In matematica , una misura di Haar su un gruppo localmente compatto è una misura di Borel quasi regolare diversa da zero invariante per traslazione a sinistra. In altre parole, per ogni parte boreliana B di G , e per ogni g in G , abbiamo:
.L'esistenza di una misura Haar è assicurata in qualsiasi gruppo compatto locale. È il ricambio compatto in G . Inoltre, qualsiasi misura di Borel complessa invariante dalle traduzioni a sinistra è scritta dove è un numero complesso. Anche se è definita solo per un coefficiente di moltiplicazione, molte opere parlano, per abuso di linguaggio, della la misura di Haar. Questo utilizzo è giustificato per un gruppo compatto o per un gruppo discreto , dove è possibile eseguire le normalizzazioni.
In qualsiasi varietà differenziale orientata M di dimensione n , un n differenziale -form definisce una misura M . Un gruppo di Lie G è una varietà differenziale dotata di una legge di gruppo differenziabile. E 'noto che G è parallelizzabile , per non parlare direzionale: qualsiasi base spazio tangente definito da un campo di database di traduzione invariante fianco a sinistra su G . Infatti, ogni n -form sullo spazio tangente definisce un singolo n differenziale invariante traduzione -Forma a sinistra: la misura corrispondente Borel è una misura di Haar G .
L'esistenza di una misura di Haar su un gruppo compatto può essere dedotta dal teorema del punto fisso di Kakutani .
Poiché il gruppo G è compatto, è finito, e anche se significa eseguire una normalizzazione, è possibile ipotizzare la probabilità .
Qualsiasi traduzione a destra di una misura Haar è ancora una misura Haar, quindi esiste un'applicazione
come per qualsiasi misura di Haar , qualsiasi elemento del gruppo e qualsiasi Borelian ,
Questa applicazione , chiamata funzione di gruppo modulare , è un morfismo di gruppo continuo .
Il gruppo si dice unimodulare se la sua funzione modulare è il morfismo costante g 1.
Una misura è invariante a destra se e solo se la sua immagine mediante la mappa g g −1 è invariante a sinistra. Abbiamo quindi gli stessi teoremi di esistenza e "unicità" per le misure di Haar a destra come per le misure di Haar a sinistra, e il gruppo è unimodulare se e solo se questi due insiemi di misure non sono disgiunti, nel qual caso coincidono .
Qualsiasi gruppo abeliano è unimodulare, così come ogni gruppo compatto , qualsiasi gruppo discreto e qualsiasi gruppo di Lie nilpotente semi-semplice o connesso . Il gruppo di Lie risolvibile GA ( ) ( gruppo affine della linea reale , chiamato anche gruppo ax + b ) non è unimodulare.
La nozione di "misura di Haar" è stata introdotta da Alfréd Haar nel 1933, così come la dimostrazione della sua esistenza per qualsiasi gruppo localmente compatto, sotto il presupposto restrittivo che il gruppo è metrizzabile e separabile (che è in effetti equivalente alla sola ipotesi base numerabile ). La dimostrazione della sua "unicità" (quasi proporzionalità) è stata fatta da John von Neumann nel 1935. Nel 1940, André Weil ha dimostrato il teorema in tutta la generalità e Henri Cartan ha prodotto una dimostrazione senza l' assioma della scelta e dimostrando simultaneamente esistenza e unicità.