Relazione Rankine-Hugoniot

Il rapporto Rankine-Hugoniot esprime la discontinuità di quantità variabili attraverso un'onda d'urto o una linea di scorrimento in un gas. È stato chiamato in onore di Pierre-Henri Hugoniot e William Rankine .

Il caso generale

Siamo interessati alle equazioni alle derivate parziali nella dimensione 1 del tipo:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial w} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial f (w)} {\ partial x}} = 0}

Si dice che queste equazioni siano iperboliche quando la matrice Jacobiana di f è diagonalizzabile e ha valori reali positivi, che qui si presume essere vero. Tali equazioni ammettono soluzioni regolari e soluzioni discontinue di cui siamo interessati.

Integriamo l'equazione di conservazione sopra in prossimità dell'ascissa $x c$ della discontinuità:

{\ displaystyle \ int _ {x_ {c} - \ varepsilon} ^ {x_ {c} + \ varepsilon} {\ frac {\ partial w} {\ partial t}} \, \ mathrm {d} x = f [ w (x_ {c} - \ varepsilon)] - f [w (x_ {c} + \ varepsilon)]}

Utilizzando la regola di integrazione di Leibniz arriva:

{\ displaystyle v_ {c} \, [w (x_ {c} - \ varepsilon) -w (x_ {c} + \ varepsilon)] + {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ int _ { x_ {c} - \ varepsilon} ^ {x_ {c}} w \ mathrm {d} x + {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ int _ {x_ {c}} ^ {x_ {c } + \ varepsilon} w \ mathrm {d} x = f [w (x_ {c} - \ varepsilon)] - f [w (x_ {c} + \ varepsilon)]}

Uno ha notato la velocità di propagazione della discontinuità. ${\ displaystyle v_ {c} = {\ frac {\ mathrm {d} x_ {c}} {\ mathrm {d} t}}}$

In questo modo otteniamo la relazione di salto di $w$ : $\ varepsilon \ rightarrow 0$

{\ Displaystyle v_ {c} \, [w (x_ {c} - \ varepsilon) -w (x_ {c} + \ varepsilon)] = f [w (x_ {c} - \ varepsilon)] - f [w (x_ {c} + \ varepsilon)]}

Per semplificare le notazioni, scriveremo

{\ displaystyle v_ {c} \, (w_ {g} -w_ {d}) = f (w_ {g}) - f (w_ {d})}

Equazione degli hamburger

Un semplice esempio è l' equazione di Burgers che corrisponde alla definizione precedente con e . ${\ displaystyle w = u}$ ${\ displaystyle f (w) = {\ frac {u ^ {2}} {2}}}$

In questo caso verrà scritta l'equazione del salto:

{\ displaystyle v_ {c} \, (u_ {d} -u_ {g}) = {\ frac {u_ {d} ^ {2} -u_ {g} ^ {2}} {2}}}

{\ displaystyle v_ {c} = {\ frac {u_ {d} + u_ {g}} {2}}}

Uno shock stazionario quindi lo implica necessariamente . ${\ displaystyle u_ {d} = - u_ {g}}$

Equazioni di Eulero

Problema instabile

Applichiamo la relazione di salto per ciascuna delle equazioni di Eulero :

Continuità	${\ displaystyle w = \ rho}$	${\ displaystyle f (w) = \ rho V}$	${\ displaystyle v_ {c} \, (\ rho _ {d} - \ rho _ {g}) = \ rho _ {d} V_ {d} - \ rho _ {g} V_ {g}}$
Quantità di movimento	${\ displaystyle w = \ rho V}$	${\ displaystyle f (w) = \ rho V ^ {2} + p}$	${\ displaystyle v_ {c} \, (\ rho _ {d} V_ {d} - \ rho _ {g} V_ {g}) = (\ rho _ {d} V_ {d} ^ {2} + p_ {d}) - (\ rho _ {g} V_ {g} ^ {2} + P_ {g})}$
Energia	${\ displaystyle w = \ rho E}$	${\ displaystyle f (w) = (\ rho E + p) V}$	${\ displaystyle v_ {c} \, (\ rho _ {d} E_ {d} - \ rho _ {g} E_ {g}) = (\ rho _ {d} E_ {d} + p_ {d}) V_ {d} - (\ rho _ {g} E_ {g} + p_ {g}) V_ {g}}$

Abbiamo notato:

$\ rho$ la densità,
$V$ velocità,
$p$ pressione,
${\ displaystyle E = e + {\ frac {v ^ {2}} {2}}}$ energia totale per unità di massa,
$e$ l' energia interna per unità di massa.

