Forza centrale

Nella meccanica classica del punto materiale, si dice che un campo di forza sia un campo di forza centrale , del centro O se soddisfa . Il supporto della forza passa attraverso il centro fisso O. F→(M){\ displaystyle {\ vec {F}} (M) \,}F→=Fer→{\ displaystyle {\ vec {F}} = F {\ vec {e_ {r}}}}F→{\ displaystyle {\ vec {F}} \,}

• Se la forza centrale è conservativa, deriva da un'energia potenziale (scalare), annotata . Spesso la costante viene scelta convenzionalmente, se possibile, in modo tale .U(M)=U(r)=-∫0rF(r).dr+vste{\ displaystyle U (M) = U (r) = - \ int _ {0} ^ {r} F (r) .dr + c ^ {te}}U(r=∞)=0{\ displaystyle U (r = \ infty) = 0}

• Lo studio del moto della forza centrale è stato uno dei primi problemi meccanici risolti da Newton .

La forza lineare di Hooke

Robert Hooke (1635-1703) nella sua corrispondenza del novembre e dicembre 1679 con Isaac Newton, ha dichiarato la legge di questo campo di forza centripeto.

F→(M)=-K⋅OM→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} (M) = - k \ cdot {\ overrightarrow {OM}}}

Si dice che il coefficiente k sia la costante di ritorno della molla (o anche: rigidità della molla); k è espresso in N / m.

• L'energia potenziale associata è convenzionalmente considerata uguale a .U(M)=12⋅K⋅r2{\ displaystyle U (M) = {\ frac {1} {2}} \ cdot k \ cdot r ^ {2} \,}

• nota: Hooke ha considerato il movimento del pendolo sferico per oscillazioni molto piccole, come dovuto al movimento della piccola massa sotto l'azione di un campo centrale con , l essendo il raggio della sfera.-K⋅OM→{\ displaystyle -k \ cdot {\ overrightarrow {OM}}}K=m⋅gl{\ displaystyle k = {\ frac {m \ cdot g} {l}} \,}

Ha così generalizzato il lavoro di Galileo sul pendolo semplice ( 1601 ). L'osservazione è molto facile perché la traiettoria è una semplice ellisse avente per centro il punto O (in Francia si parla dell'ellisse di Lissajous, ma si parla più correttamente dell'ellisse di Galileo-Hooke).

Nota: se le oscillazioni non sono molto piccole, è il pendolo sferico , molto più difficile da studiare. Nota: come aneddoto, per tutto l'inverno del 1679/1680, Robert Hooke aveva avviato una corrispondenza con Newton. Da questa corrispondenza nacque nel 1684 il manoscritto " di Motu corporum gyrum ", che si può assimilare al germe di " Principia ". Si noti che Newton non ha fatto menzione della sua "collaborazione" con R. Hooke. In un manoscritto del 1685, Robert Hooke propose un metodo di calcolo delle orbite che applicò con successo al calcolo del movimento di un pendolo conico (figura di sette manoscritti del Trinity College del 1685)

Il campo newtoniano

Isaac Newton dimostrò nel 1685 il cosiddetto teorema di Newton-Gauss (vedi il teorema di Gauss applicato all'elettrostatica ):

la legge universale di attrazione gravitazionale tra una stella sferica, di centro O, di massa M e di raggio R, su un piccolo punto di massa m situato in P , esterno alla sfera (quindi r = OP> R) è ridotta al semplice centrale forza . -G⋅M⋅mr2⋅u→r{\ displaystyle - {\ frac {G \ cdot M \ cdot m} {r ^ {2}}} \ cdot {\ vec {u}} _ {r} \,}

• Il campo newtoniano ha per energia potenziale, (a cui è necessario aggiungere una costante, spesso scelta come zero per convenzione).U(r)=-G⋅M⋅mr{\ displaystyle U (r) = - {\ frac {G \ cdot M \ cdot m} {r}} \,}

• Il movimento dei pianeti, sotto l'azione del campo Newtoniano del Sole, dove si trova la costante gaussiana, conosciuta con notevole precisione (10 cifre significative), è quello descritto dalle leggi di Keplero , dimostrato nel 1684 da Newton nel “De Motu ”, Che fu riscritto, (non appena Newton fu chiaramente a conoscenza del teorema di Newton-Gauss attraverso la legge universale di gravitazione ), in un trattato: i Principia (1687) (vedi Dimostrazione delle leggi di Keplero ).-Kr2{\ displaystyle - {\ frac {k} {r ^ {2}}} \,}K=G⋅MS{\ displaystyle k = G \ cdot M_ {S} \,}

• Il movimento dei satelliti terrestri (compresa la Luna) è inteso allo stesso modo.

Grazie a questo teorema, Newton riunì i due mondi: meccanica terrestre e meccanica celeste, come ipotizzò Galileo nei suoi Dialoghi (1632).

• Lo studio generale del campo newtoniano è oggetto, nelle scienze della Terra, della gravimetria , dell'elettrostatica del campo delle cariche fisse trasportate dagli isolanti, della matematica della teoria del potenziale , argomento molto sviluppato da Henri Poincaré , Ito e Doob .

