Vettore Runge-Lenz

In questo articolo i vettori e le loro norme sono indicati rispettivamente in grassetto e corsivo . Ad esempio: .

\ left | \ left | {\ mathbf {A}} \ right | \ right | = A

Nella meccanica classica , il vettore di Runge-Lenz o invariante Runge-Lenz è un vettore utilizzato principalmente per descrivere la forma e l'orientamento dell'orbita di un corpo astronomico attorno a un altro, come nel caso di un pianeta attorno a una stella.

Per due corpi in interazione gravitazionale , il vettore Runge-Lenz è una costante di movimento , il che significa che assume lo stesso valore in qualsiasi punto dell'orbita; in modo equivalente diciamo che il vettore Runge-Lenz è conservato. Più in generale, il vettore Runge-Lenz si conserva per qualsiasi problema con due corpi che interagiscono per mezzo di una forza centrale variabile come l' inverso del quadrato della distanza tra loro. Tali problemi sono chiamati "problemi di Keplero".

L' atomo di idrogeno è un problema di Keplero poiché include due cariche in interazione elettrostatica, un'altra forza centrale nel quadrato inverso della distanza. Il vettore di Runge-Lenz era essenziale nelle prime descrizioni quantistiche dello spettro di emissione dell'atomo di idrogeno dopo lo sviluppo dell'equazione di Schrödinger . Tuttavia, questo approccio è usato molto poco oggi. Nella meccanica classica e quantistica , le quantità conservate generalmente corrispondono a una simmetria del problema. La conservazione del vettore Runge-Lenz è associata a una simmetria insolita: il problema di Keplero è matematicamente equivalente a una particella che si muove liberamente su una 3-sfera, il che implica che il problema è simmetrico per alcune rotazioni in uno spazio di quattro dimensioni. Questa simmetria superiore risulta da due proprietà del problema di Keplero: il vettore di velocità si muove sempre in un cerchio perfetto e, per una data energia totale, tutti i cerchi di velocità si intersecano in due stessi punti.

Il vettore Runge - Lenz prende il nome da Carl Runge e Wilhelm Lenz . È anche noto come vettore di Laplace (dal nome di Pierre-Simon de Laplace ) sebbene nessuno di questi scienziati lo abbia scoperto. Il vettore di Runge-Lenz è stato effettivamente riscoperto più volte ed è equivalente al vettore di eccentricità della meccanica celeste . Diverse generalizzazioni del vettore Runge-Lenz sono state definite per tenere conto della relatività generale , del campo elettromagnetico e di diversi tipi di forze centrali.

Contesto

Una particella che si muove sotto l'effetto di una forza centrale conservativa ha almeno quattro costanti del moto: l' energia totale, e le tre componenti del vettore momento angolare L . La traiettoria della particella è contenuta in un piano definito dalla sua quantità di moto iniziale p (o equivalentemente dalla sua velocità v ) e dal raggio-vettore r tra la particella e il centro di forza (vedi sotto la Figura 1).

Come definito di seguito (vedi Definizioni matematiche ), il vettore di Runge-Lenz A è sempre contenuto nel piano della traiettoria per una forza centrale. Tuttavia A è costante solo per una forza centrale nel quadrato inverso. Per molte forze questo vettore A non è costante ma cambia nella norma e nella direzione; se il campo di forza centrale segue approssimativamente una legge del quadrato inverso, il vettore A è approssimativamente costante nella norma ma ruota lentamente in direzione. Un vettore di Runge-Lenz generalizzato conservante può essere definito per tutte le forze centrali, ma il vettore è quindi una funzione complicata della posizione e generalmente non è esprimibile analiticamente. ${\ mathcal {A}}$

Il piano della traiettoria è perpendicolare al vettore del momento angolare L che è costante; questo può essere espresso dal prodotto scalare r · L = 0; allo stesso modo, essendo A contenuto in questo piano: A · L = 0.

