Problema a due corpi

Il problema dei due corpi è un importante modello teorico in meccanica, sia classica che quantistica, in cui si studiano i movimenti di due corpi assimilati a punti materiali in mutua interazione ( conservativa ), considerando il sistema globale come isolato. In questo articolo verrà affrontato solo il problema dei due corpi in meccanica classica (si veda ad esempio l'articolo atomo di idrogeno per un esempio in meccanica quantistica ), prima nel caso generale di un potenziale attrattivo, poi nel caso particolare molto importante in cui i due corpi sono in interazione gravitazionale , o movimento kepleriano , che è un argomento importante della meccanica celeste .

L'importanza di questo problema deriva in primo luogo dal suo carattere esattamente integrabile, a differenza del problema a tre corpi e oltre . Infatti il ​​problema con due corpi, che ha a priori sei gradi di libertà, può essere ridotto di fatto alla risoluzione di un problema con un solo corpo con un solo grado di libertà.

Inoltre, i risultati ottenuti consentono di rendere conto , almeno in prima approssimazione, delle traiettorie dei pianeti del sistema solare (nel sistema di riferimento eliocentrico) e dei loro satelliti naturali o artificiali. Uno poi trovano le leggi di Keplero , evidenziati dall'analisi delle osservazioni astronomiche dal XVII °  secolo. Pertanto, la situazione prevista è lungi dall'essere puramente accademica. La prima risoluzione di questo problema fu esposta da Newton , che enunciava la legge fondamentale della meccanica classica: il risultato è annunciato nelle proposizioni da 57 a 65 dei suoi Principia .

Oggetto di questo articolo è la presentazione e la trattazione generale del problema dei due corpi, con la dimostrazione delle leggi di Keplero e lo studio dettagliato dei diversi tipi di possibili traiettorie. La questione della determinazione degli elementi dell'orbita così come le equazioni di Keplero e Barker e le loro applicazioni sono oggetto di articoli separati (si vedano gli articoli Moto kepleriano , Equazione di Keplero ed Elementi dell'orbita ).

Situazione pianificata e valutazioni

Il problema dei due corpi è quello di due corpi di massa m 1 e m 2 , assimilati ai punti materiali M 1 e M 2 , rispettivamente, in mutua interazione. La forza esercitata da M 1 su M 2 deriva da un potenziale attrattivo V ( r ) e si nota : per la terza legge di Newton (o principio delle azioni reciproche) è ovvio che . F12→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F_ {12}}}}F21→=-F12→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F_ {21}}} = - {\ overrightarrow {F_ {12}}}}

Il sistema complessivo è considerato isolato, si tratta di studiare il moto di M 1 e M 2 rispetto ad un sistema di riferimento ( R ) assunto galileiano , il punto di riferimento associato allo spazio ha origine O .

Successivamente vengono adottate le seguenti notazioni: , , e . r1→=ohM1→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r_ {1}}} = {\ overrightarrow {OM_ {1}}}}r2→=ohM2→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r_ {2}}} = {\ overrightarrow {OM_ {2}}}}r→=defr12→=M1M2→=r2→-r1→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ overrightarrow {r_ {12}}} = {\ overrightarrow {M_ {1} M_ {2}}} = {\ overrightarrow {r_ {2}}} - {\ overrightarrow {r_ {1}}}}

Si scrivono quindi le equazioni del moto in ( R ) di ciascuno dei corpi, utilizzando la relazione fondamentale della dinamica  :

{m1r1→¨=F21→=-F12→m2r2→¨=F12→{\ displaystyle {\ begin {cases} m_ {1} {\ ddot {\ overrightarrow {r_ {1}}}} = {\ overrightarrow {F_ {21}}} = - {\ overrightarrow {F_ {12}}} \\ m_ {2} {\ ddot {\ overrightarrow {r_ {2}}}} = {\ overrightarrow {F_ {12}}} \ end {cases}}}, (1).

La strategia per risolvere il problema è quindi la seguente: studiare innanzitutto il moto di un singolo corpo, introducendo la nozione di particella fittizia  ; poi scendi a un problema unidimensionale che è facilmente risolvibile.

Riduzione a problema di un corpo

Il fatto che il sistema sia isolato permette di separare il moto banale del suo centro di inerzia da quello di un corpo rispetto all'altro e di fatto tornare allo studio del moto di una singola particella, detto fittizio .

Conservazione della quantità di moto - sistema di riferimento baricentrico

La somma delle due equazioni del moto dà immediatamente:

m1r1→¨+m2r2→¨=(m1+m2)RVS→¨=0→{\ displaystyle m_ {1} {\ ddot {\ overrightarrow {r_ {1}}}} + m_ {2} {\ ddot {\ overrightarrow {r_ {2}}}} = \ left (m_ {1} + m_ {2} \ right) {\ ddot {\ overrightarrow {R_ {C}}}} = {\ overrightarrow {0}}}, con C centro di massa del sistema, con vettore posizione .RVS→=ohVS→=m1r1→+m2r2→m1+m2{\ displaystyle {\ overrightarrow {R_ {C}}} = {\ overrightarrow {OC}} = {\ frac {m_ {1} {\ overrightarrow {r_ {1}}} + m_ {2} {\ overrightarrow {r_ {2}}}} {m_ {1} + m_ {2}}}}

Di conseguenza, e come previsto per un sistema isolato, il movimento del centro di massa C in ( R ) è rettilineo e uniforme (o al limite, a riposo), ed è possibile collocarsi nel sistema di riferimento del centro di massa ( R c ) (che sarà galileiano, per il moto rettilineo ed uniforme del corpo a cui è legato, ( R ) essendo galileiano), detto baricentrico , per riscrivere le precedenti equazioni del moto.

Introduzione della nozione di particella fittizia

In posa è possibile scrivere: r→=defr2→-r1→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ overrightarrow {r_ {2}}} - {\ overrightarrow {r_ {1}}}}

{r1→=R→VS-m2m1+m2r→r2→=R→VS+m1m1+m2r→{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ overrightarrow {r_ {1}}} = {\ overrightarrow {R}} _ {C} - {\ frac {m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2} }}} {\ overrightarrow {r}} \\ {\ overrightarrow {r_ {2}}} = {\ overrightarrow {R}} _ {C} + {\ frac {m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} {\ overrightarrow {r}} \ end {casi}}}, (2).

Basta prendere la differenza tra le due equazioni del moto (1), e tener conto del carattere galileiano del sistema di riferimento baricentrico che implica , per ottenere: R→vs¨=0→{\ displaystyle {\ ddot {{\ vec {R}} _ {c}}} = {\ vec {0}}}

r→¨=(1m1+1m2)F→12=(m1+m2m1m2)F12→{\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} = \ sinistra ({\ frac {1} {m_ {1}}} + {\ frac {1} {m_ {2}}} \ destra) {\ vec {F}} _ {12} = \ sinistra ({\ frac {m_ {1} + m_ {2}} {m_ {1} m_ {2}}} \ destra) {\ overrightarrow {F_ {12}} }}.

