Seconda quantizzazione

La seconda quantizzazione , chiamata anche quantizzazione canonica , è un metodo di quantizzazione di campo introdotto da Dirac nel 1927 per l'elettrodinamica quantistica . Consiste nel partire da un campo classico come il campo elettromagnetico , considerarlo come un sistema fisico e sostituire le quantità classiche $( E , B ) che$ descrivono lo stato del campo con uno stato quantistico e osservabili della fisica quantistica . Arriviamo naturalmente alla conclusione che l'energia del campo è quantizzata, ogni quanto rappresenta una particella .

La seconda quantificazione fu così battezzata da Fock e Jordan nel 1932. La seconda quantizzazione coinvolge esplicitamente gli operatori e , che permettono rispettivamente di distruggere e creare un quanto di energia. ${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ vec {k}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ vec {k}} ^ {\ dagger}}$

Esempio di campo scalare reale

Per semplificare le notazioni, ci interessa innanzitutto un campo scalare reale. Si potrebbe ad esempio pensare al campo di pressione $P (r, t)$ in un gas, ma questo campo non è fondamentale, poiché suppone l'esistenza di altre particelle e non può esistere nel vuoto. L'unico campo studiato nella fisica classica che può propagarsi nel vuoto è il campo elettromagnetico , che è un campo tensore . Possiamo comunque costruire un campo scalare che si propaga nel vuoto considerando la funzione d' onda di una particella relativistica come un campo.

Prima quantificazione

L'equazione relativistica che dà l'energia della particella di massa e la carica elettrica nulla in funzione della sua quantità di moto è scritta: $E$ $m$ ${\ vec p}$

{\ displaystyle E ^ {2} \ = \ p ^ {2} \, c ^ {2} \ + \ m ^ {2} \, c ^ {4}}

Applicando prima le regole della quantizzazione canonica dalla meccanica quantistica , otteniamo l' equazione di Klein-Gordon per la funzione d'onda : ${\ displaystyle \ Phi ({\ vec {r}}, t)}$

{\ displaystyle - \ \ hbar ^ {2} \ {\ frac {{\ partial} ^ {2} \ Phi ({\ vec {r}}, t)} {{\ partial} t ^ {2}}} \ = \ - \ \ hbar ^ {2} \, c ^ {2} \ \ Delta \ \ Phi ({\ vec {r}}, t) \ + \ m ^ {2} \, c ^ {4} \ \ Phi ({\ vec {r}}, t)}

Questa equazione viene riscritta come segue:

{\ displaystyle \ left (\ \ Box \ + \ {\ frac {m ^ {2} \, c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ \ right) \ \ Phi ({\ vec { r}}, t) \ = \ 0}

dove rappresenta l'operatore Alembertiano : ${\ displaystyle \ Box}$

{\ displaystyle \ Box \ = \ {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ {\ frac {{\ partial} ^ {2} ~~} {{\ partial} t ^ {2}}} \ - \ \ Delta.}

Se fino ad ora abbiamo considerato quella era la funzione d'onda della particella, possiamo anche considerarla come un vero e proprio campo scalare che si propaga nel vuoto, essendo l'equazione di Klein-Gordon la sua equazione di propagazione. $\ Phi$

Sviluppo di Fourier

Supponiamo per semplicità che la particella sia confinata in una grande scatola di volume finito. Il campo scalare ammette quindi uno sviluppo nella serie di Fourier . Nota: $V$ ${\ displaystyle \ Phi ({\ vec {r}}, t)}$

$\omega$ la variabile abbinata al tempo : è la pulsazione . $t$ $\omega$
${\ vec k}$ il vettore coniugato alla posizione : è il vettore d'onda . $\ vec r$ ${\ vec k}$

I modi eigen sono gli esponenziali:

{\ displaystyle f ({\ vec {r}}, t) \ = \ f_ {0} \ \ mathrm {e} ^ {- \, \ mathrm {i} \, \ omega t \, + \, \ mathrm {i} \, {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}}}}

che soddisfano l'equazione di Klein-Gordon:

