Gruppo compatto

In matematica , e più particolarmente nell'analisi armonica astratta , un gruppo compatto è un gruppo topologico il cui spazio topologico sottostante è compatto . I gruppi compatti sono gruppi unimodulari , la cui compattezza semplifica lo studio. Questi gruppi includono in particolare gruppi finiti e gruppi di Lie compatti . Ogni gruppo compatto è il limite proiettivo dei gruppi di Lie compatti.

Esempi di gruppi compatti

Gruppi finiti

Qualsiasi gruppo discreto finito è un gruppo compatto. In effetti, qualsiasi spazio discreto finito è compatto.
Qualsiasi sottogruppo discreto di un gruppo compatto è un gruppo finito. In effetti, qualsiasi parte discreta di una compatta è finita.

Costruzione di unità compatte

I gruppi compatti possono essere costruiti utilizzando i metodi generali di costruzione dei gruppi topologici:

Qualsiasi prodotto diretto di gruppi compatti è un gruppo compatto.
Qualsiasi sottogruppo chiuso di un gruppo compatto è un gruppo compatto.
Il quoziente del gruppo topologico di un gruppo compatto da un sottogruppo normale chiuso è compatto.
Se un morfismo di gruppi topologici è proprio e se il gruppo di partenza è allora il suo nucleo è un gruppo quasi compatto (quindi compatto, se è separato ).
Qualsiasi limite proiettivo di gruppi compatti (in particolare qualsiasi gruppo profino ) è un gruppo compatto.

Gruppi di Lie compatti

Un gruppo di Lie compatto è un (reale o complesso) gruppo di Lie cui sottostante spazio topologico è compatto. Tra questi ci sono i gruppi di Lie classici compatti, di cui i seguenti sono esempi:

il gruppo ortogonale O n (ℝ), di dimensione n ( n - 1) / 2;
il gruppo ortogonale speciale SO n (ℝ), che è la sua componente neutra (en) ;
il gruppo unitario U n (ℂ), di dimensione n 2 ;
il gruppo unitario speciale SU n (ℂ), di dimensione n 2 - 1;
il gruppo simplettico compatto Sp ( n ), di dimensione n (2 n + 1);
il gruppo spinore Spin ( n ), che è un doppio rivestimento di SO n (ℝ).

D'altra parte, ciascuno dei cinque eccezionali gruppi di Lie ha una forma compatta.

Si noti che un gruppo di Lie compatto e complesso è necessariamente commutativo.

Integrazione su gruppi compatti

Su ogni gruppo topologico G localmente compatto e separabile , esiste una misura Boreliana invariante per le traslazioni a sinistra, detta misura di Haar , unica fino a un coefficiente moltiplicativo. E 'finito su sottoinsiemi compatti di G . Se G è esso stesso compatto, qualsiasi misura di Haar è finita , ed è possibile normalizzarla in modo che la sua massa sia 1. Abbiamo quindi su ogni gruppo compatto G una misura di probabilità unica che è invariante per le traslazioni a sinistra, che abbiamo chiamare per abuso di linguaggio la misura di Haar di G , annotata λ nel resto dell'articolo.

In pratica, la misura di Haar permette di fare la media degli oggetti su G per ottenere oggetti invarianti.

Unimodularità

Ogni gruppo compatto è unimodulare , cioè la “sua” misura di Haar è invariante non solo a sinistra (per definizione) ma anche a destra. Infatti, la sua funzione modulare (che misura il difetto di invarianza a destra di una misura di Haar) è costantemente uguale a 1, poiché è un morfismo di gruppo continuo da G a ℝ + * , la cui immagine è quindi l'unico sottogruppo compatto di of + * : il gruppo banale {1}.

Teorema del punto fisso di Kakutani

Il seguente teorema, dimostrato da Shizuo Kakutani nel 1941 , riguarda rappresentazioni continue di un gruppo compatto. Una rappresentazione continua di un gruppo topologico G è un agire lineare di G su una topologico spazio vettoriale V che è continuo come un'applicazione di G × V in V .

Teorema del punto fisso di Kakutani - Data una rappresentazione continua di un gruppo compatto G su uno spazio separato localmente convesso V (per esempio uno spazio vettoriale reale di dimensione finita con la sua topologia usuale ), qualsiasi parte convessa compatta non vuota di V ampiamente stabile dal azione di G contiene almeno un punto fisso con tutti gli elementi G .

Il teorema di Kakutani dà una specifica prova alternativa dell'esistenza della misura di Haar su un gruppo compatto G . Infatti, lo spazio delle misure reali finite è, per un teorema di Riesz , il duale topologico dello spazio di Banach delle funzioni continue reali C ( G , ℝ), dotato della norma di convergenza uniforme . Le misure di probabilità boreliane formano un sottoinsieme convesso e *-debolmente compatto. L'azione di G su se stessa mediante traslazioni a sinistra induce un'azione lineare di G su , che è continua per la topologia * -weak. La C convessa è stabile per G : quindi si applica il teorema di Kakutani e dà l'esistenza di un punto fisso dell'azione di G in C , ovvero di una misura di probabilità boreliana invariante su G per traslazione a sinistra. L'esistenza del provvedimento di Haar è così accertata. (Tuttavia, la compattezza non semplifica la prova di unicità.) ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {M}} (G)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {M}} (G)}$

Rappresentazione di gruppi compatti

Riducibilità completa

Una rappresentazione continua a G su V si dice irriducibile se V e nullo sottospazi sono distinti e sono gli unici due sottospazi chiusi generalmente invariante G . Si dice che sia completamente riducibile se V è una somma topologica diretta di una famiglia di sottospazi invarianti chiusi in modo tale che la rappresentazione limitata a ciascuno di essi sia irriducibile.