Questa equazione è infatti quella del moto di un singolo corpo, con tre gradi di libertà:

μr→¨=F→{\ displaystyle \ mu {\ ddot {\ overrightarrow {r}}} = {\ overrightarrow {F}}},

con , massa ridotta del sistema, e . μ=defm1m2m1+m2{\ displaystyle \ mu {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}F→=F12→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = {\ overrightarrow {F_ {12}}}}

Nel sistema di riferimento baricentrico il problema si riduce quindi al moto di una particella cosiddetta fittizia , di massa μ e di raggio-vettore , deducendo per omoteità le traiettorie dei corpi M 1 e M 2 , secondo il precedente formule su . r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}r→1,2{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {1,2}}

Va notato che nel caso particolarmente importante in cui uno dei corpi ha una massa molto maggiore del secondo (corpo centrale, generalmente una stella, o un pianeta "grande"), ad esempio se , il centro di massa del sistema è praticamente fusa con questo corpo centrale, e la massa ridotta è praticamente uguale a quella dell'altro corpo ,. Si noti tuttavia che per il movimento della Luna , che nel sistema solare ha la massa relativa più alta di un satellite rispetto al suo pianeta (1/81 Mt), questa approssimazione è relativamente imprecisa. m1»m2{\ displaystyle m_ {1} \ gg m_ {2}}μ≃m2{\ displaystyle \ mu \ simeq m_ {2}}

Integrale primo del momento angolare - Planarità della traiettoria - Legge delle aree

Nel caso particolare molto importante di una forza centrale, che abbiamo con , il teorema del momento angolare al centro della forza notato O si scrive: F→=F(r)er→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = F (r) {\ overrightarrow {e_ {r}}}}er→=defr→r{\ displaystyle {\ overrightarrow {e_ {r}}} {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ dfrac {\ overrightarrow {r}} {r}}}

L→˙=r→×F→=0→{\ displaystyle {\ dot {\ overrightarrow {L}}} = {\ overrightarrow {r}} \ times {\ overrightarrow {F}} = {\ overrightarrow {0}}},

che implica . L→=r→×(μr→˙)=vste→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = {\ overrightarrow {r}} \ times \ left (\ mu {\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ right) = {\ overrightarrow {\ mathrm {cte}} }}

Fisicamente ciò impone che il vettore posizione e il vettore velocità della particella fittizia siano sempre perpendicolari ad un vettore costante: la traiettoria di M è quindi piana , il problema è quindi a due gradi di libertà.

Nel piano della traiettoria, definito come quello generato da ed è giudizioso porsi in coordinate polari cilindro-dell'asse direzione Oz di , con θ angolo tra e , si tratta: r→(t=0)=r→0{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} \ left (t = 0 \ right) = {\ overrightarrow {r}} _ {0}}r→˙(t=0)=v→0{\ displaystyle {\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ left (t = 0 \ right) = {\ overrightarrow {v}} _ {0}}L→=Lez→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = L {\ overrightarrow {e_ {z}}}}r→0{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} _ {0}}r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}

L→=(rer→)×μ(r˙er→+(rθ˙)eθ→)=μr2θ˙ez→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = \ left (r {\ overrightarrow {e_ {r}}} \ right) \ times \ mu \ left ({\ dot {r}} {\ overrightarrow {e_ {r} }} + \ sinistra (r {\ punto {\ theta}} \ destra) {\ overrightarrow {e _ {\ theta}}} \ destra) = \ mu r ^ {2} {\ punto {\ theta}} { \ overrightarrow {e_ {z}}}},

di conseguenza:

μr2θ˙=L=vste{\ displaystyle \ mu r ^ {2} {\ dot {\ theta}} = L = \ mathrm {cte}}(3).

Ora l'area elementare percorsa dal vettore raggio durante d t è data da: r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}

dA=12r2dθ{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {A}} = {\ dfrac {1} {2}} r ^ {2} \ mathrm {d} \ theta}.

La velocità areolare è quindi costante per la particella fittizia (è la stessa per omoteità per i corpi reali):

A˙=dAdt=12VS=vste{\ displaystyle {\ dot {\ mathcal {A}}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ mathcal {A}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {2 }} C = \ mathrm {cte}},

con , l'area costante . VS=defLμ{\ displaystyle C {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ frac {L} {\ mu}}}

Di conseguenza, il raggio vettore di ogni particella spazza aree uguali in tempi uguali. Questa proprietà è infatti valida per qualsiasi movimento con una forza centrale. Dall'espressione di C si vede facilmente che la velocità angolare della particella fittizia è inversamente proporzionale alla distanza r , ed è quindi massima quando quest'ultima è minima , cioè al periastrone nel moto kepleriano - cfr. infra.

Appunti:

• Il moto circolare uniforme è un semplice caso di moto che obbedisce alla legge delle aree;
• L'espressione di L implica che la velocità angolare istantanea non cambia mai segno lungo la traiettoria: in un certo senso, la particella fittizia, e quindi i due corpi "reali" "girano sempre" nella "stessa direzione" sulle loro traiettorie;θ˙{\ displaystyle {\ punto {\ theta}}}
• Se L = 0, il movimento è rettilineo: questo caso particolare (detto degenere) verrà escluso successivamente.

Integrale primo dell'energia - potenziale effettivo

Essendo il movimento conservativo poiché la forza deriva da un'energia potenziale V ( r ), l'energia totale è un primo integrale del movimento:

H=12μr→˙2+V(r)=vste{\ displaystyle H = {\ frac {1} {2}} \ mu {\ dot {\ overrightarrow {r}}} ^ {2} + V (r) = \ mathrm {cte}}, oppure , oppure utilizzando l'espressione del valore del momento angolare L  :r→˙2=r˙2+r2θ˙2{\ displaystyle {\ punto {\ overrightarrow {r}}} ^ {2} = {\ punto {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ punto {\ theta}} ^ {2}} H=12μr˙2+tueff(r){\ displaystyle H = {\ frac {1} {2}} \ mu {\ dot {r}} ^ {2} + U _ {\ text {eff}} \ left (r \ right)}, (4),

con potenziale effettivo . tueff(r)=defL22μr2+V(r){\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ left (r \ right) {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ { 2 }}} + V (r)}

Infine il problema si riduce allo studio del moto di un singolo corpo con un solo grado di libertà r . Questo è sempre valido nel caso del problema dei due corpi, qualunque sia la natura del potenziale di interazione.

Risoluzione analitica

Secondo (4), è possibile esprimere la velocità radiale , ne segue che: . r˙{\ displaystyle {\ punto {r}}}r˙=drdt=2μ(H-V(r))-L2μ2r2{\ displaystyle {\ dot {r}} = {\ frac {\ mathrm {d} r} {\ mathrm {d} t}} = {\ sqrt {{\ frac {2} {\ mu}} \ left ( HV (r) \ destra) - {\ frac {L ^ {2}} {\ mu ^ {2} r ^ {2}}}}}}

È quindi possibile separare le variabili, e integrare tra due istanti t 0 e t , a cui corrispondono rispettivamente le posizioni radiali r 0 e r , per ottenere:

t-t0=∫r0rdr'2μ(H-V(r'))-L2μ2r'2{\ displaystyle t-t_ {0} = \ int _ {r_ {0}} ^ {r} {\ frac {\ mathrm {d} r '} {\ sqrt {{\ frac {2} {\ mu}} \ sinistra (HV (r ') \ destra) - {\ frac {L ^ {2}} {\ mu ^ {2} r' ^ {2}}}}}}}, (4bis).

Ciò corrisponde, implicitamente, all'equazione oraria r ( t ).