{\ displaystyle \ left (\ \ Box \ + \ {\ frac {m ^ {2} \, c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ \ right) \, f ({\ vec { r}}, t) \ = \ 0 \ quad \ Longrightarrow \ quad \ left (\ - \ {\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} \, + \, k ^ {2 } \, + \, {\ frac {m ^ {2} \, c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ \ right) \, f ({\ vec {r}}, t) \ = \ 0}

Dobbiamo quindi avere la relazione di dispersione :

{\ displaystyle {\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} \ = \ k ^ {2} \, + \, {\ frac {m ^ {2} \, c ^ {2 }} {\ hbar ^ {2}}}}

Quindi, se si prende un vettore d'onda , gli corrispondono due autovetture di rispettive pulsazioni: ${\ vec k}$

{\ displaystyle \ omega _ {\ pm} (k) \ = \ \ pm \ {\ sqrt {\ c ^ {2} \, k ^ {2} \, + \, {\ frac {m ^ {2} \, c ^ {4}} {\ hbar ^ {2}}} \}}}

L'espansione in serie di Fourier del campo scalare può quindi essere scritta come una somma su tutti i possibili vettori d'onda: ${\ displaystyle \ Phi ({\ vec {r}}, t)}$

{\ Displaystyle \ Phi \ sinistra ({\ vec {r}}, t \ destra) = \ sum _ {\ vec {k}} \ sinistra [A _ {+} ({\ vec {k}}) \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} \ omega _ {+} ({\ vec {k}}) t} + A _ {-} ({\ vec {k}}) \ mathrm {e} ^ { - \ mathrm {i} \ omega _ {-} ({\ vec {k}}) t} \ right] \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} {\ vec {k}}. {\ vec { r}}} + cc,}

dove indica il complesso coniugato . ${\ displaystyle cc}$

Seconda quantizzazione

La seconda procedura di quantizzazione consiste nel sostituire i coefficienti complessi dei modi di Fourier di espansione del campo scalare con operatori astratti:

${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ vec {k}}}$ , chiamato operatore di annichilazione di un quanto di impulso . ${\ displaystyle \ hbar {\ vec {k}}}$
${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ vec {k}} ^ {\ dagger}}$ , chiamato operatore di creazione di un quanto di impulso . ${\ displaystyle \ hbar {\ vec {k}}}$

Questi operatori obbediscono per definizione alla regola di commutazione canonica:

{\ displaystyle \ left [\ {\ hat {a}} _ {\ vec {k '}}, \ {\ hat {a}} _ {\ vec {k}} ^ {\ dagger} \ \ right] \ = \ \ delta _ {{\ vec {k}}, {\ vec {k '}}} \ {\ hat {1}}.}

Il campo scalare di spin zero è quindi un campo bosonico.

Il secondo formalismo di quantizzazione è strettamente correlato alla teoria del problema degli N-corpi . Se consideriamo un insieme di N sistemi quantistici (come atomi o particelle), ciascuno di questi sistemi ha uno spettro di energia, cioè ciascuno di questi sistemi può trovarsi in un certo stato quantistico di una data energia. La teoria quantistica del problema degli N-corpi funziona in uno spazio vettoriale:

${\ displaystyle H ^ {N} = {\ mathcal {H}} \ bigotimes ... \ bigotimes {\ mathcal {H}}}$

che è uno spazio di Hilbert uguale al prodotto incrociato di N spazi di Hilbert, ciascuno di questi spazi caratterizza uno degli N sistemi quantistici. Se assumiamo che l'intero sistema sia caratterizzato dal fatto che la particella etichettata i è attualmente nello stato quantistico del livello di energia , allora l'intero sistema può essere rappresentato dallo stato quantistico: $o$

