Instabilità di Rayleigh-Taylor

Il Rayleigh-Taylor , dal nome del fisico britannico Lord Rayleigh e GI Taylor , è un'instabilità della interfaccia tra due fluidi di densità diverse, risultante dalla spinta del fluido più pesante sul accendino fluido (accelerazione nel caso di un sistema dinamico o la gravità per un sistema inizialmente statico è diretta verso la fase luminosa). Questo fenomeno è prodotto ad esempio dall'onda d'urto all'origine delle nubi interstellari . In questo caso particolare dove lo shock è all'origine dell'accelerazione del sistema, si parlerà di instabilità Richtmyer-Meshkov . Una situazione simile si verifica quando la gravità colpisce due fluidi di diversa densità (il fluido più denso che giace sopra il fluido meno denso) come l'olio minerale sulla superficie dell'acqua.

Considera due strati di fluidi immiscibili sovrapposti su due piani paralleli, il più pesante a strapiombo il più leggero ed entrambi soggetti alla gravità terrestre. L' equilibrio è instabile al minimo disturbo : qualsiasi disturbo amplifica e rilascia energia potenziale , il fluido più pesante guadagna progressivamente la metà inferiore sotto l'effetto del campo gravitazionale e il fluido leggero passa sopra. È questa la configurazione che Lord Rayleigh ha studiato. L'importante scoperta di GI Taylor è stata quella di dimostrare che questa situazione è equivalente a quella che si verifica quando i fluidi (di tutta la gravità) vengono accelerati , il fluido leggero viene spinto all'interno del fluido più pesante. Ciò si verifica in particolare quando un bicchiere viene lanciato a terra con un'accelerazione maggiore della gravità della terra g .

Man mano che l'instabilità sviluppa i suoi effetti, le irregolarità ("fossette") si propagano verso il basso nei polipi di Rayleigh-Taylor che alla fine si mescolano. Questo è il motivo per cui l'instabilità di Rayleigh-Taylor viene talvolta definita instabilità della diteggiatura . Il fluido più leggero si espande verso l'alto come un fungo nucleare .

Questo fenomeno si osserva in diverse situazioni comuni, non solo nelle cupole di sale o negli strati di inversione , ma anche in astrofisica ed elettrocinetica . I polipi di Rayleigh-Taylor sono particolarmente visibili nella Nebulosa del Granchio , dove il plerion generato dalla pulsar del Granchio trabocca dalle proiezioni dell'esplosione della supernova di 1.000 anni fa.

L'instabilità di Rayleigh-Taylor non va confusa con l' instabilità di Plateau-Rayleigh (a volte indicata come "instabilità del tubo da giardino "): quest'ultima, che si manifesta nei getti di liquido, è dovuta alla tensione superficiale, che tende a disperdere un getto cilindrico una proiezione di goccioline dello stesso volume ma di superficie meno specifica.

Analisi di stabilità lineare

L'instabilità bidimensionale non viscosa di Rayleigh-Taylor fornisce un ottimo banco di prova per lo studio matematico della stabilità grazie alla natura estremamente semplice della configurazione iniziale, descritta da un campo a velocità media come dove il campo gravitazionale è un'interfaccia tra i fluidi di densità nella zona superiore e nella zona inferiore. È dimostrato che in questa sezione, quando il fluido più pesante è sopra, il minimo disturbo dell'interfaccia si amplifica in modo esponenziale , con la velocità ${\ displaystyle U (x, z) = W (x, z) = 0, \,}$ ${\ displaystyle {\ textbf {g}} = - g {\ hat {\ textbf {z}}}. \,}$ ${\ displaystyle z = 0 \,}$ ${\ displaystyle \ rho _ {G} \,}$ ${\ displaystyle \ rho _ {L} \,}$

{\ displaystyle \ exp (\ gamma \, t) \ ;, \ qquad {\ text {con}} \ quad \ gamma = {\ sqrt {{\ mathcal {A}} g \ alpha}} \ quad {\ text {et}} \ quad {\ mathcal {A}} = {\ frac {\ rho _ {\ text {pesante}} - \ rho _ {\ text {leggero}}} {\ rho _ {\ text {pesante} } + \ rho _ {\ text {light}}}}, \,}

dove è il tasso di crescita, è il numero d'onda spaziale ed è il numero di Atwood . $\ gamma \,$ $\ alpha \,$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \,}$