Storia delle riscoperte

Il vettore di Runge-Lenz A è una costante di moto del problema di Keplero, utile per descrivere orbite astronomiche, come il moto dei pianeti . Tuttavia, il suo uso non è mai stato molto diffuso tra i fisici forse perché è meno intuitivo del momento o del momento angolare . Questo è il motivo per cui è stato riscoperto più volte negli ultimi tre secoli. Jakob Hermann è stato il primo a dimostrare che A è conservato nel caso particolare delle forze quadrate inverse centrali, e ha lavorato sulle sue connessioni con l' eccentricità orbitale nel caso degli orbitali ellittici . Il lavoro di Hermann sono diffusi nella loro forma moderna da Johann Bernoulli nel 1710. Alla fine del XVIII ° secolo, Pierre-Simon Laplace riscoperto la conservazione di A , ottenendo analiticamente, piuttosto che geometricamente. Verso la metà del XIX ° secolo, William Rowan Hamilton determina il vettore eccentricità, che è equivalente, ed è usato per dimostrare che il vettore momento p descrive un cerchio per il movimento effettuato sotto una forza centrale in quadrato (Figura 3). Agli inizi del XX ° secolo, Josiah Willard Gibbs è lo stesso vettore per analisi vettoriale . Metodo di Gibbs' viene citato come esempio da Carl Runge in un libro tedesco su vettori che è stato riferito da Wilhelm Lenz nel suo articolo su quantum elaborazione del atomo di idrogeno . Nel 1926, il vettore fu usato da Wolfgang Pauli per determinare lo spettro dell'idrogeno usando la meccanica delle matrici e non l'equazione di Schrödinger ; dopo l'articolo di Pauli inizia a essere conosciuto come il vettore Runge - Lenz .

Definizioni matematiche

Per una singola particella messa in moto da una forza centrale nel quadrato inverso della distanza descritta dall'equazione , il vettore di Runge-Lenz A è definito matematicamente dalla formula ${\ mathbf {F}} (r) = {\ frac {-k} {r ^ {{2}}}} {\ mathbf {{\ hat {r}}}}$

{\ mathbf {A}} = {\ mathbf {p}} \ wedge {\ mathbf {L}} - mk {\ mathbf {{\ hat {r}}}}

$m \! \,$ è la massa della particella puntiforme che si muove sotto l'effetto della forza centrale ,
${\ mathbf {p}} \! \,$ è il vettore della quantità di moto ,
${\ mathbf {L}} = {\ mathbf {r}} \ wedge {\ mathbf {p}} \! \,$ è il suo vettore di momento angolare ,
$K \! \,$ è un parametro che descrive l'intensità della forza,
${\ mathbf {r}} \! \,$ è il vettore di posizione della particella (Figura 1) e
${\ mathbf {{\ hat {r}}}} \! \,$ è il vettore unitario corrispondente, cioè, dove r è la norma di r . ${\ mathbf {{\ hat {r}}}} = {\ frac {{\ mathbf {r}}} {r}}$

Poiché si presume che la forza sia conservativa , l' energia totale E è una costante del movimento :

E = {\ frac {p ^ {{2}}} {2m}} - {\ frac {k} {r}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {{2}} - {\ frac {k} {r}}

Inoltre, essendo la forza centrale, anche il momento angolare L è costante e definisce il piano in cui si muove la particella. Il vettore Runge-Lenz è perpendicolare a L come p ∧ L e R sono perpendicolari L . Ne consegue che un è contenuto nel piano della dell'orbita .

Questa definizione di A è applicabile per una particella a punto singolo di massa m che si muove sotto l'effetto di una data forza. Tuttavia, la stessa definizione può essere estesa al problema dei due corpi , come il problema di Keplero, prendendo per m la massa ridotta dei due corpi e per r il vettore tra i due corpi.

È anche possibile un'alternativa per la stessa costante di movimento. Il più comune è dividere per per definire il vettore di eccentricità $mk$

{\ displaystyle \ mathbf {e} = {\ frac {\ mathbf {A}} {mk}} = {\ frac {1} {mk}} (\ mathbf {p} \ wedge \ mathbf {L}) - \ mathbf {\ hat {r}}}

Ottenere l'orbita di Keplero

La forma e l'orientamento delle orbite nel problema dei due corpi di Keplero possono essere determinati dal vettore di Runge-Lenz come segue. Il prodotto scalare di A per il vettore di posizione r dà l'equazione