La discontinuità può essere di due tipi:

lo shock dove tutte le quantità sono discontinue,
la discontinuità di contatto dove la velocità e la pressione sono continue. Ciò corrisponde a due linee di corrente che scivolano l'una accanto all'altra senza penetrarsi e avendo la stessa pressione (conservazione della quantità di moto). ${\ displaystyle \ left (v_ {c} = V_ {d} = V_ {g} \ right)}$

Shock destro stazionario

Nel caso di uno shock stazionario come quello riscontrato nell'aerodinamica, le relazioni di salto diventano: ${\ displaystyle v_ {c} = 0}$

{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} \ rho _ {d} V_ {d} & = & \ rho _ {g} V_ {g} \\ [0.6em] \ rho _ {d} V_ {d } ^ {2} + p_ {d} & = & \ rho _ {g} V_ {g} ^ {2} + p_ {g} \\ [0.6em] (\ rho _ {d} E_ {d} + p_ {d}) V_ {d} & = & (\ rho _ {g} E_ {g} + p_ {g}) V_ {g} \ end {array}}}

Semplificando l'equazione del salto di energia dalla relazione di salto sulla portata massica si ottiene la conservazione dell'entalpia totale:

{\ displaystyle H_ {g} = H_ {d}}

{\ displaystyle H = E + {\ frac {p} {\ rho}} = e + {\ frac {V ^ {2}} {2}} + {\ frac {p} {\ rho}}}

Nel caso di un gas ideale si estraggono le relazioni che legano i “salti”, ovvero il rapporto tra i valori a valle ea monte dello shock introducendo il numero di Mach a monte, ipotizzato essere un dato del problema ${\ displaystyle p = (\ gamma -1) \ rho e}$

{\ displaystyle M_ {g} = {\ frac {V_ {g}} {\ sqrt {\ gamma rT_ {g}}}}}

dove r è la costante specifica del gas .

Queste relazioni sono le seguenti

{\ displaystyle R = {\ frac {\ rho _ {d}} {\ rho _ {g}}} = {\ frac {V_ {g}} {V_ {d}}} = {\ frac {(\ gamma +1) M_ {g} ^ {2}} {(\ gamma -1) M_ {g} ^ {2} +2}}}

{\ displaystyle {\ frac {p_ {d}} {p_ {g}}} = 1 + {\ frac {2 \ gamma} {\ gamma +1}} (M_ {g} ^ {2} -1)}

{\ displaystyle {\ frac {T_ {d}} {T_ {g}}} = {\ frac {p_ {d}} {p_ {g}}} {\ frac {\ rho _ {g}} {\ rho _ {d}}}}

{\ displaystyle {\ frac {M_ {d}} {M_ {g}}} = \ left [R ^ {2} + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {g} ^ {2} (R ^ {2} -1) \ right] ^ {- {\ frac {1} {2}}}}

Il rapporto di densità è limitato quando ${\ displaystyle M_ {g} \ to \ infty}$

{\ displaystyle {\ frac {\ rho _ {d}} {\ rho _ {g}}} \ to {\ frac {\ gamma +1} {\ gamma -1}}}

Ad esempio per l'aria, formata da molecole biatomiche per le quali il limite del rapporto di densità è pari a 6. ${\ displaystyle \ gamma = 1.4}$

Possiamo anche calcolare la variazione di entropia ridotta , dove C V è la capacità termica volumetrica ${\ displaystyle {\ frac {S} {C_ {V}}} = \ ln {\ frac {p} {\ rho ^ {\ gamma}}}}$

{\ displaystyle {\ frac {S_ {d} -S_ {g}} {C_ {V}}} = \ ln \ sinistra ({\ frac {p_ {d}} {p_ {g}}} \ destra) - \ gamma \ ln \ left ({\ frac {\ rho _ {d}} {\ rho _ {g}}} \ right)}

Questo valore è zero per M g = 1 e aumenta con il numero di Mach. I valori di M g <1 portano a valori negativi proibiti dalla termodinamica. Non c'è shock per . ${\ displaystyle M_ {g} \ leq 1}$

Shock obliquo stazionario

Uno shock stazionario obliquo può essere presente su una configurazione geometrica di tipo diedro (vedi figura). Nell'ambito delle equazioni di Eulero si ignorano i complessi fenomeni di interazione viscosa nelle immediate vicinanze del muro.

Scrivi la conservazione del tensore della densità di momento attraverso lo shock

{\ displaystyle (\ rho \ mathbf {V} \ mathbf {V} + p) \ cdot \ mathbf {n} = \ rho {\ begin {pmatrix} V _ {\ perp} ^ {2} & V _ {\ perp} V_ {\ parallel} \\ V _ {\ perp} V _ {\ parallel} & V _ {\ parallel} ^ {2} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} + p {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ rho V _ {\ perp} ^ {2} + p \\\ rho V _ { \ perp} V _ {\ parallel} \ end {pmatrix}}}

dove è lo shock normale e le componenti di V normale e parallela, rispettivamente. Da qui le relazioni di conservazione ${\ displaystyle \ mathbf {n} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle V _ {\ perp}}$ ${\ displaystyle V _ {\ parallel}}$

