Teorema del punto fisso di Kakutani

In matematica analisi , teorema del punto fisso di Kakutani è un teorema del punto fisso che generalizza Brouwer di per funzioni con valori impostati . Fornisce una condizione sufficiente perché una tale funzione, definita su un compatto convesso di uno spazio euclideo , abbia un punto fisso , vale a dire in questo contesto: un punto che appartiene alla sua immagine per questa funzione.

Questo teorema fu dimostrato da Shizuo Kakutani nel 1941 e reso popolare da John Forbes Nash , che lo usò nella sua descrizione dell'equilibrio di Nash . Da allora ha avuto molte applicazioni nella teoria dei giochi e nell'economia .

stati

L'affermazione del teorema di Kakutani è la seguente:

Sia S un compatto convesso non vuoto uno spazio euclideo e S φ di applicazione nelle intere 2 S parti di S . Se il grafico di φ è chiuso in S × S e se, per qualsiasi punto x di S, φ ( x ) è un convesso non vuoto, allora φ ha un punto fisso .

In questa dichiarazione, per definizione:

il grafico di φ è l'insieme delle coppie ( x , y ) di S × S tali che y ∈ φ ( x );
un punto fisso di φ è un elemento x di S tale che x ∈ φ ( x ).

Dichiarazione equivalente

Alcune fonti, tra cui l'articolo originale di Kakutani, mettono in gioco la nozione di emicontinuità superiore, definita da:

Un'applicazione φ: X → 2 Y è superiormente hémicontinue se per ogni aperto W a Y , l'insieme di punti x per cui φ ( x ) è incluso in W è una X aperta .

Il teorema può quindi essere riformulato come:

Sia S un compatto convesso non vuoto di uno spazio euclideo e φ: S → 2 S una mappa semicontinua superiore. Se, per ogni punto x di S, φ ( x ) è un convesso chiuso non vuoto, allora φ ha un punto fisso.

Questa variante è equivalente all'affermazione precedente perché, secondo il teorema del grafo chiuso per funzioni con valori impostati , per ogni Y compatto , il grafico di una mappa φ: X → 2 Y è chiuso se e solo se φ è superiormente semicontinuo e tutti φ ( x ) sono chiusi.

Esempio e controesempi

Il compatto convesso S qui considerato è l' intervallo [0, 1].

Esempio

L'applicazione φ definita da φ ( x ) = [1 - x / 2, 1 - x / 4] soddisfa le ipotesi del teorema, quindi deve avere punti fissi. Possiamo verificarlo per risoluzione diretta: 1 - x / 2 ≤ x ≤ 1 - x / 4 è equivalente a 2/3 ≤ x ≤ 4/5.

Controesempio sul caso non convesso

L'assunzione che le φ ( x ) siano convesse è essenziale in questo teorema: sia φ definito da

\ varphi (x) = {\ begin {cases} \ {3/4 \} & {\ text {si}} \ quad 0 \ leq x <1/2 \\\ {3 / 4,1 / 4 \} & {\ text {si}} \ quad x = 1/2 \\\ {1/4 \} & {\ text {si}} \ quad 1/2 <x \ leq 1. \ end {cases}}

Questa funzione non ha un punto fisso. Soddisfa tutte le ipotesi del teorema, tranne la convessità di φ (1/2).

Controesempio sul caso non chiuso

La mappa φ definita da φ ( x ) = [ x / 3, 2 x / 3] se x > 0 e φ (0) =] 0, 1] non ha un punto fisso. È superiormente semicontinuo e con valori convessi non vuoti, ma il suo grafico non è chiuso perché φ (0) non lo è.

Applicazioni

Teoria del gioco

Il matematico John Forbes Nash ha utilizzato il teorema del punto fisso di Kakutani per dimostrare un importante teorema della teoria dei giochi , una conseguenza del quale è l'esistenza di un equilibrio di Nash in qualsiasi gioco di strategia mista infinita , indipendentemente dal numero n di giocatori. Questo lavoro gli è valso un " Premio Nobel per l'economia ".

