Doppia rappresentazione

In algebra , se ρ è una visualizzazione raggruppata o una rappresentazione algebra Lie su uno spazio vettoriale V , definiamo sua duplice rappresentazione o rappresentazione contragredient ρ * sulla doppia V * di V .

Se ρ è una rappresentazione di un gruppo G , allora ρ * è la rappresentazione di G definita da:per ogni elemento g di G , ρ * ( g ) è la trasposizione di ρ ( g -1 ).
Se ρ è una rappresentazione di un'algebra di Lie , allora ρ * è la rappresentazione di definita da: ${\ mathfrak g}$ ${\ mathfrak g}$ per ogni elemento u di , ρ * ( u ) è la trasposizione di - ρ ( u ). ${\ mathfrak g}$

Per una rappresentazione unitaria (in) , la doppia rappresentazione è equivalente alla rappresentazione coniugata .

Generalizzazioni

Da due rappresentazioni (ρ 1 , V 1 ) e (ρ 2 , V 2 ) di un gruppo G , definiamo una rappresentazione Hom (ρ 1 , ρ 2 ) = ρ di G su Hom ( V 1 , V 2 ) chiedendo :per ogni elemento g di G e qualsiasi elemento f di Hom ( V 1 , V 2 ), ρ ( g ) ( f ) = ρ 2 ( g ) ∘ f ∘ρ 1 ( g -1 ).
Un modulo su un anello (visto come una rappresentazione di questo anello su un gruppo abeliano ) non ha una doppia rappresentazione in generale, ma un modulo su un'algebra di Hopf sì .

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato “ Doppia rappresentazione ” ( vedere l'elenco degli autori ) .

(in) William Fulton e Joe Harris , Teoria della rappresentazione: un primo corso [ edizioni al dettaglio ], p. 4
Fulton Harris , p. 111
A. Chambert-Loir, Introduzione ai gruppi e algebre di Lie , corso di master 2 presso l' Università di Rennes 1 (2004-2005), p. 21