Analisi di stabilità lineare

Il disturbo portato al sistema è descritto da un campo di velocità di ampiezza infinitamente piccola, come supponiamo il fluido incomprimibile, questo campo di velocità è irrotazionale e può essere descritto dalle linee di corrente . ${\ displaystyle (u '(x, z, t), w' (x, z, t)). \,}$

{\ Displaystyle {\ textbf {u}} '= (u' (x, z, t), w '(x, z, t)) = (\ psi _ {z}, - \ psi _ {x}) , \,}

dove gli indici indicano le derivazioni parziali . Inoltre, in un fluido incomprimibile inizialmente in movimento stazionario, non c'è vortice e il campo di velocità del fluido rimane irrotazionale , cioè . In termini di linea corrente, quindi, poiché il sistema è invariante da qualsiasi traslazione nella direzione x , possiamo cercare una soluzione nella forma ${\ displaystyle \ nabla \ times {\ textbf {u}} '= 0 \,}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi = 0. \,}$

{\ Displaystyle \ psi \ sinistra (x, z, t \ destra) = e ^ {i \ alpha \ sinistra (x-ct \ destra)} \ Psi \ sinistra (z \ destra), \,}

dov'è il numero d'onda spaziale. Quindi il problema si riduce a risolvere l'equazione $\ alpha \,$

{\ Displaystyle \ left (D ^ {2} - \ alpha ^ {2} \ right) \ Psi _ {j} = 0, \, \, \, \ D = {\ frac {d} {dz}}, \, \, \, \ j = L, G. \,}

Il campo su cui si risolve il problema è il seguente: il fluido indicizzato “L” è confinato alla regione , mentre il fluido indicizzato “G” si trova nel semipiano superiore . Per la determinazione della soluzione completa, è necessario fissare le condizioni al contorno e di interfaccia. Ciò determina la celerità c , che a sua volta governa le proprietà di stabilità del sistema. ${\ displaystyle - \ infty <z \ leq 0 \,}$ ${\ displaystyle 0 \ leq z <\ infty \,}$

La prima di queste condizioni è fornita dai dati di confine. Le velocità perturbazione devono soddisfare una condizione di impermeabilità (flusso zero), impedendo al fluido di espandersi fuori del dominio di studio. Così, insieme , e per . In termini di semplificazione , questo è scritto ${\ displaystyle w '_ {i} \,}$ ${\ displaystyle z = \ pm \ infty. \,}$ ${\ displaystyle w_ {L} '= 0 \,}$ ${\ displaystyle z = - \ infty \,}$ ${\ displaystyle w_ {G} '= 0 \,}$ ${\ displaystyle z = \ infty \,}$

{\ displaystyle \ Psi _ {L} \ left (- \ infty \ right) = 0, \ qquad \ Psi _ {G} \ left (\ infty \ right) = 0. \,}

Le altre tre condizioni sono fornite dal comportamento dell'interfaccia . ${\ Displaystyle z = \ eta \ sinistra (x, t \ destra) \,}$

Continuità della componente velocità verticale; nelle componenti di velocità verticali devono essere collegati: . In termini di semplificazione , questo è scritto ${\ displaystyle z = \ eta}$ ${\ displaystyle w '_ {L} = w' _ {G} \,}$

{\ Displaystyle \ Psi _ {L} \ sinistra (\ eta \ destra) = \ Psi _ {G} \ sinistra (\ eta \ destra). \,}

Da uno sviluppo limitato in uno si ottiene ${\ displaystyle z = 0 \,}$

{\ displaystyle \ Psi _ {L} \ sinistra (0 \ destra) = \ Psi _ {G} \ sinistra (0 \ destra) + {\ text {o (z)}}, \,}

È l'equazione che esprime la condizione dell'interfaccia.