{\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {r} = Ar \ cos \ theta = \ mathbf {r} \ cdot \ left (\ mathbf {p} \ wedge \ mathbf {L} \ right) -mkr}

dove θ è l'angolo tra r e A (Figura 2). Scambiando il prodotto misto

{\ Displaystyle \ mathbf {r} \ cdot \ left (\ mathbf {p} \ wedge \ mathbf {L} \ right) = \ left (\ mathbf {r} \ wedge \ mathbf {p} \ right) \ cdot \ mathbf {L} = \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {L} = L ^ {2}}

e un riarrangiamento porta alla formula per definire una conica

{\ displaystyle {\ frac {1} {r}} = {\ frac {mk} {L ^ {2}}} \ left (1 + {\ frac {A} {mk}} \ cos \ theta \ right) }

di eccentricità $e \! \,$

{\ displaystyle e = {\ frac {A} {mk}} = {\ frac {\ left | \ mathbf {A} \ right |} {mk}}}

e il parametro p

{\ displaystyle \ left | p \ right | = {\ frac {L ^ {2}} {mk}}}

Il semi- asse maggiore una della conica può essere ottenuta dal parametro e l'eccentricità

{\ displaystyle a \ left (1 \ pm e ^ {2} \ right) = p = {\ frac {L ^ {2}} {mk}}}

dove il segno meno denota un'ellisse e il segno più un'iperbole .

La norma di A porta a un'equazione che coinvolge l'energia E

{\ displaystyle A ^ {2} = m ^ {2} k ^ {2} + 2mEL ^ {2} \,}

cosa può essere riscritto in termini di eccentricità

{\ displaystyle e ^ {2} -1 = {\ frac {2L ^ {2}} {mk ^ {2}}} E}

Quindi se l'energia è negativa (stato vincolato) l'eccentricità è inferiore a uno e l'orbita è un'ellisse. Se l'energia è positiva (stato libero o stato di diffusione), l'eccentricità è maggiore di uno e l'orbita è un'iperbole. Infine, se l'energia è esattamente uguale a zero l'orbita è una parabola (eccentricità uguale a 1). In tutti i casi A è collineare con l'asse di simmetria della conica ed è diretta dal centro di forza verso il periapside , punto di avvicinamento più breve.

Odografi circolari della quantità di moto

La conservazione del vettore di Runge-Lenz A e del vettore del momento angolare L è utile per mostrare che il vettore p si muove su un cerchio in un moto di forza centrale secondo una legge del quadrato inverso . Il prodotto incrociato di A e L porta a un'equazione per p

{\ displaystyle L ^ {2} \ mathbf {p} = \ mathbf {L} \ wedge \ mathbf {A} -mk {\ hat {\ mathbf {r}}} \ wedge \ mathbf {L}}

Prendendo L lungo l'asse z e l'asse maggiore lungo l'asse x otteniamo l'equazione:

{\ displaystyle p_ {x} ^ {2} + \ sinistra (p_ {y} -A / L \ destra) ^ {2} = \ sinistra (mk / L \ destra) ^ {2}}

In altre parole, il vettore di quantità di moto p descrive un cerchio di raggio mk / L centrato su (0, A / L ). L'eccentricità e corrisponde al coseno dell'angolo η visto in figura 3. Interessante anche introdurre la variabile . Questo odografo circolare illustra la simmetria del problema di Keplero. $p _ {{0}} = {\ sqrt {2m \ sinistra | E \ destra |}}$

Costanti di moto e superintegrabilità

Le sette quantità scalari E , A e L (essendo vettori, le ultime due contano come tre quantità conservate ciascuna) sono collegate da due equazioni A · L = 0 e A 2 = m 2 k 2 + 2 m EL 2 , che lascia 5 costanti di movimento indipendenti. Ciò è coerente con le sei condizioni iniziali del sistema (la posizione iniziale e il vettore di velocità iniziale aventi ciascuno tre componenti) che determinano l'orbita della particella poiché la data iniziale non può essere determinata da una costante di movimento. Poiché la norma di A (e quindi l'eccentricità e dell'orbita) può essere determinata dal momento angolare L e dall'energia E , solo la direzione di A è preservata indipendentemente; inoltre, poiché A deve essere ortogonale a L , fornisce infatti una sola costante di moto.