In questo caso S è l'insieme di n -tuple di strategie che gli n giocatori possono scegliere e φ ( x ) è l'insieme di n -tuple di strategie ottimali (non necessariamente uniche) per ogni giocatore, in risposta alla scelta di altri giocatori in strategia mista x . L'equilibrio di Nash di un gioco è un punto fisso di φ , cioè una n- coppia di strategie di cui ogni componente è una risposta ottimale del giocatore corrispondente alla scelta delle altre componenti da parte degli altri giocatori. Il teorema di Kakutani assicura l'esistenza di un tale punto fisso.

Equilibrio generale

Nella teoria economica dell'equilibrio generale , il teorema di Kakutani è stato utilizzato per dimostrare l'esistenza di prezzi che corrispondono alla domanda e all'offerta in tutti i mercati di un'economia. La questione dell'esistenza di tali prezzi risale almeno a Léon Walras . La prima prova è stata fornita da Lionel McKenzie . Il teorema di Kakutani è un fondamento essenziale della “teoria del valore” di Gérard Debreu (economista franco-americano il cui lavoro è stato insignito del “ Premio Nobel per l'economia ”).

In questo caso, S è l'insieme di n tuple dei prezzi delle materie prime. La funzione φ è scelta in modo tale che il risultato φ ( x ) differisca dall'argomento x non appena la n- tripla x del prezzo non è uguale all'offerta e alla domanda ovunque. La sfida qui è costruire una mappa φ verificando sia questa proprietà che le ipotesi del teorema di Kakutani. Tale φ , se esiste, avrà quindi un punto fisso che, per costruzione, eguaglierà l'offerta con la domanda ovunque.

Piano della dimostrazione

(Per un'altra dimostrazione, vedere la sezione successiva.)

Caso di un segmento

La dimostrazione è molto più semplice quando S è un segmento della retta reale, ma questo caso particolare è istruttivo perché la sua strategia generale si adatta alle dimensioni superiori.

Sia φ : [0, 1] → 2 [0, 1] una mappa che soddisfa le ipotesi del teorema.

Primo stadio. Costruiamo in [0, 1] due successioni adiacenti ( a i ), ( b i ) ( i = 0, 1,…) tali che b i - a i ≤ 2 - i e tali che esista p i ∈ φ ( a i ) e q i ∈ φ ( b i ) soddisfacenti: p i ≥ a i e q i ≤ b i . Questa costruzione viene eseguita per induzione . Poniamo a 0 = 0, b 0 = 1, p 0 = qualsiasi punto di φ (0) eq 0 = qualsiasi punto di φ (1). Quindi, assumendo a k , b k , p k , q k già costruito, poniamo m = ( a k + b k ) / 2 .
- Se esiste un r ∈ φ ( m ) tale che r ≥ m , possiamo scegliere
  - $a_ {k + 1} = m, ~ b_ {k + 1} = b_ {k}, ~ p_ {k + 1} = r, ~ q_ {k + 1} = q_ {k}.$
- Altrimenti, poiché φ ( m ) non è vuoto, esiste necessariamente un s ∈ φ ( m ) tale che s ≤ m . In questo caso, scegliamo
  - $a_ {k + 1} = a_ {k}, ~ b_ {k + 1} = m, ~ p_ {k + 1} = p_ {k}, ~ q_ {k + 1} = s.$
Secondo passo. Ci concentriamo su un valore di adesione ( a, b, p, q ) di questa sequenza di quadruplets ( a i , b i , p i , q i ) (ce ne sono alcuni, secondo il significato diretto del teorema di Bolzano- Weierstrass , applicato al compatto [0, 1] 4 ). Per costruzione, abbiamo q ≤ b = a ≤ p . Inoltre ( poiché il grafico di φ è chiuso ), p ∈ φ ( a ) eq ∈ φ ( b ). Notando x l'elemento a = b possiamo riassumere la situazione come segue:

q, p \ in \ varphi (x) \ quad {\ text {e}} \ quad q \ leq x \ leq p.