Tenendo conto della (4), è quindi possibile ottenere un'espressione simile per θ  :

θ-θ0=∫r0rLr'2dr'2μ(H-V(r'))-L2r'2{\ displaystyle \ theta - \ theta _ {0} = \ int _ {r_ {0}} ^ {r} {\ frac {{\ frac {L} {r '^ {2}}} \ mathrm {d} r '} {\ sqrt {2 \ mu \ left (HV (r') \ right) - {\ frac {L ^ {2}} {r '^ {2}}}}}}}, (4ter).

Queste due espressioni sono, in pratica, difficili da usare. Tuttavia, consentono una discussione qualitativa sulla natura dei possibili movimenti.

Studio qualitativo dei possibili movimenti

Nell'espressione di , il termine , sempre positivo, corrisponde a una barriera centrifuga . Assumendo il potenziale V ( r ): tueff(r){\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ left (r \ right)}L22μr2{\ displaystyle {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ {2}}}}

• attrattivo  : abbiamo quindi V ( r ) monotonicamente crescente per ogni r  ;
• regolare nell'origine: vale a dire , e quindi il termine in 1 ⁄ r 2 domina quando .limir→0+r2|V(r)|=0{\ displaystyle \ lim _ {r \ a 0 ^ {+}} r ^ {2} \ left | V (r) \ right | = 0}r→0+{\ displaystyle r \ a 0 ^ {+}}

Sebbene non sia essenziale in quest'ultimo V ( r ) si assume anche limitato all'infinito, sia con una scelta oculata dell'origine dei potenziali . Per convenzione V ( r ) <0. limir→∞V(r)=0+{\ displaystyle \ lim _ {r \ a \ infty} V (r) = 0 ^ {+}}

Con queste condizioni, valide per i normali potenziali fisici, il potenziale effettivo presenta un unico minimo assoluto, rilevato per tale che , e quindi ha un bacino potenziale (cfr figura a fianco, con un potenziale newtoniano). -tumin<0{\ displaystyle -U _ {\ min} <0}r=rm{\ displaystyle r = r_ {m}}dtueffdr|r=rm=0{\ displaystyle \ left. {\ frac {\ mathrm {d} U _ {\ text {eff}}} {\ mathrm {d} r}} \ right | _ {r = r_ {m}} = 0}

Inoltre, secondo l'espressione di H  : i valori di r consentivano di essere come . H-tueff(r)=12μr˙2⩾0{\ displaystyle H-U _ {\ text {eff}} (r) = {\ frac {1} {2}} \ mu {\ dot {r}} ^ {2} \ geqslant 0}tueff(r)⩽H{\ displaystyle U _ {\ text {eff}} (r) \ leqslant H}

È quindi possibile considerare qualitativamente i seguenti casi ( L essendo diverso da zero):

• Energia totale H > 0: da quando , questa condizione è soddisfatta per qualsiasi valore di con r min minima distanza di avvicinamento tale che . La particella fittizia può quindi andare all'infinito con una velocità radiale positiva, pari a .tueff(r)⟶0-{\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ left (r \ right) \ longrightarrow 0 ^ {-}}r→∞{\ displaystyle r \ a \ infty}r⩾rmin{\ displaystyle r \ geqslant r _ {\ min}}tueff(rmin)=H{\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ left (r _ {\ min} \ right) = H}r˙maX=2Hμ{\ displaystyle {\ dot {r}} _ {max} = {\ sqrt {\ dfrac {2H} {\ mu}}}}

• Energia totale H = 0: caso limite in cui la particella può andare all'infinito, ma con velocità radiale nulla, secondo la formula precedente, essendo la distanza minima di avvicinamento tale che , ie .tueff(rmin)=0{\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ left (r _ {\ min} \ right) = 0}V(rmin)=-L22μrmionon2{\ displaystyle V \ left (r _ {\ min} \ right) = - {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r_ {min} ^ {2}}}}

• Energia totale  : in questo caso, la particella è confinata in una precisa regione dello spazio, tra i due valori di r come (punti di arresto). La velocità radiale viene annullata in ciascuno di questi punti, tuttavia non è il caso della velocità angolare istantanea (cfr. espressione di H e note a riguardo).0>H>-tumin{\ displaystyle 0> H> -U _ {\ min}}tueff(rmin,max)=H<0{\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ left (r _ {\ min, \ max} \ right) = H <0}

A causa del confinamento del movimento, la durata Δ t affinché r vari da r min a r max può essere facilmente ottenuta utilizzando l'espressione integrale che dà t . Poiché l'invarianza temporale dell'Hamiltoniana implica che tale durata sarà la stessa per andare da r max a r min , il moto radiale è quindi periodico con periodo T dato da: T=2∫rminrmaxdr2μ(H-V(r))-L2μ2r2{\ displaystyle T = 2 \ int _ {r _ {\ min}} ^ {r _ {\ max}} {\ frac {\ mathrm {d} r} {\ sqrt {{\ frac {2} {\ mu }} \ sinistra (HV (r) \ destra) - {\ frac {L ^ {2}} {\ mu ^ {2} r ^ {2}}}}}}} , e in un periodo radiale in cui l'angolo θ varia della quantità Δ θ , data dall'espressione integrale di θ  : Δθ=2∫rminrmaxLr2dr2μ(H-V(r))-L2r2{\ displaystyle \ Delta \ theta = 2 \ int _ {r _ {\ text {min}}} ^ {r _ {\ text {max}}} {\ frac {{\ frac {L} {r ^ {2 }} } \ mathrm {d} r} {\ sqrt {2 \ mu \ left (HV (r) \ right) - {\ frac {L ^ {2}} {r ^ {2}}}}}}}. Tuttavia, è importante sottolineare che il confinamento del movimento non implica in alcun modo che la traiettoria del mobile sia una curva chiusa . Per questo, sarebbe effettivamente necessario solo con m e n interi. In questo caso, e solo in questo caso, il vettore raggio ritorna al suo valore iniziale dopo n periodi "radiali" T , poiché allora sarà "ruotato" di 2 mp  : nT sarà infatti il ​​periodo del movimento e di la funzione. θ ( t ). Tale situazione corrisponde a periodi radiali e angolari commensurabili , ed è condizione necessaria e sufficiente perché il movimento limitato avvenga secondo una curva chiusa. Questa condizione è soddisfatta solo dal potenziale newtoniano a 1/ r e dal potenziale armonico spaziale isotropo V ( r ) = kr 2 (quest'ultimo caso non sarà considerato ulteriormente): questo risultato costituisce il teorema di Bertrand .Δθ=2πmnon{\ displaystyle \ Delta \ theta = {\ frac {2 \ pi m} {n}}}r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}

• Energia totale  : questo è il caso limite in cui l'unico valore ammesso di r è r m , e in questo caso la traiettoria è un cerchio di questo raggio.H=-tumin<0{\ displaystyle H = -U _ {\ min} <0}

• Energia totale  : questi valori di r sono proibiti e non corrispondono a nulla di fisico.H<-tumin{\ stile di visualizzazione H <-U _ {\ min}}

Si mostrerà più avanti che ciascuno di questi casi corrisponde alle forme particolari di traiettorie per il moto kepleriano, cioè un'iperbole, una parabola, un'ellisse e un cerchio. La discussione precedente può essere riassunta graficamente nella figura a lato.