${\ displaystyle | n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}, ... \ rangle = \ prod _ {i} {\ frac {1} {(n_ {i}!) ^ {\ tfrac { 1} {2}}}} (a_ {i} ^ {\ dagger}) ^ {\ alpha} | 0 \ rangle}$ con ${\ displaystyle \ alpha = n_ {i}}$

dove rappresenta lo stato fondamentale del sistema (questo stato è anche chiamato stato del vuoto, nel contesto del problema degli N-corpi) Il secondo formalismo di quantizzazione implica quindi che se applichiamo più volte l'operatore di creazione allo stato fondamentale del sistema , si ottiene finalmente uno stato eccitato in cui ogni corpo (quindi ciascuno degli N singoli sottosistemi) sarà nel corrispondente stato energetico . $| 0 \ rangle$ $| 0 \ rangle$ $o$

Applicazioni della seconda quantificazione

Se consideriamo come un sistema di N corpi un insieme di elettroni situati all'interno di un reticolo cristallino, il secondo formalismo di quantizzazione ci permette di scrivere chiaramente l'Hamiltoniano che descrive questo sistema. Questo hamiltoniano può quindi essere scritto:

${\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ hat {H_ {0}}} + {\ hat {V_ {e}}}}$ , o :

${\ displaystyle {\ hat {H_ {0}}} = \ int d ^ {d} ra _ {\ sigma} ^ {\ dagger} ({\ overrightarrow {r}}) \ left [{\ frac {{\ cappello {\ overrightarrow {p}}} ^ {2}} {2m}} + V ({\ overrightarrow {r}}) \ right] a _ {\ sigma} ({\ overrightarrow {r}})}$ è l'Hamiltoniano che descrive gli elettroni (supponendo che siano liberi, ignorando quindi le interazioni tra gli elettroni)

${\ displaystyle {\ hat {V}} _ {e} = {\ frac {1} {2}} \ int d ^ {d} r \ int d ^ {d} r'V_ {e} ({\ overrightarrow {r}} - {\ overrightarrow {r '}}) a _ {\ sigma} ^ {\ dagger} ({\ overrightarrow {r}}) a _ {\ delta} ^ {\ dagger} ({\ overrightarrow { r '}}) a _ {\ delta} ({\ overrightarrow {r'}}) a _ {\ sigma} ({\ overrightarrow {r}})}$ è il termine che descrive l'interazione di Coulomb tra due elettroni (situati in posizioni e rispettivamente ), ed è la polarizzazione di spin di un elettrone, è la polarizzazione di spin dell'elettrone con cui interagisce il primo elettrone, e il termine è l'energia potenziale dovuta al reticolo cristallino. ${\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {r '}}}$ $\ sigma$ $\delta$ ${\ displaystyle V ({\ overrightarrow {r}})}$

Note e riferimenti

Se il volume della scatola è infinito, la trasformata di Fourier deve essere utilizzato al posto della serie di Fourier. $V$
È necessario imporre una condizione al contorno sul bordo del volume finito . È questa condizione al contorno che causerà la discretizzazione dei possibili vettori d'onda. Se si prende ad esempio periodiche condizioni al contorno per un parallelepipedo di volume : questa quantificazione sarà scritto in modo esplicito: dove i numeri interi . ${\ displaystyle \ partial V}$ $V$ ${\ displaystyle V = L_ {x} L_ {y} L_ {z}}$ ${\ displaystyle k_ {i} \ = \ {\ frac {2 \, \ pi \, n_ {i}} {L_ {i}}}}$ ${\ displaystyle n_ {i} \ \ in \ \ mathbb {Z}}$
(en) Alexander Altland e Ben Simons, Materia Condensata Teoria dei Campi , Cambridge,2010, 770 p. ( ISBN 978-0-521-76975-4 e 0-521-76975-2 , leggi online ) , p. 44

Bibliografia

Lev Landau e Evgueni Lifchits , Theoretical Physics , t. 3: Meccanica quantistica [ dettaglio delle edizioni ]
Lev Landau e Evgueni Lifchits , Theoretical Physics , t. 4: Elettrodinamica quantistica [ dettaglio delle edizioni ]
Albert Messiah , Quantum Mechanics [ dettaglio delle edizioni ], volume 2
(en) LI Schiff (de) , Meccanica quantistica , John Wiley & Sons