Condizione di superficie libera: Lungo la superficie libera , si applica la seguente condizione cinematica: ${\ Displaystyle z = \ eta \ sinistra (x, t \ destra) \,}$

{\ Displaystyle {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} + u '{\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} = w' \ left (\ eta \ right). \, }

Per linearizzazione, otteniamo semplicemente

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} = w '\ left (0 \ right), \,}

dove la velocità è linearizzata sulla superficie . Utilizzando rappresentazioni in modalità normale e semplificazioni , questa condizione è la seconda condizione dell'interfaccia. ${\ Displaystyle w '\ left (\ eta \ right) \,}$ ${\ displaystyle z = 0 \,}$ ${\ displaystyle c \ eta = \ Psi \,}$

Salto di pressione sull'interfaccia: se si tiene conto di una tensione superficiale , il salto di pressione sull'interfaccia è dato dall'equazione di Laplace : ${\ displaystyle z = \ eta}$

{\ Displaystyle p_ {G} \ left (z = \ eta \ right) -p_ {L} \ left (z = \ eta \ right) = \ sigma \ kappa, \,}

dove σ è la tensione superficiale e κ è la curvatura dell'interfaccia, la cui approssimazione si ottiene linearizzando:

{\ displaystyle \ kappa = \ nabla ^ {2} \ eta = \ eta _ {xx}. \,}

In tal modo,

{\ Displaystyle p_ {G} \ left (z = \ eta \ right) -p_ {L} \ left (z = \ eta \ right) = \ sigma \ eta _ {xx}. \,}

Tuttavia, questa condizione coinvolge la pressione totale (= pressione di base + disturbo), vale a dire

{\ Displaystyle \ sinistra [P_ {G} \ sinistra (\ eta \ destra) + p '_ {G} \ sinistra (0 \ destra) \ destra] - \ sinistra [P_ {L} \ sinistra (\ eta \ destra ) + p '_ {L} \ sinistra (0 \ destra) \ destra] = \ sigma \ eta _ {xx}. \,}

(Come al solito possiamo linearizzare le perturbazioni delle diverse quantità lungo la superficie z = 0. ) Esprimendo l' equilibrio idrostatico , nella forma

{\ displaystyle P_ {L} = - \ rho _ {L} gz + p_ {0}, \ qquad P_ {G} = - \ rho _ {G} gz + p_ {0}, \,}

otteniamo

{\ displaystyle p '_ {G} -p' _ {L} = g \ eta \ sinistra (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ destra) + \ sigma \ eta _ {xx}, \ qquad {\ text {on}} z = 0. \,}

L'alterazione del campo di pressione viene valutata dalle funzioni attuali, grazie alla equazione della orizzontale impulso preso dai linearizzati Eulero equazioni delle perturbazioni, con la quale dà ${\ displaystyle {\ frac {\ partial u_ {i} '} {\ partial t}} = - {\ frac {1} {\ rho _ {i}}} {\ frac {p_ {i}'} {\ x parziale}} \,}$ ${\ displaystyle i = L, G, \,}$

{\ displaystyle p_ {i} '= \ rho _ {i} cD \ Psi _ {i}, \ qquad i = L, G. \,}

Riferendosi a quest'ultima equazione con la condizione di salto,

{\ Displaystyle c \ left (\ rho _ {G} D \ Psi _ {G} - \ rho _ {L} D \ Psi _ {L} \ right) = g \ eta \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) + \ sigma \ eta _ {xx}. \,}

Sfruttando la seconda condizione di interfaccia e utilizzando la rappresentazione della modalità normale , questa relazione diventa ${\ displaystyle c \ eta = \ Psi \,}$

{\ Displaystyle c ^ {2} \ sinistra (\ rho _ {G} D \ Psi _ {G} - \ rho _ {L} D \ Psi _ {L} \ destra) = g \ Psi \ sinistra (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) - \ sigma \ alpha ^ {2} \ Psi, \,}

dove è anche inutile indicizzare (solo i suoi derivati) da quando $\ Psi \,$ ${\ displaystyle \ Psi _ {L} = \ Psi _ {G} \,}$ ${\ displaystyle z = 0. \,}$

Soluzione

Ora che il modello di flusso stratificato è stato descritto matematicamente, la soluzione è a portata di mano. L'equazione delle linee correnti con le condizioni al contorno viene risolta in base a ${\ displaystyle \ sinistra (D ^ {2} - \ alpha ^ {2} \ destra) \ Psi _ {i} = 0, \,}$ ${\ displaystyle \ Psi \ sinistra (\ pm \ infty \ right) \,}$