Degenerazione del movimento

Lo studio precedente è stato condotto assumendo . Se L = 0, abbiamo semplicemente in qualsiasi momento, e il movimento è puramente radiale  : si dice degenere. La trattazione precedente è semplificata, la condizione precedente (4bis) si riduce a , verificata in tutti i casi se . Diversamente, è facile verificare che la particella "cade" sul centro di forza. L≠0{\ displaystyle L \ neq 0}θ˙=0{\ displaystyle {\ punto {\ theta}} = 0}V(r)⩽H{\ displaystyle V (r) \ leqslant H}H⩾0{\ displaystyle H \ geqslant 0}

Caso del movimento kepleriano

Il moto kepleriano corrisponde al caso in cui i due corpi sono in interazione gravitazionale, cioè con il potenziale di interazione , e quindi , con la massa totale del sistema. Tutto avviene quindi come se la particella fittizia M fosse soggetta all'interazione gravitazionale di un corpo influenzato dalla massa totale del sistema posto all'origine O del raggio-vettore. Se i precedenti risultati generali, validi peraltro per qualsiasi movimento in un potenziale centrale conservativo V ( r ), permetterebbero già di determinare l'equazione oraria di r = r ( t ), il potenziale newtoniano ha un particolare integrale primo, il Runge- Vettore di Lenz, che permette di ottenere in modo semplice l'equazione della traiettoria. V(r)=-Gm1m2r{\ displaystyle V (r) = - {\ frac {Gm_ {1} m_ {2}} {r}}}F→=-Gm1m2r2er→=-GμMTr2er→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = - G {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}} {\ overrightarrow {e_ {r}}} = - G {\ frac {\ mu M_ {T}} {r ^ {2}}} {\ overrightarrow {e_ {r}}}}MT=defm1+m2{\ displaystyle M_ {T} {\ stackrel {\ text {def}} {=}} m_ {1} + m_ {2}}

Invariante di Runge-Lenz - equazioni della traiettoria

Esistenza di un primo integrale aggiuntivo

Il potenziale newtoniano è caratterizzato dall'esistenza di un particolare invariante aggiuntivo, l'invariante di Runge-Lenz , dato da: 1/r{\ stile di visualizzazione 1 / r}

e→=(r→˙×L→)GMTμ-er→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}} = {\ frac {\ left ({\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ times {\ overrightarrow {L}} \ right)} {GM_ {T} \ mu} } - {\ overrightarrow {e_ {r}}}}, (5) Dimostrazione r→¨×L→=d(r→˙×L→)dt=r→¨×[r→×(μr→˙)]{\ displaystyle {\ ddot {\ overrightarrow {r}}} \ times {\ overrightarrow {L}} = {\ frac {d \ left ({\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ times {\ overrightarrow {L }} \ right)} {\ mathrm {d} t}} = {\ ddot {\ overrightarrow {r}}} \ times \ left [{\ overrightarrow {r}} \ times \ left (\ mu {\ punto { \ overrightarrow {r}}} \ destra) \ destra]}, dove è stato preso in considerazione , che dà:L→=vste→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {cte}}}} d(r→˙×L→)dt=-GMTer→r2×(μr2θ˙ez→)=GMTμθ˙eθ→{\ displaystyle {\ frac {d \ left ({\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ times {\ overrightarrow {L}} \ right)} {\ mathrm {d} t}} = - {\ frac { GM_ {T} {\ overrightarrow {e_ {r}}}} {r ^ {2}}} \ times \ left (\ mu r ^ {2} {\ dot {\ theta}} {\ overrightarrow {e_ {z }}} \ destra) = GM_ {T} \ mu {\ punto {\ theta}} {\ overrightarrow {e _ {\ theta}}}}, dove è stata presa in considerazione la planarità della traiettoria, ma tenendo conto di quanto segue immediatamente:θ˙eθ→=er→˙{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} {\ overrightarrow {e _ {\ theta}}} = {\ dot {\ overrightarrow {e_ {r}}}}} ddt((r→˙×L→)GMTμ-er→)=0→{\ displaystyle {\ frac {d} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ left ({\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ times {\ overrightarrow {L}} \ right )} {GM_ {T} \ mu}} - {\ overrightarrow {e_ {r}}} \ right) = {\ overrightarrow {0}}}, da qui il risultato. Equazione della traiettoria della particella fittizia

È evidente che quindi è contenuto nel piano del moto. Di conseguenza è possibile assumere come angolo polare l'angolo w compreso tra e , con ovviamente , e notando e la norma di esso è facile da verificare: L→⋅e→=0{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} \ cdot {\ overrightarrow {e}} = 0}e→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}}}e→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}}}r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}θ˙=w˙{\ displaystyle {\ punto {\ theta}} = {\ punto {w}}}e→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}}}

r→⋅e→=recos⁡w=r→⋅(r→˙×L→)GMTμ-r{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} \ cdot {\ overrightarrow {e}} = re \ cos {w} = {\ frac {{{\ overrightarrow {r}} \ cdot \ left ({\ dot {\ overrightarrow { r}}} \ volte {\ overrightarrow {L}} \ destra)} {GM_ {T} \ mu}} - r}, o tenendo conto dell'identità r→⋅(r→˙×L→)=L→⋅(r→×r→˙)=L2μ{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} \ cdot \ left ({\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ times {\ overrightarrow {L}} \ right) = {\ overrightarrow {L}} \ cdot \ left ({\ overrightarrow {r}} \ times {\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ right) = {\ frac {L ^ {2}} {\ mu}}} : r(1+ecos⁡w)=p{\ displaystyle r \ sinistra (1 + e \ cos {w} \ destra) = p}, con .p=defL2GMTμ2{\ displaystyle p {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ frac {L ^ {2}} {GM_ {T} \ mu ^ {2}}}}

Fisicamente, p = r m , valore di r per cui U eff ( r ) è minimo. Infatti poiché , si tratta problemi dalla derivazione a due effetti r m = p . tueff(r)=L22μr2-GMTμr{\ displaystyle U _ {\ text {eff}} (r) = {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ {2}}} - {\ frac {GM_ {T} \ mu} { r }}}L2μrm=GMTμ{\ displaystyle {\ frac {L ^ {2}} {\ mu r_ {m}}} = GM_ {T} \ mu}

L'equazione della traiettoria ottenuta è quindi quella di una conica di eccentricità e e parametro p  :

r=p(1+ecos⁡w){\ displaystyle r = {\ frac {p} {\ sinistra (1 + e \ cos {w} \ destra)}}}, (6),

il cui centro di forza occupa uno dei punti focali. Il vettore è quindi diretto verso il punto di minima distanza (o periapsi ), distanza indicata con q , corrispondente a w = 0. A questo punto la velocità angolare orbitale è massima. L'angolo w è chiamato la vera anomalia in astronomia. e→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}}}q=p/(1+e){\ displaystyle q = p / \ sinistra (1 + e \ destra)}w0˙=θ0˙{\ displaystyle {\ punto {w_ {0}}} = {\ punto {\ theta _ {0}}}}

Per omoteità, ciascuno dei corpi reali descrive nel sistema di riferimento baricentrico una conica il cui centro di massa occupa uno dei fuochi. Il valore di e determina la natura della conica:

• Se e > 1, la traiettoria è un'iperbole  : in questo caso gli astri non sono collegati e possono andare all'infinito;

• Se e = 1, la traiettoria è una parabola  ;

• Se 0 < e <1, il percorso è un'ellisse . È il caso dei pianeti e della maggior parte degli altri corpi del sistema solare, dove peraltro il centro di massa è praticamente confuso con la posizione del Sole, il che permette di trovare la prima legge di Keplero (1609): “Au Durante il loro movimento attorno al Sole, i pianeti descrivono ellissi in cui il Sole occupa uno dei punti focali”. La seconda legge (1609 anche) segue direttamente dalla costanza della velocità dell'area, e porta il nome di legge delle aree: "Il raggio-vettore che collega il Sole a un pianeta percorre aree uguali in tempi uguali".