Teorema - Per un gruppo compatto, qualsiasi rappresentazione continua su uno spazio di Hilbert (in particolare qualsiasi rappresentazione continua reale o complessa di dimensione finita) è completamente riducibile.

La dimostrazione parte dal fatto che in un Hilbert qualsiasi sottospazio chiuso è l' immagine di un proiettore continuo . Viene poi modellato su quello del teorema di Maschke : è sufficiente sostituire la media discreta con un integrale rispetto alla misura di Haar, verificando che il proiettore mediato sia ancora continuo, grazie al seguente lemma:

Lemma inquadratura - Per ogni rappresentazione continua ρ di un gruppo compatto G su uno spazio vettoriale normalizzato , esiste un reale M > 0 tale che

{\ displaystyle \ forall g \ in G, \ quad {\ frac {1} {M}} \ leq \ | \ rho (g) \ | \ leq M.}

Dimostrazione Per ogni h∊G , per continuità in ( h , 0) della mappa che a qualsiasi coppia ( g, v ) associa la norma di gv , esiste un U h aperto contenente he un reale δ h > 0 tale che

{\ displaystyle \ forall g \ in U_ {h}, ~ \ forall v \ in B (0, \ delta _ {h}), \ quad \ | gv \ | \ leq 1,}

in altre parole come

{\ displaystyle \ forall g \ in U_ {h}, \ quad \ | \ rho (g) \ | \ leq {\ frac {1} {\ delta _ {h}}}.}

Tuttavia, per compattezza, G è coperto da una sottofamiglia finita della copertura aperta ( U h ). Prendendo per M il massimo dell'insieme finito del corrispondente 1 ⁄ δ h , si ottiene l'incremento uniforme desiderato per ║ρ ( g ) ║. La riduzione è dedotta da questo usando che 1 ≤ ║ρ ( g ) ║ ║ρ ( g -1 ) ║.

Un metodo meno diretto per dimostrare il teorema di riducibilità completo consiste nell'usare il metodo di unitarizzazione (che si basa anche su questo lemma di inquadramento). Una rappresentazione ( V , ρ) si dice unitaria (en) se V è uno spazio di Hilbert reale (o complesso) e se ρ ha valori nel suo gruppo ortogonale O ( V ) (o unitario U ( V )). Tuttavia, qualsiasi rappresentazione unitaria continua è completamente riducibile (grazie al fatto che l'ortogonale di un sottospazio invariante è quindi invariante, e per mezzo di una riduzione identica a quella del caso algebrico ). Da esso segue il teorema della riducibilità completa, grazie al seguente lemma:

Lemma di unitarizzazione - Qualsiasi rappresentazione continua di un gruppo compatto su uno spazio di Hilbert è equivalente a una rappresentazione unitaria.

L'equivalenza delle rappresentazioni deve essere qui intesa nel senso topologico , vale a dire che imponiamo che l' isomorfismo dell'intreccio sia un omeomorfismo .

Dimostrazione

Supponiamo data una rappresentazione continua ( V , ρ) di un gruppo compatto G su un Hilbert ( V , 〈·, ·〉) e sia, per tutti i vettori v e w di V :

{\ displaystyle (v, w) = \ int _ {G} \ langle gv, gw \ rangle ~ \ mathrm {d} \ lambda (g).}

Notiamo che (·, ·) definisce una forma sesquilineare positiva definita su V (quindi una struttura prehilbertiana ). Verificare che è invariante sotto l'azione di G . Per h in G , e v e w in V , viene:

{\ displaystyle {\ begin {align} (hv, hw) & = \ int _ {G} \ langle gh.v, gh.w \ rangle ~ \ mathrm {d} \ lambda (g) \\ & = \ int _ {G} \ langle kv, kw \ rangle ~ \ mathrm {d} \ lambda (kh ^ {- 1}) \\ & = (v, w), \ end {allineato}}}

l'ultima uguaglianza derivante dall'invarianza a destra della misura di Haar λ.

Infine, l'isomorfismo dell'intreccio è proprio bicontinuo, ovvero la nuova norma su V è equivalente a quella vecchia, grazie al lemma di inquadratura , che allo stesso tempo garantisce la completezza di V per il nuovo standard.

Un corollario immediato del lemma di unitarizzazione è che ogni sottogruppo compatto di GL n (ℝ) è coniugato di un sottogruppo di O n (ℝ). Questo risultato può anche essere dedotto direttamente dal teorema del punto fisso di Kakutani .

