Gruppo Profini

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Nella teoria dei gruppi , un gruppo profine è un gruppo topologico ottenuto come limite proiettivo di gruppi finiti discreti . Il concetto di gruppo profinito è particolarmente utile nella teoria di Galois , per lavorare con estensioni nel finito .

Come più in generale nella teoria delle categorie , questo limite proiettivo è definito solo fino a un singolo isomorfismo. Può essere interpretato come l' oggetto finale di una buona categoria.

Esempi

Per ogni numero primo p , il gruppo additivo dell'anello di interi $p$ -adici è profinito, come il limite proiettivo dei gruppi ciclici finiti . Questo gruppo è in realtà il pro- p -completo del gruppo di interi. ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} = \ lim _ {\ leftarrow} \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$

In particolare, gli interi relativi possono essere visti come elementi di questo gruppo profine: qualsiasi intero può essere scritto come una somma finita con a i minore di p . Posiamo allora . ${\ displaystyle \ alpha = \ sum _ {i} a_ {i} p ^ {i},}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {n} = \ sum _ {i \ leq n} a_ {i} p ^ {i}}$

Possiamo anche costruire il completamento profine del gruppo di interi relativi considerando il sistema proiettivo formato da tutti i . ${\ cappello {\ mathbb {Z}}}$ $\ Z / n \ Z$

topologia

Per il teorema di Tychonov , vediamo che un gruppo profine è compatto per la topologia iniziale , ciascuno dei gruppi finiti del sistema proiettivo essendo provvisto della topologia discreta .

In realtà abbiamo la seguente caratterizzazione:

I gruppi profine sono gruppi compatti completamente discontinui , ovvero: gruppi compatti di dimensione zero .

La teoria di Sylow

I gruppi finiti hanno una struttura sufficientemente vicina a quella dei gruppi finiti perché la teoria di Sylow vi possa essere enunciata in modo analogo al caso classico; la dimostrazione essendo fatta da un semplice passaggio al limite .

teoria di Galois

Il gruppo di Galois di un infinito estensione campo ammette un naturale gruppo profine struttura : infatti, i suoi finite quozienti (che corrispondono tramite la corrispondenza di Galois alle finiti sotto-estensione del prolungamento considerato) fornito con la loro topologia discreta forma, con le canoniche morfismi tra loro, un sistema proiettivo di gruppi topologici , di cui detto gruppo è isomorfo a quello sottostante al limite .

Il caso del pro-p-completo di appare in particolare nella teoria di Iwasawa . $\ Z_p$ $\ mathbb {Z}$

Bibliografia

(it) Luis Ribes e Pavel Zalesskii , Profinite Groups [ dettaglio delle edizioni ]
(it) John S. Wilson , Gruppi Profiniti [ dettaglio delle edizioni ]

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Pro-p-group (it)