{\ displaystyle \ Psi _ {L} = A_ {L} e ^ {\ alpha z}, \ qquad \ Psi _ {G} = A_ {G} e ^ {- \ alpha z}. \,}

La prima condizione dell'interfaccia attua quello in , che impone La terza condizione dell'interfaccia lo attua ${\ displaystyle \ Psi _ {L} = \ Psi _ {G} \,}$ ${\ displaystyle z = 0 \,}$ ${\ displaystyle A_ {L} = A_ {G} = A. \,}$

{\ Displaystyle c ^ {2} \ sinistra (\ rho _ {G} D \ Psi _ {G} - \ rho _ {L} D \ Psi _ {L} \ destra) = g \ Psi \ sinistra (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) + \ sigma \ alpha ^ {2}. \,}

Mettendo la soluzione in questa equazione, formiamo la relazione

{\ Displaystyle Ac ^ {2} \ alpha \ left (- \ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) = Ag \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) ) + \ sigma \ alpha ^ {2}. \,}

La A è semplificata su entrambi i lati e rimane

{\ displaystyle c ^ {2} = {\ frac {g} {\ alpha}} {\ frac {\ rho _ {L} - \ rho _ {G}} {\ rho _ {L} + \ rho _ { G}}} + {\ frac {\ sigma \ alpha} {\ rho _ {L} + \ rho _ {G}}}. \,}

Per interpretare appieno questo risultato, è interessante considerare il caso in cui la tensione superficiale è zero. In quel caso,

{\ displaystyle c ^ {2} = {\ frac {g} {\ alpha}} {\ frac {\ rho _ {L} - \ rho _ {G}} {\ rho _ {L} + \ rho _ { G}}}, \ qquad \ sigma = 0, \,}

ed è quindi chiaro che

se , e c è reale. Questo è ciò che accade quando il fluido più leggero è sopra; ${\ displaystyle \ rho _ {G} <\ rho _ {L} \,}$ ${\ displaystyle c ^ {2}> 0 \,}$
se , e c è perfettamente puro: questo è ciò che accade quando il fluido più pesante è sopra. ${\ displaystyle \ rho _ {G}> \ rho _ {L} \,}$ ${\ displaystyle c ^ {2} <0 \,}$

Quindi, quando il fluido più pesante è in cima, e ${\ displaystyle c ^ {2} <0 \,}$

{\ displaystyle c = \ pm i {\ sqrt {\ frac {g {\ mathcal {A}}} {\ alpha}}}, \ qquad {\ mathcal {A}} = {\ frac {\ rho _ {G } - \ rho _ {L}} {\ rho _ {G} + \ rho _ {L}}}, \,}

dov'è il numero di Atwood . Considerando solo la soluzione positiva, vediamo che la soluzione è della forma ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \,}$

{\ Displaystyle \ Psi \ sinistra (x, z, t \ destra) = Ae ^ {- \ alpha | z |} \ exp \ sinistra [i \ alpha \ sinistra (x-ct \ destra) \ destra] = A \ exp \ left (\ alpha {\ sqrt {\ frac {g {\ tilde {\ mathcal {A}}}} {\ alpha}}} t \ right) \ exp \ left (i \ alpha x- \ alpha | z | \ right) \,}

e che è associato alla posizione η dell'interfaccia da: Impostiamo ora ${\ displaystyle c \ eta = \ Psi. \,}$ ${\ displaystyle B = A / c. \,}$

Il tempo di crescita caratteristico della superficie libera inizialmente è dato da: ${\ Displaystyle z = \ eta (x, t), \,}$ ${\ Displaystyle \ eta (x, 0) = \ Re \ sinistra \ {B \, \ exp \ sinistra (i \ alpha x \ destra) \ destra \}, \,}$

{\ displaystyle \ eta = \ Re \ left \ {B \, \ exp \ left ({\ sqrt {{\ mathcal {A}} g \ alpha}} \, t \ right) \ exp \ left (i \ alpha x \ destra) \ destra \} \,}

che cresce esponenzialmente nel tempo. Qui B indica la grandezza del disturbo iniziale e la parte reale del complesso espressione tra parentesi. ${\ displaystyle \ Re \ left \ {\ cdot \ right \} \,}$

In generale, la condizione affinché l'instabilità sia lineare è che la parte immaginaria della velocità complessa c sia positiva. Infine, il ripristino della tensione superficiale diminuisce c 2 in modulo e quindi ha un effetto stabilizzante. Esiste infatti un campo di onde corte per le quali la tensione superficiale stabilizza il sistema e ne previene l'instabilità.