{\ displaystyle \ rho V _ {\ perp d} ^ {2} + p_ {d} = \ rho V _ {\ perp g} ^ {2} + p_ {g}}

{\ displaystyle \ rho V _ {\ perp d} V _ {\ parallel d} = \ rho V _ {\ perp g} V _ {\ parallel g}}

La conservazione della massa è scritta

{\ displaystyle \ rho _ {d} V _ {\ perp d} = \ rho _ {g} V _ {\ perp g}}

Dalle ultime due equazioni si deduce la conservazione della velocità parallela , che si noterà così ${\ displaystyle V _ {\ parallel d} = V _ {\ parallel g}}$ ${\ displaystyle V _ {\ parallel}}$

Il sistema è quindi identico a quello del giusto impatto per le velocità normali e , le velocità parallele e , i numeri di Mach di questi componenti e , quest'ultima quantità essendo quindi inferiore all'unità. Ciò non pregiudica in alcun modo se il flusso a valle dell'ammortizzatore sia subsonico o supersonico. Dalle relazioni per il giusto shock possiamo quindi dare ${\ displaystyle V_ {g} \ sin \ theta}$ ${\ displaystyle V_ {d} \ sin (\ theta - \ beta)}$ ${\ displaystyle V_ {g} \ cos \ theta}$ ${\ displaystyle V_ {d} \ cos (\ theta - \ beta)}$ ${\ displaystyle M_ {g} \ sin \ theta}$ ${\ displaystyle M_ {d} \ sin (\ theta - \ beta)}$

l'espressione che mette in relazione l'angolo sconosciuto θ al numero di Mach e all'angolo del diedro β in forma implicita

{\ displaystyle {\ frac {V _ {\ perp 2}} {V _ {\ perp 1}}} = {\ frac {V _ {\ perp 2}} {V _ {\ parallel}}} {\ frac {V _ {\ parallel}} {V _ {\ perp 1}}} = {\ frac {\ tan (\ theta - \ beta)} {\ tan \ theta}} = {\ frac {(\ gamma -1 ) M_ {g} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta +2} {(\ gamma +1) M_ {g} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}}

che è semplificato in

{\ displaystyle \ tan \ beta = {\ frac {2} {\ tan \ theta}} \, {\ frac {M_ {g} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta -1} {M_ {g } ^ {2} (\ gamma + \ cos 2 \ theta) +2}}}

Le curve corrispondenti (vedi figura) mostrano che:
- due possibili angoli d'urto possono corrispondere ad un dato angolo diedro e quindi urti di diversa intensità (la “forza” misurata ad esempio dal salto di pressione); per uno shock debole (generalmente riscontrato) un aumento del numero di Mach porta ad una diminuzione dell'angolo di shock;
- per data M c'è un massimo di β che autorizza un impatto corretto, oltre a questo appare una configurazione diversa: un impatto curvo nella parte anteriore del piede del diedro .
il salto di pressione

{\ displaystyle {\ frac {p_ {d}} {p_ {g}}} = 1 + {\ frac {2 \ gamma} {\ gamma +1}} (M_ {g} ^ {2} \ sin ^ { 2} \ theta -1)}

il salto di densità

{\ displaystyle {\ frac {\ rho _ {2}} {\ rho _ {1}}} = {\ frac {(\ gamma +1) M_ {g} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta } {(\ gamma -1) M_ {g} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta +2}}}

il numero di Mach a valle

{\ displaystyle M_ {2} = {\ frac {1} {\ sin (\ theta - \ beta)}} {\ sqrt {\ frac {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ { g} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} {\ gamma M_ {g} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta - {\ frac {\ gamma -1} {2}}}} }}

Riferimenti

(in) ® Salas , " The Curious Events Leading to the Theory of Shock Waves " , 17 ° Shock Interaction Symposium , Roma,2006( leggi online )
Pierre-Henri Hugoniot , " Memoria sulla propagazione dei movimenti nei corpi e specialmente nei gas ideali (seconda parte) ", Journal de l'École Polytechnique , vol. 58,1889, p. 1–125 ( leggi in linea )
(in) William Rankine , " Sulla teoria termodinamica delle onde di disturbi longitudinali finiti " , Philosophical Transactions of the Royal Society of London , vol. 160,1870, p. 277–288 ( leggi in linea )
Marc Buffat, " Relazioni attraverso un giusto shock "
(a) John D. Anderson, Jr., Fundamentals of Aerodynamics , New York / St. Louis / Paris ecc., McGraw-Hill Education ,1991, 772 p. ( ISBN 0-07-001679-8 )

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato “ Rankine - Condizioni di Hugoniot ” ( vedere l'elenco degli autori ) .

link esterno

Calcolo degli shock da gas reali. Casella degli strumenti della dinamica dei gas