• Se e = 0, il percorso è circolare.

Nota sul carattere particolare del campo newtoniano

L'ottenimento di traiettorie chiuse per i campi newtoniani è notevole, e infatti risulta da una particolare simmetria. Infatti, secondo il teorema di Noether, le leggi di conservazione sono legate all'esistenza di particolari simmetrie del problema.

Così l'invarianza traslazionale del sistema globale dei due corpi (legata al presunto carattere isolato del sistema) porta alla conservazione della quantità di moto del sistema globale, mentre l'invarianza rotazionale (isotropia) del campo centrale porta a quella da il momento angolare e l'invarianza per traslazione nel tempo (che suppone l'assenza di "attrito") alla conservazione dell'energia totale. L'esistenza di questi primi integrali permette di passare successivamente da 6 a 3 poi 2 ed infine un grado di libertà. Tuttavia, anche per il moto finito, i due corpi non hanno motivo di descrivere curve chiuse, e solo un'ulteriore simmetria conduce ad esso, e risulta nell'esistenza del particolare primo integrale del campo in 1 / r 2 , il Runge- Vettore di Lenz (o, equivalentemente, vettore di eccentricità).

È chiaro da quanto precede che l'equazione della traiettoria si ottiene semplicemente per proiezione del raggio-vettore su questo particolare vettore costante che definisce una particolare direzione dello spazio, in pratica l'asse della conica. Tuttavia, questo tipo di simmetria può essere interpretato correttamente solo in quattro dimensioni, cfr. oggetto particolare .

In meccanica quantistica, questo osservabile aggiuntivo si trova nello studio dell'atomo di idrogeno, che corrisponde a un problema con due corpi quantistici, e questo si traduce nella degenerazione "accidentale" dei livelli energetici dell'elettrone. , che non dipendono da il numero quantico orbitale l relativo al momento angolare. Anche in questo caso, un'ulteriore simmetria specifica del campo di Coulomb, e interpretabile solo a 4 dimensioni, spiega questo fenomeno.

In cavo, queste considerazioni mostrano che nel caso in cui si tenga conto delle perturbazioni dovute ad altri corpi celesti, il potenziale subito non sarà più in 1 / r 2 e il vettore Runge-Lenz non sarà più strettamente un integrale primario di il movimento. . Le traiettorie non saranno più strettamente coniche, curve chiuse (per 0 < e <1). Questo è infatti ciò che si osserva, con orbite ellittiche che "ruotano" lentamente nello spazio, un fenomeno di avanzamento del perielio , che viene strettamente interpretato nell'ambito della relatività generale .

Relazione tra eccentricità e integrali primi del moto

In un sistema fisso di spazio Oxyz legato a ( R c ), l'asse Ox della conica, orientato verso il punto di minima distanza dal fuoco del vettore unitario , Oz la direzione del momento angolare , e come al periastron e r = q , il primo integrale dell'energia può essere espresso in funzione di questa distanza minima, si ottiene: eX→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e_ {x}}}}L→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}}}r˙=0{\ displaystyle {\ punto {r}} = 0}

H=L22μq2-GMTμq{\ displaystyle H = {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu q ^ {2}}} - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {q}}},

che implica . L2=2μq2H+2GMTμ2q{\ displaystyle L ^ {2} = 2 \ mu q ^ {2} H + 2GM_ {T} \ mu ^ {2} q}

Allo stesso modo, è possibile esprimere il vettore di eccentricità in modo semplice:

e→=(L2GMTμ2q-1)eX→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}} = \ left ({\ frac {L ^ {2}} {GM_ {T} \ mu ^ {2} q}} - 1 \ right) {\ overrightarrow {e_ {x }}}}. Dimostrazione

e→=(qθ0˙esì→)×(Lez→)GMTμ-eX→=(rmiononθ0˙LGMTμ-1)eX→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}} = {\ frac {\ left (q {\ dot {\ theta _ {0}}} {\ overrightarrow {e_ {y}}} \ right) \ times \ left (L {\ overrightarrow {e_ {z}}} \ right)} {GM_ {T} \ mu}} - {\ overrightarrow {e_ {x}}} = \ left ({\ frac {r_ {min} {\ dot { \ theta _ {0}}} L} {GM_ {T} \ mu}} - 1 \ destra) {\ overrightarrow {e_ {x}}}}, o since , da cui il risultato. qθ0˙=Lμq{\ displaystyle q {\ dot {\ theta _ {0}}} = {\ frac {L} {\ mu q}}}

Sostituendo in questa espressione quella ottenuta per L 2 , l'espressione dell'eccentricità della conica è posta nella forma:

e=1+2qHGMTμ{\ displaystyle e = 1 + {\ frac {2qH} {GM_ {T} \ mu}}}.

È quindi possibile eliminare la distanza minima q nell'espressione proposta , e ottenere una relazione tra l'eccentricità e ei due integrali primi H e L . Viene per sostituzione nell'espressione precedente per eccentricità: q=p1+e=L2G2MT2μ3(1+e){\ displaystyle q = {\ frac {p} {1 + e}} = {\ frac {L ^ {2}} {G ^ {2} M_ {T} ^ {2} \ mu ^ {3} (1 + e)}}}

(e+1)(e-1)=2L2HG2MT2μ3{\ displaystyle (e + 1) (e-1) = {\ frac {2L ^ {2} H} {G ^ {2} M_ {T} ^ {2} \ mu ^ {3}}}}O infine: .e=1+2L2HG2MT2μ3{\ displaystyle e = {\ sqrt {1 + {\ frac {2L ^ {2} H} {G ^ {2} M_ {T} ^ {2} \ mu ^ {3}}}}}}

Queste ultime due espressioni ovviamente hanno un significato fisico solo se , e permettono di trovare i diversi casi visti sopra: e⩾0{\ displaystyle e \ geqslant 0}

• Caso della traiettoria iperbolica: e > 1 che implica H > 0, come si è detto, il mobile fittizio può andare all'infinito, con velocità radiale puramente diversa da zero, data da  ;r˙maX=2Hμ{\ displaystyle {\ dot {r}} _ {max} = {\ sqrt {\ dfrac {2H} {\ mu}}}}

• Caso della traiettoria parabolica: e = 1 implica H = 0, ancora il mobile può andare all'infinito con velocità zero.