Comportamento a lungo termine

L'analisi precedente non è più valida quando si tratta di un disturbo di grande ampiezza: in questo caso la crescita è non lineare, i polipi e le bolle si intrecciano e finiscono in vortici. Come illustrato nella figura a fianco, è necessario ricorrere alla simulazione numerica per descrivere matematicamente il sistema.

Note e riferimenti

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Drazin (2002) p. 50–51 .
HB Che, B. Hilko e E. Panarella, " The Rayleigh - Taylor instability in the sherical pinch ", Journal of Fusion Energy , vol. 13, n o 4,1994, p. 275-280 ( DOI 10.1007 / BF02215847 )
(en) Wang, C.-Y. & Chevalier RA " Instabilities and Clumping in Type Ia Supernova Remnants ", versione v1,2000.
(a) RJ Tayler (a cura di ), W. Hillebrandt e P. Höflich , Stellar Astrophysics , Supernova 1987a in the Large Magellanic Cloud , Bristol / Philadelphia, CRC Press ,1992, 356 p. ( ISBN 0-7503-0200-3 ) , p. 249–302 : cfr. pagina 274.
J. Jeff Hester , " The Crab Nebula: an Astrophysical Chimera ", Annual Review of Astronomy and Astrophysics , vol. 46,2008, p. 127–155 ( DOI 10.1146 / annurev.astro.45.051806.110608 )
Drazin (2002) p. 48–52 .
Troviamo un calcolo simile nel lavoro di Chandrasekhar (1981), §92, pp. 433–435.
Shengtai Li e Hui Li, " Parallel AMR Code for Compressible MHD or HD Equations " , Los Alamos National Laboratory (accesso 5 settembre 2006 )
IUSTI, " Simulazione numerica delle instabilità di Richtmyer-Meshkov " ,6 ottobre 2008(visitato il 20 agosto 2009 )

Vedi anche

Bibliografia

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Rayleigh-Taylor Instability " ( vedi elenco degli autori ) .

Fonti storiche

John William Strutt Rayleigh , " Indagine sul carattere dell'equilibrio di un fluido pesante incomprimibile di densità variabile ", Atti della London Mathematical Society , vol. 14,1883, p. 170–177 ( DOI 10.1112 / plms / s1-14.1.170 )(Il documento originale è disponibile su: https://web.archive.org/web/20061210173022/https://www.irphe.univ-mrs.fr/%7Eclanet/otherpaperfile/articles/Rayleigh/rayleigh1883.pdf .)
Geoffrey Ingram Taylor , " L'instabilità delle superfici liquide quando accelerate in una direzione perpendicolare ai loro piani ", Atti della Royal Society of London. Serie A, Scienze matematiche e fisiche , vol. 201, n . 10651950, p. 192–196 ( DOI 10.1098 / rspa.1950.0052 )

Bibliografia recente

Subrahmanyan Chandrasekhar , stabilità idrodinamica e idromagnetica , pubblicazioni di Dover ,diciannove ottantuno, 652 p. ( ISBN 978-0-486-64071-6 , leggi online )
PG Drazin , Introduzione alla stabilità idrodinamica , Cambridge University Press ,2002, xvii + 238 pagine p. ( ISBN 0-521-00965-0 , leggi online ) .
PG Drazin e WH Reid , stabilità idrodinamica , Cambridge, Cambridge University Press ,2004( ristampa 2 ° ), 626 p. ( ISBN 0-521-52541-1 , leggi in linea )

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Comportamento a lungo termine

Note e riferimenti

Vedi anche

Bibliografia

Articoli Correlati

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