) e Philipp Forchheimer (1901) ed è stato dato nella sua forma attuale da JC Ward (1964).

Legge di Darcy-Forchheimer

Quando il flusso è elevato, è possibile tenere conto degli effetti inerziali mediante una correzione che coinvolge il numero di Reynolds in base alla lunghezza caratteristica ${\ displaystyle {\ sqrt {K}}}$

{\ displaystyle Re_ {k} = {\ frac {\ rho \, || \ mathbf {V} || {\ sqrt {K}}} {\ mu}}}

con

$\ rho$ densità del fluido,
${\ displaystyle \ mathbf {V}}$ velocità media nel mezzo poroso, definita da dove si trova il flusso di massa, ${\ displaystyle \ mathbf {q} = \ rho \ mathbf {V}}$ ${\ mathbf {q}}$
$K$ permeabilità , presunta scalare,
$\ mu$ viscosità dinamica .

Questa correzione è espressa nella legge di Darcy-Forchheimer come segue

{\ displaystyle K (\ nabla p- \ rho \ mathbf {g} \,) = - \ mu \ mathbf {V} \, (1+ \ alpha Re_ {k})}

${\ displaystyle \ nabla p}$ è il gradiente di pressione,
${\ mathbf {g}}$ è il campo di accelerazione,
$\alfa$ è il numero di Ergün (o numero di reparto). È dell'ordine di 0,5.

Misurazione delle caratteristiche dell'ambiente

È possibile ottenere per un gas simultaneamente e da una serie di esperimenti di laboratorio in cui la situazione unidimensionale è trascurata. $K$ $\alfa$ ${\ mathbf {g}}$

L'equazione di Darcy-Forchheimer è scritta:

{\ displaystyle - {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {\ mu} {K}} {\ frac {q} {\ rho}} + {\ frac {\ alpha} {\ sqrt {K}}} {\ frac {q ^ {2}} {\ rho}}}

Usiamo l'equazione di stato del presunto gas perfetto nella forma:

{\ displaystyle p = {\ frac {\ rho RT} {M}}}

$T$ è la temperatura,
$M$ il peso molecolare ,
$R$ la costante universale dei gas .

Moltiplicando la relazione di cui sopra per a sinistra e il suo valore a destra si ottiene: $p$

{\ displaystyle -p {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {RT} {M}} q \ left ({\ frac {\ mu} {K} } + {\ frac {\ alpha} {\ sqrt {K}}} {q} \ right)}

che fornisce una stima

{\ displaystyle - {\ frac {M} {2RTq \ mu}} {\ frac {\ Delta (p ^ {2})} {\ Delta x}} = {\ frac {1} {K}} + {\ frac {\ alpha} {\ sqrt {K}}} {\ frac {q} {\ mu}}}

Variando la pressione e misurando il flusso in un esperimento, otteniamo una serie di punti da cui estraiamo l'intercetta y e la pendenza (vedi curva). ${\ displaystyle {\ frac {1} {K}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {\ sqrt {K}}}}$

Riferimenti

(in) Ward, JC, Turbulent Flow in Porous Media , Journal Hydraulics Division Proceedings of ASCE , Vol. 5, pagg. 1-12 (1964)
(in) Donald A. Nield, Adrian Bejan , Convection in Porous Media , Springer , 2006 ( ISBN 0-387-29096-6 )
(in) Cornell, D. e Katz, LD, Flow of Gases Through Porous Media Consolidated , Industrial & Engineering Chemistry Research , Vol. 45, 1953, pagg. 2145–2152