• Caso della traiettoria ellittica: 0 < e <1 implica che abbiamo .-GMTμ2q<H<0{\ displaystyle - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2q}} <H <0}

• Caso della traiettoria circolare: e = 0 quindi .H=-GMTμ2q=-G2MT2μ32L2{\ displaystyle H = - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2q}} = - {\ frac {G ^ {2} M_ {T} ^ {2} \ mu ^ {3}} {2L ^ {2}}}}

Nota: nel caso di un veicolo spaziale in orbita, in grado di modificare la sua energia cinetica e quindi H e L , l'espressione precedente di e mostra che è possibile, “scegliendo” correttamente l'impulso correttivo, modificare il valore dell'eccentricità e della traiettoria: questa viene comunemente utilizzata per portare i satelliti sulle orbite desiderate utilizzando apposite " orbite di trasferimento ". È anche possibile, se necessario, sfuggire all'attrazione terrestre, ad esempio per le sonde interplanetarie.

Caso di moto ellittico

Il moto ellittico kepleriano è molto importante per l'astronomia (orbita dei pianeti nel sistema solare, satelliti artificiali, per esempio). In ogni caso, serve come punto di partenza per calcoli più avanzati, tenendo conto dell'influenza di altri corpi celesti o di altri fattori che più spesso agiscono come un disturbo di questo movimento "ideale".

Parametri principali della traiettoria

Un'ellisse può essere definita come il luogo dei punti M tali che la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi indicati con F 1 e F 2 sia costante: , ha come semiasse maggiore dell'ellisse, cioè - diciamo il mezza distanza tra i due vertici che sono per una traiettoria il periastro P e l'apoastro A , il punto più lontano dal centro di forza (che occupa uno dei fuochi) dell'orbita (cfr figura) . d(F1,M)+d(F2,M)=2a{\ stile di visualizzazione d (F_ {1}, M) + d (F_ {2}, M) = 2a}

Notando Q la distanza dal fuoco di quest'ultimo punto, che corrisponde a , si ottiene:, e da essa si deduce . L'ellisse ha un centro di simmetria O a metà distanza dai fuochi, attraverso il quale passano i suoi due assi perpendicolari di simmetria, detti assi maggiori e minori. w=π{\ displaystyle w = \ pi}Q=p/(1-e){\ displaystyle Q = p / \ sinistra (1-e \ destra)}a=p/(1-e2){\ displaystyle a = p / \ sinistra (1-e ^ {2} \ destra)}

Il parametro p dell'ellisse corrisponde al valore di r per w = p / 2.

La mezza distanza dal fuoco è indicata con c , ovviamente abbiamo . Deduciamo il semiasse minore , indicato con b  : . Siamo in grado di eliminare e tra le equazioni che danno un e B , è l'espressione del parametro dell'ellisse . vs=a-q=ep1-e2=ea{\ displaystyle c = aq = e {\ frac {p} {1-e ^ {2}}} = ea}b=a2-vs2=a1-e2{\ displaystyle b = {\ sqrt {a ^ {2} -c ^ {2}}} = a {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}p=b2/a{\ stile di visualizzazione p = b ^ {2} / a}

Combinando queste formule, si ottiene rispettivamente per il periapsi q e per l'apoastro Q  : e . q=a(1-e){\ stile di visualizzazione q = a (1-e)}Q=a(1+e){\ stile di visualizzazione Q = a (1 + e)}

Aspetti energetici - Equazione delle forze viventi

Per ottenere l'equazione che prende il nome, “  forze viventi  ”, dal concetto leibniziano di forza, si sostituisce l'espressione della distanza dal periastrone nella relazione (9) eccentricità-energia, si ottiene: q=a(1-e){\ displaystyle q = a \ sinistra (1-e \ destra)}

1-e=-2qHGMTμ=-2Ha(1-e)GMTμ{\ displaystyle 1-e = - {\ frac {2qH} {GM_ {T} \ mu}} = - {\ frac {2Ha \ sinistra (1-e \ destra)} {GM_ {T} \ mu}}}, Da cui si trae l'espressione dell'energia meccanica totale in base al valore del semiasse maggiore a  : H=-GMTμ2a{\ displaystyle H = - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2a}}}, (10bis).

Pertanto, l'energia totale è pari alla metà dell'energia potenziale gravitazionale per r = a . Poiché H = cte, si ottiene:

H=-GMTμ2a=12μv2-GMTμr{\ displaystyle H = - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2a}} = {\ frac {1} {2}} \ mu v ^ {2} - {\ frac {GM_ {T} \ mu } {r}}}, da cui deriviamo l'espressione per il valore della velocità v della particella sulla traiettoria in funzione di r e a , nota come equazione della forza viva  : v=GMT(2r-1a){\ displaystyle v = {\ sqrt {GM_ {T} \ sinistra ({\ frac {2} {r}} - {\ frac {1} {a}} \ destra)}}}, (10ter).

Questa equazione è usata frequentemente in astronautica. Notiamo quindi che la misura del semiasse maggiore è direttamente legata all'energia totale della particella fittizia, e che se abbiamo , come dovremmo aspettarci poiché la traiettoria ellittica tende allora verso una traiettoria parabolica. |H|→0{\ displaystyle \ left | H \ right | \ a 0}a→∞{\ displaystyle a \ a \ infty}

La terza legge di Keplero

Il moto ellittico essendo finito, è periodico con periodo T , chiamato periodo di rivoluzione o periodo orbitale , le leggi fisiche essendo invarianti per traslazione nel tempo. Tuttavia, questo termine è facile da misurare per un corpo celeste in osservazioni astronomiche, come anche il valore del semiasse maggiore a . Tuttavia, esiste una semplice relazione tra periodo di rivoluzione e semiasse maggiore, dimostrata sperimentalmente per la prima volta da Keplero nel 1618.

Essendo la velocità dell'area costante con , si ottiene integrando nel periodo T del movimento l'area totale dell'ellisse, pari a , da cui l'identità , che dà , dove si è fatto uso di . A˙=L2μ{\ displaystyle {\ dot {\ mathcal {A}}} = {\ frac {L} {2 \ mu}}}πab{\ displaystyle \ pi ab}πab=LT2μ{\ displaystyle \ pi ab = {\ frac {LT} {2 \ mu}}}L2=4π2μ2a2b2T2=4π2μ2pa3T2{\ displaystyle L ^ {2} = {\ frac {4 \ pi ^ {2} \ mu ^ {2} a ^ {2} b ^ {2}} {T ^ {2}}} = 4 \ pi ^ {2} \ mu ^ {2} p {\ frac {a ^ {3}} {T ^ {2}}}}p=b2/a{\ stile di visualizzazione p = b ^ {2} / a}

Ma per definizione, che finalmente dà lo slancio eliminando il rapporto fondamentale: . p=L2GMTμ2{\ displaystyle p = {\ frac {L ^ {2}} {GM_ {T} \ mu ^ {2}}}}a3T2=GMT4π2{\ displaystyle {\ frac {a ^ {3}} {T ^ {2}}} = {\ frac {GM_ {T}} {4 \ pi ^ {2}}}}

In altre parole: i cubi dei semiassi maggiori delle orbite sono proporzionali ai quadrati dei periodi di rivoluzione .