Un sistema meccanico con d gradi di libertà può avere un massimo di 2 d - 1 costanti di movimento indipendenti, poiché ci sono 2 d condizioni iniziali e la data iniziale non può essere determinata da una costante di movimento. Un sistema che ha più di d costanti di movimento è chiamato superintegrabile e un sistema con 2 d - 1 costanti si dice che sia massimamente superintegrabile .

Poiché l' equazione di Hamilton-Jacobi in un sistema di coordinate porta solo a d costanti di moto, i sistemi integrabili sono separabili in più di un sistema di coordinate Il problema di Keplero è massimamente superintegrabile poiché ha 3 gradi di libertà e 5 costanti di movimento indipendenti; la sua equazione di Hamilton-Jacobi è separabile in coordinate sia sferiche che paraboliche . I sistemi massimamente superintegrabili portano a orbite unidimensionali chiuse nello spazio delle fasi, poiché l'orbita è l'intersezione delle iso-superfici delle loro costanti di movimento nello spazio delle fasi. Questi sistemi possono essere quantizzati canonicamente utilizzando solo relazioni di commutazione come spiegato di seguito .

Evoluzione in potenziali disturbati

Il vettore di Runge-Lenz A è mantenuto solo per una forza centrale secondo la legge strettamente dell'inverso del quadrato. Nella maggior parte dei problemi pratici come i movimenti dei pianeti, l'energia potenziale di interazione tra due corpi non segue rigorosamente tale legge e può includere un termine additivo, chiamato potenziale di perturbazione h ( r ). In tali casi il vettore Runge-Lenz ruota lentamente nel piano dell'orbita, che corrisponde ad una lenta precessione del periastrone dell'orbita. Per ipotesi, il potenziale di disturbo h ( r ) è conservativo e centrale, il che implica che l'energia totale E e il vettore del momento angolare L siano conservati. Di conseguenza il moto rimane contenuto in un piano perpendicolare ad L e la norma di A è preservata secondo l'equazione A 2 = m 2 k 2 +2 mEL 2 . Il potenziale di perturbazione h ( r ) può essere qualsiasi funzione ma deve essere significativamente inferiore al potenziale derivante dalla forza quadrata inversa tra i due corpi.

La velocità di rotazione del vettore Runge-Lenz fornisce informazioni sul potenziale di perturbazione h (r) . Usando la teoria delle perturbazioni canoniche e le coordinate dell'angolo di azione, si ottiene immediatamente che A ruota alla velocità

{\ begin {array} {rcl} {\ frac {\ partial} {\ partial L}} \ langle h (r) \ rangle & = & \ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial L}} \ left \ {{\ frac {1} {T}} \ int _ {{0}} ^ {{T}} h (r) \, dt \ right \} \\ [1em] & = & \ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial L}} \ left \ {{\ frac {m} {L ^ {{2}}}} \ int _ {{0}} ^ {{2 \ pi}} r ^ {{ 2}} h (r) \, d \ theta \ right \}. \ End {array}}

dove T è il periodo orbitale e in cui l'identità L dt = m r 2 d θ è stata utilizzata per convertire l'integrale temporale in integrale angolare (Figura 5). L'espressione tra parentesi quadre, 〈h ( r )〉, rappresenta la media su un periodo del potenziale di perturbazione, cioè la media della particella che descrive completamente una volta la sua orbita. Matematicamente la media temporale, che è l'ampiezza in parentesi graffe, elimina le fluttuazioni nel tasso di turnover.

Questo approccio è stato utilizzato per consentire la verifica della teoria di Einstein della relatività generale , che aggiunge un termine di disturbo cubico al potenziale gravitazionale newtoniano

{\ displaystyle h (r) = {\ frac {kL ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}}} \ left ({\ frac {1} {r ^ {3}}} \ right )}

Iniettando questa funzione nell'integrale e utilizzando l'equazione

{\ displaystyle {\ frac {1} {r}} = {\ frac {mk} {L ^ {2}}} \ left (1 + {\ frac {A} {mk}} \ cos \ theta \ right) }

per esprimere r in funzione di θ, la precessione del periastrone dovuta a disturbi non newtoniani è

{\ displaystyle {\ frac {6 \ pi k ^ {2}} {TL ^ {2} c ^ {2}}}}

che corrisponde strettamente all'anomalia osservata della precessione di Mercurio e delle pulsar binarie . Questo accordo con l'esperienza è considerato una prova importante della validità della relatività generale .