Per convessità di φ ( x ), deduciamo che x appartiene a φ ( x ), cioè x è un punto fisso di φ .

Caso di un simplex

Nella dimensione n > 1, il metodo è essenzialmente lo stesso se S è un n - simplex . L'unico adattamento sta nel primo passo:

invece di tagliare a metà un intervallo dalla sua metà come nella dimensione 1, usiamo una suddivisione baricentrica (in) per tagliare il simplex in sub-simplex più piccoli.
al posto degli argomenti elementari che hanno permesso, nella dimensione 1, di scegliere uno dei mezzi intervalli in modo tale che le estremità formino due sequenze, una crescente e l'altra decrescente, nella dimensione superiore è il lemma di Sperner che garantirà l'esistenza di un sub-simplex appropriato.

Caso generale

Se S (non vuoto) è un compatto dimensione convesso n dello spazio euclideo, possiamo sempre supporre che la dimensione dello spazio è anche n , e 0 è interno a S . Scegliamo quindi un n -simplex S ' contenente S , ed estendiamo la mappa φ: S → 2 S in una mappa φ': S ' → 2 S' , scegliendo φ ' radialmente costante sul complemento dell'interno di S . Quindi, se ( S, φ ) soddisfa le ipotesi del teorema di Kakutani, ( S ', φ' ) le verificherà, quindi (secondo il caso precedente applicato al simplex S ' ) φ' avrà punto fisso x ∈ φ ' ( x ). Ma poiché tutte le immagini di φ ' sono incluse in S , x allora appartiene a S , quindi φ' ( x ) = φ ( x ) e x è un punto fisso per φ .

Generalizzazioni in dimensione infinita

Il teorema del punto fisso di Kakutani è stato esteso per separare spazi convessi localmente di dimensione infinita da Ky Fan e Irving Glicksberg.

Il teorema di Kakutani-Fan-Glicksberg può essere affermato come segue:

Sia S un convesso compatto non vuoto di uno spazio separato localmente convesso e φ: S → 2 S una mappa semicontinua superiore. Se, per ogni punto x di S, φ ( x ) è un convesso chiuso non vuoto, allora φ ha un punto fisso.

È una generalizzazione a funzioni multivalore del teorema del punto fisso di Tychonoff secondo il quale, per ogni S convesso compatto non vuoto di uno spazio convesso locale separato, qualsiasi mappa continua da S a S ha un punto fisso. Il caso delle funzioni multivalore può, come quello delle applicazioni, essere dedotto dal teorema del punto fisso di Brouwer :

Dimostrazione

Per ogni intorno convesso V di 0, un teorema di selezione approssimato fornisce un sottospazio vettoriale di dimensione finita G V e una mappa continua f V : S → S ∩ G V tale che per ogni punto z di S , ( z , f V ( z ) ) appartiene a Gr (φ) + ( V × V ). Il teorema del punto fisso di Brouwer dimostra l'esistenza in S ∩ G V di un punto x V fisso f V . Sia x un valore di adesione in S della successione generalizzata ( x V ). La coppia ( x , x ) è quindi aderente al grafo di φ quindi gli appartiene, poiché questo grafo è chiuso. Pertanto, x è un punto fisso di φ.

Come nel caso euclideo, una formulazione equivalente è:

Sia S un convesso compatto non vuoto uno spazio localmente convesso separato e S φ di un'applicazione in due S . Se il grafico di φ è chiuso e se, per ogni punto x di S, φ ( x ) è un convesso non vuoto, allora l'insieme (compatto) di punti fissi di φ è non vuoto.

o :

Sia S un convesso compatto non vuoto di uno spazio convesso localmente separato E e φ: S → 2 E una mappa semicontinua superiore. Se, per ogni punto x di S, φ ( x ) è una riunione convessa chiusa S, allora φ ha un punto fisso.

Note e riferimenti

(it) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Teorema del punto fisso di Kakutani " ( vedi l'elenco degli autori ) .

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Vedi anche

Bibliografia

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Link esterno

(en) John Hillas, " Fixed Point Theorems " , dell'Università di Auckland