• Nota sulla seconda velocità cosmica: a livello della Terra . È quindi necessario dare a un proiettile l'energia cinetica iniziale opposta in modo che possa estrarsi dal campo gravitazionale: la velocità corrispondente, dell'ordine di 11,2 km / s , è la seconda velocità cosmica (seconda velocità spaziale) :, indipendente di m (Legge di Galileo: massa inerte e carica di massa gravitazionale sono sempre proporzionali e quindi, se si scelgono le stesse unità, sono identiche. Questa legge, elevata al rango di principio di Equivalenza, sarà il punto d ancoraggio della Teoria della Gravitazione di Einstein Questo Principio deve essere verificato sperimentalmente dal satellite "micron".U(R)=-G⋅M⋅mR{\ displaystyle U (R) = - {\ frac {G \ cdot M \ cdot m} {R}} \,} v=2⋅g×R{\ displaystyle v = {\ sqrt {2 \ cdot g \ times R}} \,}

Teorema di Newton-Gauss

Il teorema di Newton-Gauss è piuttosto notevole e Newton stupì profondamente, che lo considerò una delle sue principali scoperte.

Infatti, si deduce subito che per la Terra, di massa , considerata come sferica, la gravità terrestre g è e che per la Luna, “considerata come una mela” lontana da sessanta raggi terrestri, l'influenza della Terra è (60) 2 = 3600 volte più piccolo: questo calcolo è rimasto famoso, e giustamente, e ha reso famoso Newton. MT{\ displaystyle M_ {T}}G⋅MTR2{\ displaystyle {\ frac {G \ cdot M_ {T}} {R ^ {2}}} \,}

• La mela di Newton  : una famosa citazione apocrifa di Newton è:

Oppure una mela, sopra la mia testa: è attratta a sinistra dall'emisfero terrestre sinistro, di massa M / 2, da una forza difficile da calcolare, diretta verso un punto C1, che non è il baricentro dell'emisfero e simmetricamente è attratto verso destra dall'altro emisfero, di massa M / 2, verso un punto C2. Per simmetria, queste due forze sono composte in una forza diretta verso il centro O della Terra (e la mela cade sulla mia testa), ma è straordinariamente semplice che la legge sia in 1 / OM². Questo aneddoto, l'eredità della fisica (un po 'come Einstein 's E = mc 2 o di Archimede ' Eureka ) è chiamato mela di Newton in tutto il mondo .

• nota sull'a-gravità  : in particolare, questa conseguenza immediata risulta, anch'essa notevole, ma subito compresa da Newton: per un guscio di massa sferica di massa M, di raggio interno , di raggio esterno, la gravità esterna è , ma la gravità interna è assolutamente zero! Qualsiasi oggetto galleggia lì in assenza di gravità (è davvero assenza di gravità e non assenza di gravità ). Il Teorema dell'Avorio generalizza questo straordinario guscio senza peso in ellissoide. Cavendish lo esaminerà in elettrostatica, vedi esperimento sugli emisferi di Cavendish . Jules Verne è stato divertito da questo curioso fenomeno in uno dei suoi 80 romanzi.R1{\ displaystyle R_ {1}}R2{\ displaystyle R_ {2}}-G⋅Mr2{\ displaystyle - {\ frac {G \ cdot M} {r ^ {2}}} \,}

Non importa quanto tu sia vicino alla parete interna dello scafo, la parete vicina attrae tanto quanto il resto dello scafo nella direzione opposta e causa una forza assolutamente nulla, in qualunque modo tu definisca la "chiusura". A dire il vero, questo è il "vero" teorema di Newton-Gauss, il notevole teorema . Perché per l'esterno che il campo sia in 1 / r² fu per Newton un'intuizione chiara fin dal suo ragionamento per similitudine del 1671, sulle ellissi omotetiche di Keplero. Inoltre, Newton, profondamente pio, era anche molto soddisfatto di questo teorema: se il sistema solare era nel guscio interno di un universo sferico, la parte destra dell'universo bilanciava la forza esercitata dalla parte sinistra. Un solo Dio potrebbe governare questo universo: per Newton, spazio e tempo potrebbero essere assoluti sin dall'inizio.

Tuttavia, Galileo, Huygens e molti altri si erano proposti di dimostrare il principio della relatività galileiana . Il lavoro magistrale di Newton soffocerà l' equivalenza delle ipotesi . Anche McLaurin che tenterà di difendere il "principio della barca" di Huygens non sarà seguito (1742). Bisognerà aspettare Fresnel , Michelson , poi Ernst Mach affinché questo principio di relatività trovi un secondo vento.

Campo della legge di potenza

Il campo è questa volta , quindi l'energia potenziale (eccetto n = 1). F(r)=-Krnon{\ displaystyle F (r) = - {\ frac {k} {r ^ {n}}} \,}U(r)=-K(non-1)⋅rnon-1{\ displaystyle U (r) = - {\ frac {k} {(n-1) \ cdot r ^ {n-1}}} \,}

Se n è negativo, generalmente denotiamo con energia potenziale . F(r)=-K⋅rp{\ displaystyle F (r) = - k \ cdot r ^ {p} \,}U(r)=+K⋅rp+1p+1+vste{\ displaystyle U (r) = + {\ frac {k \ cdot r ^ {p + 1}} {p + 1}} + c ^ {te} \,}

Per una forza centripeta, l'energia potenziale è in aumento: diciamo che la particella si muove in un pozzo potenziale .

Dimostriamo che, per n <3,

se il momento angolare (costante) non è zero, L→=m⋅OM→∧V→{\ displaystyle {\ vec {L}} = m \ cdot {\ overrightarrow {OM}} \ wedge {\ vec {V}} \,}

la traiettoria rimane bloccata tra un cerchio pericentrico e un cerchio apocentrico, denso nella corona salvo condizioni iniziali poco plausibili dal punto di vista fisico.

I due casi eccezionali sono quelli sopra citati: n = 2 (Newton) ep = 1 (Hooke): questo è il teorema di Bertrand , perché c'è la degenerazione: il periodo radiale è multiplo del periodo angolare. (vedi Movimento con forza centrale ).

Vedi anche

• Movimento della forza centrale

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