Teorema di Peter-Weyl

Il teorema di Peter-Weyl (in) è stato dimostrato nel 1927 da Hermann Weyl e uno dei suoi studenti, Peter Fritz.

Consideriamo la rappresentazione naturale del gruppo topologico G × G sullo spazio di Hilbert L 2 (λ) , detta rappresentazione biregolare di G e data da:

{\ displaystyle (h, k) .f: g \ mapsto f (h ^ {- 1} gk)}

Questa rappresentazione è unitaria e continua.

Per ogni rappresentazione continua complessa di dimensione finita ρ di G , abbiamo un morfismo naturale delle rappresentazioni di G × G , di ρ * ⊗ ρ nella rappresentazione biregolare. Se ρ è irriducibile allora questo morfismo è iniettivo, e se due rappresentazioni irriducibili di G non sono equivalenti allora le due corrispondenti sotto-rappresentazioni del biregolare sono ortogonali. Se ∑ è un insieme di rappresentazioni irriducibili (continue, complesse, finite-dimensionali) non equivalenti, la somma hilbertiana (somma ortogonale diretta completata) di ρ * ⊗ρ quando ρ attraversa ∑ è quindi ancora immersa nel biregolare.

Ciò che il teorema di Peter-Weyl afferma è che se ∑ è scelto come massimo allora questo incorporamento è un isomorfismo, in altre parole : che la mappa (lineare, iniettiva e continua) tra gli spazi di Hilbert sottostanti è suriettiva.

In modo più esplicito e più preciso:

per ogni rappresentazione ( V , ρ) (continua, complessa, di dimensione finita) di G , l'immagine canonica di V * ⊗V in L 2 (λ) è il sottospazio C (ρ) generato dai coefficienti di matrice di ρ in qualsiasi base di V ;
denotiamo classicamente con ℛ ( G ) l'unione di tutti questi C (ρ): è una subalgebra involutiva di C ( G , ℂ);
per due rappresentazioni irriducibili non equivalenti ρ e σ, C (ρ) e C (σ) sono ortogonali in L 2 (λ);
Peter-Weil teorema dice che ℛ ( G ) è denso in C * -algebra C ( G , ℂ) e ( a maggior ragione ) nello spazio di Hilbert L 2 (λ).

Prova di ortogonalità

Siano ( U , ρ) e ( V , σ) due rappresentazioni irriducibili non equivalenti (continue, complesse, di dimensioni finite). Considera la rappresentazione ( W , π) = Hom (ρ, σ). Per ogni elemento w di W = Hom ( U, V ), l'integrale ∫ π ( g ) w dλ ( g ) è un morfismo da U a V , G -invariant quindi (per il lemma di Schur ) zero, in altre parole per tutti h ∊C (π), ∫ h dλ = 0. Tuttavia, fino alle equivalenze (che non modificano il C (.)), Ρ è unitario e π = ρ * ⊗σ = ρ ⊗σ, quindi per ogni f ∊C (ρ) eg ∊C (σ), il la funzione f g appartiene a C (π) e il suo integrale è zero.

Il teorema di Peter-Weil ha conseguenze non banali. Permette ad esempio di mostrare che qualsiasi gruppo compatto è limite proiettivo di gruppi di Lie compatti: l' Im (ρ).

Personaggio

Data una rappresentazione complessa a dimensione finita di un gruppo compatto G , il carattere associato è definito da:

{\ Displaystyle \ chi _ {\ rho} (g) = \ operatorname {tr} (\ rho (g))}

I caratteri di due rappresentazioni equivalenti sono uguali. Si parla di carattere e carattere irriducibile per designare i personaggi associati rispettivamente ad una rappresentazione complessa e ad una rappresentazione complessa irriducibile.

Una funzione centrale è una funzione (misurabile, continua ...) alla G in costante ℂ su classi di coniugio di G . I caratteri sono esempi di funzioni centrali. La raccolta di tutti i caratteri irriducibili di un gruppo compatto forma una famiglia ortonormale di L 2 ( G , λ). Più esattamente, è una base di Hilbert del sottospazio di Hilbert delle funzioni centrali di classe L 2 .

Un esempio importante è la determinazione delle caratteristiche del toro e la classificazione delle sue rappresentazioni .

Rappresentazione di gruppi finiti

Le proprietà delle rappresentazioni di gruppi compatti sono specializzate per gruppi finiti. Lo studio è semplificato, in particolare perché il numero di caratteri è finito. In particolare, i caratteri irriducibili di un gruppo finito G formano una base dello spazio vettoriale a dimensione finita delle funzioni centrali. Le dimensioni di questo spazio è il numero di classi di coniugio di G .

Valutazione e riferimento

Agnès Coquio, " Compact subgroups of GL n (ℝ) " , in Institut Fourier ,2010.

Vedi anche

Link esterno

Antoine Chambert-Loir , Introduzione ai gruppi e algebre di Lie , master 2 presso l' Università di Rennes 1 (2004-2005), cap. 3: Rappresentazioni di gruppi compatti