Nel caso di un pianeta del sistema solare, la massa del Sole è praticamente uguale alla massa totale del sistema, e si scrive , con costante gaussiana . a3T2=K4π2{\ displaystyle {\ frac {a ^ {3}} {T ^ {2}}} = {\ frac {k} {4 \ pi ^ {2}}}}K=defGMS{\ displaystyle k {\ stackrel {\ text {def}} {=}} GM_ {S}}

Facendo questa approssimazione, possiamo scrivere per qualsiasi due pianeti nel sistema solare, con notazioni ovvie:

a13T12=a23T22{\ displaystyle {\ frac {a_ {1} ^ {3}} {T_ {1} ^ {2}}} = {\ frac {a_ {2} ^ {3}} {T_ {2} ^ {2} }}}.

Così la conoscenza del semiasse maggiore di un pianeta (ad esempio la Terra, che può essere misurata in modo molto preciso con metodi astrometrici ) e dei periodi orbitali (mediante osservazioni) permette di determinare i semiassi maggiori di tutti i pianeti del sistema solare. Si può procedere allo stesso modo per tutti gli altri "sistemi" (es. una stella ed i suoi pianeti, un pianeta ed i suoi satelliti...) dove si può trascurare la massa di un dato corpo rispetto a quella del "centrale" corpo (stella, pianeta).

Chiamiamo moto medio , indicato con n , la velocità angolare media dell'astro nella sua orbita: abbiamo quindi secondo la terza legge di Keplero: non=def2πT{\ displaystyle n {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ frac {2 \ pi} {T}}}

non=GMTa3{\ displaystyle n = {\ sqrt {\ frac {GM_ {T}} {a ^ {3}}}}}.Caso limite della traiettoria circolare - velocità orbitante minima

Quando e = 0, l'ellisse è degenere e si riduce ad una circonferenza di raggio R = pe centro O , coincidente con i due fuochi. Qualsiasi asse passante per il centro è l'asse di simmetria della traiettoria. Per (3) la velocità angolare è costante (troviamo quindi una banale “legge delle aree”). θ˙=L/μp2{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = L / \ mu p ^ {2}}

Sul piano energetico, secondo la formula (10) e come detto in precedenza (vedi parte 3.1-4 , questo corrisponde al minimo fisico dell'energia totale H con , quindi, un'energia cinetica radiale nulla . L'energia potenziale effettiva è quindi minimale, che corrisponde fisicamente al punto in cui i termini della barriera centrifuga in 1/ r 2 e il potenziale attrattivo "centripeto" in 1/ r sono bilanciati. H=-GMTμ2R=-G2MT2μ32L2{\ displaystyle H = - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2R}} = - {\ frac {G ^ {2} M_ {T} ^ {2} \ mu ^ {3}} {2L ^ {2}}}}12μr˙2{\ displaystyle {\ dfrac {1} {2}} \ mu {\ punto {r}} ^ {2}}tueff(r){\ displaystyle U _ {\ text {eff}} (r)}

È solo per questa minima energia meccanica che si può avere orbitando il mobile fittizio attorno al centro di forza alla distanza R (e quindi anche di un corpo "reale" attorno all'altro), un valore più basso porta alla "ricaduta" della particella fittizia sul centro di forza. Questa minima energia meccanica corrisponde ad un particolare valore della velocità v detta velocità minima orbitante o “prima velocità cosmica”. Infatti, secondo l'equazione delle forze viventi (10ter), quella per la traiettoria circolare di raggio R = ha velocità puramente ortoradiale e di valore costante dato da:

v1=GMTR{\ displaystyle v_ {1} = {\ sqrt {\ frac {GM_ {T}} {R}}}}, (11).

Nelle applicazioni (astronautiche), tale velocità è infatti indipendente dalla massa del corpo “satellite”, poiché la massa totale è quindi equivalente a quella della stella “centrale”.

Esempio: per la Terra, abbiamo almeno R = 6.400  km (superficie terrestre), che dà circa v 1 ≈ 7,9  km s −1 .

Caso di moto parabolico

Il moto parabolico è un caso limite di moto ellittico quando l'eccentricità e tende verso 1. Intuitivamente, ciò corrisponde ad un'ellisse sempre più allungata, il periastrone P si avvicina al fuoco F 1 , l'altro fuoco F 2 si trova "proiettato" sempre più lontano . Alla fine viene rifiutato all'infinito proprio come l'apoastro A , e l'ellisse si “apre” nel punto A per dare una parabola.

Parametri principali della traiettoria

Questo caso corrisponde a e = 1, e polare nella sede dell'equazione della traiettoria è quindi: . Il periasse P corrisponde a w = 0 e si trova alla distanza q = p / 2 dal fuoco F , e abbiamo per . La direzione ( FP ) è l'asse di simmetria della curva, e non c'è apocentro a distanza finita. r=p1+cos⁡w{\ displaystyle r = {\ frac {p} {1+ \ cos w}}}r→+∞{\ displaystyle r \ a + \ infty}w→π{\ displaystyle w \ a \ pi}

La figura a lato riassume le principali caratteristiche della traiettoria.

Aspetto energetico - velocità di rilascio

Secondo la relazione (10) e come indicato in precedenza, questo caso limite corrisponde a H = 0. In questo caso, l'energia cinetica totale è sempre uguale all'energia potenziale di gravitazione, cioè ad r dato :, segue immediatamente una semplice espressione della velocità sulla traiettoria in qualsiasi r , che corrisponde all'equazione delle forze vivido per il moto parabolico kepleriano:, (12). 12μv2=GMTμr{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ mu v ^ {2} = {\ frac {GM_ {T} \ mu} {r}}}v=2GMTr{\ displaystyle v = {\ sqrt {\ frac {2GM_ {T}} {r}}}}

Questa relazione corrisponde alla cosiddetta equazione delle forze vive trovata per il moto ellittico, relazione (10ter), con . a→∞{\ displaystyle a \ a \ infty}

Questo valore della velocità è massimo al periastrone situato alla distanza r = q , dove la velocità è puramente ortoradiale. La velocità di liberazione o “seconda velocità cosmica” è quindi definita per una data distanza R come . v2=2GMTR=2v1{\ displaystyle v_ {2} = {\ sqrt {\ frac {2GM_ {T}} {R}}} = {\ sqrt {2}} v_ {1}}

Questa è quindi la velocità minima che deve essere impartita (ortoradialmente) alla particella fittizia posta alla data distanza R dal centro di forza affinché possa "sfuggire" all'attrazione gravitazionale da essa esercitata. infinito, seguendo una traiettoria parabolica.

Esempio: per la Terra dalla sua superficie, abbiamo v 2 ≈ 11,2  km s −1 .

Concretamente, è possibile dare ad un oggetto come una sonda spaziale una traiettoria parabolica con fuoco il centro C di una data stella (come la Terra) e con un vertice un dato punto M nello spazio tale che R = CM comunicando al macchina una velocità di valore pari alla velocità di rilascio per R , e diretta perpendicolarmente alla direzione radiale ( CM ). Ciò si può benissimo fare partendo da un'orbita ellittica iniziale, partendo dal periastro: infatti, a questo punto la velocità della macchina è ortoradiale ed ha un valore massimo, sebbene la velocità di rilascio al periastrone sia superiore a quella al apostolo.