Ami da pesca

Le tre componenti L i del vettore del momento angolare L hanno parentesi di Poisson

{\ displaystyle \ left \ {L_ {i}, L_ {j} \ right \} = \ sum _ {s = 1} ^ {3} \ epsilon _ {ijs} L_ {s}}

dove i = 1,2,3 e ε ijs è il simbolo Levi-Civita ; l'indice di somma s viene qui utilizzato per evitare ambiguità con il parametro k della forza visto sopra.

Come spiegato di seguito, un'altra scala del vettore Runge-Lenz, D , può essere definita nella stessa unità del momento angolare dividendo A per p 0 . La parentesi di Poisson di D con il vettore del momento angolare L può essere in una forma simile

{\ displaystyle \ left \ {D_ {i}, L_ {j} \ right \} = \ sum _ {s = 1} ^ {3} \ epsilon _ {ijs} D_ {s}}

Il gancio di pesci di D con la stessa dipende dal segno di E . Per energie negative (sistemi collegati di traiettoria chiusa, ellittica se la forza segue una legge del quadrato inverso) la parentesi di Poisson è:

{\ displaystyle \ left \ {D_ {i}, D_ {j} \ right \} = \ sum _ {s = 1} ^ {3} \ epsilon _ {ijs} L_ {s}}

mentre per un'energia positiva (sistemi liberi di traiettoria aperta, iperbolica se la forza è al quadrato inverso della distanza) il gancio ha segno opposto

{\ displaystyle \ left \ {D_ {i}, D_ {j} \ right \} = - \ sum _ {s = 1} ^ {3} \ epsilon _ {ijs} L_ {s}}

Gli operatori Casimir per le energie negative sono definiti da

{\ displaystyle C_ {1} = \ mathbf {D} \ cdot \ mathbf {D} + \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {L} = {\ frac {mk ^ {2}} {2 \ left | E \ right |}}}

{\ displaystyle C_ {2} = \ mathbf {D} \ cdot \ mathbf {L} = 0}

e hanno zero parentesi di Poisson con tutte le componenti di D e L

{\ displaystyle \ left \ {C_ {1}, L_ {i} \ right \} = \ left \ {C_ {1}, D_ {i} \ right \} = \ left \ {C_ {2}, L_ { i} \ right \} = \ left \ {C_ {2}, D_ {i} \ right \} = 0}

C 2 è ovviamente zero, poiché i due vettori sono sempre perpendicolari. Tuttavia l'altra invariante C 1 non è banale e dipende solo m , k e E . Questa invariante fornisce i livelli di energia dell'idrogeno utilizzando solo le relazioni di commutazione della meccanica quantistica invece del metodo più comune basato sull'equazione di Schrödinger .

Meccanica quantistica dell'atomo di idrogeno

Le parentesi di Poisson forniscono un semplice metodo di quantizzazione canonica di un sistema meccanico; la relazione di commutazione di due operatori quantistici è uguale alla parentesi di Poisson delle corrispondenti variabili classiche moltiplicate per . Effettuando il calcolo di questa quantificazione e determinando gli autovalori dell'operatore di Casimir del problema di Keplero, Wolfgang Pauli ha ottenuto lo spettro energetico degli atomi idrogenoidi (Figura 6) e quindi il loro spettro di emissione atomica Questo elegante risultato è stato ottenuto prima dello sviluppo di meccanica delle onde . $i \ hbar$ $C _ {{1}}$

Una sottigliezza dell'operatore quantistico associato al vettore di Runge-Lenz A è che gli operatori del momento e del momento angolare non commutano; il prodotto vettoriale di p e L deve quindi essere definito con cura. Generalmente, gli operatori per i componenti cartesiani A s sono definiti utilizzando un prodotto simmetrico:

{\ displaystyle A_ {s} = - mk {\ hat {r}} _ {s} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ epsilon _ {sij} \ left (p_ {i} l_ {j} + l_ {j} p_ {i} \ right)}

da cui è possibile definire i corrispondenti operatori di scala

{\ displaystyle J_ {0} = A_ {3} \,}

{\ displaystyle J _ {\ pm 1} = \ mp {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left (A_ {1} \ pm iA_ {2} \ right)}