Caso di moto iperbolico

Parametri principali della traiettoria

Se e > 1, il valore di r tende all'infinito per , le due direzioni e , simmetriche rispetto all'asse maggiore ( FP ), definiscono gli asintoti sulla curva della traiettoria. I valori di w tali che corrispondono a valori negativi di r : è infatti l'altro ramo dell'iperbole, che verrebbe attraversato nel caso di un campo repulsivo (cfr diffusione Rutherford ). Fisicamente l'unico ramo coperto è quello più vicino a casa F . w∞=arcos⁡(-1e){\ displaystyle w _ {\ infty} = \ arccos {\ left (- {\ frac {1} {e}} \ right)}}w=w∞{\ displaystyle w = w _ {\ infty}}w=2π-w∞{\ displaystyle w = 2 \ pi -w _ {\ infty}}w∞<w<2π-w∞{\ displaystyle w _ {\ infty} <w <2 \ pi -w _ {\ infty}}

I due asintoti dell'iperbole si intersecano in un punto O dell'asse maggiore, centro di simmetria della curva matematica completa, con due rami. Possiamo definire un punto F ' simmetrico ad F rispetto a O che è il fuoco del secondo ramo dell'iperbole. Come per tutte le coniche, il periastrone P si trova alla distanza dal fuoco e costituisce il vertice della traiettoria. Possiamo definire un "apoastro" A corrispondente a w = p , e corrispondente al vertice del secondo ramo. Questo punto si trova alla distanza dal fuoco, essendo la distanza tra P e A corrispondente . Questo valore del "semiasse maggiore" a permette di scrivere , e , la distanza dal centro di simmetria O ad un punto focale essendo ae . q=p1+e{\ displaystyle q = {\ frac {p} {1 + e}}}Q=p|1-e|=pe-1{\ displaystyle Q = {\ frac {p} {\ sinistra | 1-e \ destra |}} = {\ frac {p} {e-1}}}2a=defQ-q=2pe2-1{\ displaystyle 2a {\ stackrel {\ text {def}} {=}} Qq = 2 {\ frac {p} {e ^ {2} -1}}}p=a(e2-1){\ displaystyle p = a (e ^ {2} -1)}q=a(e-1){\ stile di visualizzazione q = a (e-1)}Q=a(e+1){\ stile di visualizzazione Q = a (e + 1)}

La curva a lato riassume le caratteristiche della traiettoria mostrando due esempi di iperboli, con lo stesso parametro, uno con e = 2 e l'altro con e = 5.

Aspetti energetici - equazione delle forze viventi

E 'possibile dimostrare, come per il caso della traiettoria ellittica, una relazione tra H e il semiasse maggiore un dell'iperbole sopra definito. Infatti al periapsi P dove r = q = a ( e –-1) la velocità è puramente ortoradiale e l'energia meccanica H è espressa nella forma :, ma si ha , che dà per sostituzione nella precedente equazione : H=12μv2-GMTμq=L22μa2(e-1)2-GMTμa(e-1){\ displaystyle H = {\ frac {1} {2}} \ mu v ^ {2} - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {q}} = {\ frac {L ^ {2}} { 2 \ mu a ^ {2} (e-1) ^ {2}}} - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {a (e-1)}}}L2=GMTμ2p=GMTμ2a(e2-1){\ displaystyle L ^ {2} = GM_ {T} \ mu ^ {2} p = GM_ {T} \ mu ^ {2} a (e ^ {2} -1)}

H=GMTμa(e-1)(e-1)2-1){\ displaystyle H = {\ frac {GM_ {T} \ mu} {a (e-1)}} \ sinistra ({\ frac {e-1)} {2}} - 1 \ destra)}, o infine la relazione:, (13).H=GMTμ2a{\ displaystyle H = {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2a}}}

Questa relazione è identica a quella ottenuta per il moto ellittico, cambiando a in - a . Si ottiene quindi, procedendo come per il caso ellittico, l'equazione delle forze vive per il moto iperbolico:

v=GMT(2r+1a){\ displaystyle v = {\ sqrt {GM_ {T} \ sinistra ({\ frac {2} {r}} + {\ frac {1} {a}} \ destra)}}}, (14).

Illustrazioni vettoriali

Alcune animazioni che rappresentano le orbite di due corpi (dischi bianchi) attorno al baricentro (croce rossa).

Riferimenti

1. Ciò vale nel caso in cui le dimensioni dei due corpi siano molto ridotte rispetto alla loro distanza durante il movimento.
2. Questa approssimazione equivale a trascurare l'influenza di altri corpi, considerando l'importanza relativa delle loro azioni su ciascuno dei due corpi. Ad esempio per il movimento di un pianeta intorno al sole, l'interazione dominante è ovviamente quella della stella sul pianeta, possiamo almeno trascurare in prima approssimazione gli effetti delle interazioni degli altri corpi del sistema solare sia su il Sole che sul pianeta considerato. Tuttavia, dovrebbe essere preso in considerazione in modo perturbativo per una descrizione più completa.
3. In realtà due problemi a un corpo indipendenti, ma il moto del centro di inerzia è banale.
4. Per omoteità, è ovviamente lo stesso per quelli delle particelle reali M1 e M2 .
5. Tuttavia, se il movimento si dice degenere e si riduce ad una linea retta, la nozione di planarità della traiettoria non ha significatoL→=0→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = {\ overrightarrow {0}}}
6. Quest'ultima condizione non è assolutamente necessaria, si ottiene anche un bacino di potenziale, certamente infinito , con un potenziale spaziale armonico della forma con k > 0, ma questo esempio non verrà considerato in seguito.V(r)=12Kr2{\ displaystyle V (r) = {\ dfrac {1} {2}} kr ^ {2}}
7. Questo approccio minimo corrisponde distanza a zero velocità radiale ad una distanza finita.
8. In all'infinito, la velocità è puramente radiale: infatti, il termine ortoradiale è che in 1 / r 2 , e quindi tende verso 0 a grande distanza.
9. rigor di termini, il vettore Runge-Lenz è classicamente definito da .p→×L→-GMTμ2er→{\ displaystyle {\ overrightarrow {p}} \ times {\ overrightarrow {L}} - GM_ {T} \ mu ^ {2} {\ overrightarrow {e_ {r}}}}
10. Si tratta di un cambio di origine, che non rimette in discussione i risultati precedenti, in particolare il fatto che L = cte, poiché questo dipende solo dal valore della velocità angolare .θ˙=w˙{\ displaystyle {\ punto {\ theta}} = {\ punto {w}}}
11. Potremmo anche avere L = 0 per qualsiasi H , ma allora il parametro p è zero e non otteniamo più una parabola, ma semplicemente una "conica" degenerata a destra: vedi l'osservazione sopra sulla degenerazione del movimento. Questo banale caso non sarà preso in considerazione in seguito.
12. Qui confondiamo il centro della stella e il centro di massa del sistema {sonda - stella}, date le relazioni tra le masse dei due oggetti.

Libri utili:

• Dumoulin e Parisot, Astronomia pratica e informatica , Masson, Parigi, 1987.
• Perez, fisica corsi: meccanica - 4 °  edizione, Masson, Paris, 2001.
• Landau e Lifchitz, Cours de physique - Tome I: Mécanique , Ellipses - Marketing, Paris, 1994.

Su internet :

• Luc Duriez, Corso di meccanica celeste classica , Università Lille-I / IMCCE, 2002, molto completo, disponibile al seguente indirizzo in pdf: http://www.imcce.fr/fr/formations/cours/CoursMC_Duriez/mc/ CoursMCecr_Duriez. pdf .

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