Allo stesso modo è possibile definire un primo operatore Casimir normalizzato

{\ displaystyle C_ {1} = - {\ frac {mk ^ {2}} {2 \ hbar ^ {2}}} H ^ {- 1} -I}

dove H −1 è l'inverso dell'operatore energetico hamiltoniano e I è l' operatore di identità . Applicando questo operatore agli autostati degli operatori momento angolare totale, momento angolare azimutale ed energia, gli autovalori del primo operatore di Casimir C 1 sono n 2 - 1; sono indipendenti dai numeri quantici l e m , facendo degenerare gli stati energetici . Gli stati energetici sono dati da $\ left | lmn \ right. \ rangle$

{\ displaystyle E_ {n} = - {\ frac {mk ^ {2}} {2 \ hbar ^ {2} n ^ {2}}}}

che è equivalente alla formula di Rydberg per gli atomi di idrogeno (Figura 6).

Conservazione e simmetria

La conservazione del vettore Runge-Lenz corrisponde a una sottile simmetria del sistema. Nella meccanica classica le simmetrie sono operazioni continue che permettono di passare da un'orbita all'altra senza modificare l'energia del sistema; nella meccanica quantistica, le simmetrie sono operazioni continue che mescolano orbitali atomici della stessa energia, vale a dire che provocano la degenerazione dei livelli di energia. Una quantità conservante è generalmente associata a tali simmetrie. Ad esempio qualsiasi forza centrale è simmetrica con il gruppo di rotazioni SO (3) , che porta alla conservazione del momento angolare L . Convenzionalmente, una rotazione completa del sistema non modifica l'energia dell'orbita; quanticamente, le rotazioni combinano armoniche sferiche dello stesso numero quantico l senza cambiare l'energia.

La simmetria di una forza centrale che segue una legge del quadrato inverso è più alta e più complicata. La particolare simmetria del problema di Keplero deriva dalla conservazione simultanea del momento angolare L e del vettore di Runge-Lenz A (come definito sopra ) e, in meccanica quantistica, assicura che i livelli di energia dell'atomo d 'idrogeno non dipendono da i numeri quantici l ed m . La simmetria è comunque più sottile perché avviene in uno spazio dimensionale superiore; tali simmetrie sono talvolta chiamate "simmetrie nascoste".

Classicamente l'elevata simmetria del problema di Keplero consente un continuo disturbo delle orbite conservando l'energia ma non il momento angolare; in altre parole, orbite della stessa energia ma di differenti momenti angolari (e quindi di differenti eccentricità) possono essere continuamente trasformate l'una nell'altra. In un modo quantistico, ciò consiste nel creare una combinazione di orbitali che differiscono per i loro numeri quantici l e m come gli orbitali atomici s ( l = 0) ep ( l = 1) per esempio. Tali combinazioni non possono essere fatte considerando le consuete rotazioni e traslazioni tridimensionali, ma corrispondono ad una rotazione in uno spazio di dimensione maggiore.

Per le energie negative, cioè i sistemi collegati, il gruppo di simmetria più alto del sistema è SO (4) , che conserva la lunghezza nello spazio quadridimensionale

\ left | {\ mathbf {e}} \ right | ^ {{2}} = e _ {{1}} ^ {{2}} + e _ {{2}} ^ {{2}} + e _ {{3}} ^ {{2}} + E _ {{4}} ^ {{2}}

Nel 1935, Vladimir Fock mostra che il problema di Keplero di un sistema quantistico legato è equivalente al problema di una particella libera che si muove su una 3-sfera in uno spazio quadridimensionale. Più precisamente Fock mostra che l'equazione di Schrödinger delle funzioni d' onda nello spazio del momento è la proiezione stereografica di armoniche sferiche sulla sfera.

Note e riferimenti

Riferimenti

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Appunti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Vettore di Laplace-Runge-Lenz " ( vedere l'elenco degli autori ) .

Vedi anche

Link esterno

Dimostrazione delle leggi di Keplero e delle proprietà di un'ellisse , corso di meccanica di Bernard Gisin (sito personale)