La teoria delle equazioni è un insieme di lavori il cui obiettivo principale è la risoluzione di equazioni polinomiali o equivalenti. Tale equazione è scritta come segue:
dove X indica l' ignoto .
La "teoria delle equazioni" è un'espressione usata nella storia della scienza.
Lo studio di questo tipo di domande risale ai primi testi matematici conosciuti. Un primo approccio consente di risolvere l'equazione nel caso in cui il grado del polinomio sia strettamente inferiore a cinque . Fu durante il Rinascimento e con lo studio delle equazioni cubiche che furono usati nuovi numeri. Sono inizialmente qualificati come numeri immaginari e poi come numeri complessi . È solo più tardi che questi intervengono come soluzioni di equazioni di secondo grado .
Dai tempi moderni , il polinomio è anche considerato una funzione chiamata funzione polinomiale . Questo approccio offre metodi per determinare il numero di radici reali, per localizzare le radici (cioè trovare regioni in cui si trovano) e per fornire metodi di approssimazione precisi come desiderato. Uno dei suoi risultati è il teorema di d'Alembert-Gauss , che indica che una funzione polinomiale non costante ammette almeno una radice in numeri complessi.
Un punto di vista del XIX ° secolo è studiare il più piccolo insieme di numeri, stabile per le quattro operazioni, che contiene entrambi i coefficienti e le radici di una data equazione. Questo approccio fa parte della cosiddetta teoria di Galois . Offre una condizione necessaria e sufficiente per sapere se un'equazione polinomiale è risolta dalle tecniche descritte dal primo approccio, altrimenti ci si deve limitare alle approssimazioni risultanti dall'analisi. Fino al XIX ° secolo, la teoria delle equazioni coincide con l'algebra. Quindi, seguendo principalmente la teoria di Galois, l'algebra si allarga per tener conto di nuove domande. Questa teoria è all'origine di vasti campi della matematica, come la teoria dei gruppi , quella degli anelli o anche la geometria algebrica .
Nota : quando non specificato, il termine teoria delle equazioni si riferisce generalmente a equazioni polinomiali. D'altra parte, ci sono molte equazioni che, senza essere algebriche, sono tuttavia oggetto di una teoria. L'usanza quindi vuole che si specifichi la natura dell'equazione, come nella teoria dell'espressione delle equazioni differenziali . Non esiste una singola teoria che si applichi a tutti i tipi di equazioni, formano un insieme troppo disparato per questo.Fin da quando risalgono i testi conosciuti in matematica, ci sono domande che si esprimono, nel linguaggio contemporaneo, sotto forma di equazioni algebriche . Leggiamo, in un papiro da Egitto : "Quando lo scriba ti dice quello che 10 è 2/3 e 1/10? " Questo si traduce in 2/3 x + 1/10 x = 10. I problemi di secondo grado sono particolarmente studiati dai babilonesi . Il loro linguaggio è geometrica, il valore cercato , osservato qui x , si chiama lato e x 2 quadrato , ma la loro formulazione è spesso puramente algebrica. Possiamo leggere, su una tavoletta di argilla: "Ho aggiunto 7 volte il lato del mio quadrato e 11 volte l'area: 6 15 " , per descrivere (nella numerazione sessagesimale usata dai babilonesi) l'equazione 11 x 2 + 7 x = 6 + 15/60 = 25/4. Il significato geometrico della somma di un'area e di una lunghezza è ambiguo, ma nessun commento supporta un'interpretazione puramente algebrica della domanda (dei numeri moltiplicati e aggiunti). Non viene sviluppato alcuno strumento algebrico, non vi è alcun fattore sconosciuto che possa essere determinato utilizzando un metodo computazionale. Gli egiziani risolvono l'equazione di primo grado per tentativi successivi, utilizzando il metodo della falsa posizione ei babilonesi hanno algoritmi senza altra giustificazione se non empirica, vale a dire che alla fine il valore trovato è proprio la soluzione voluta.
Il primo stadio che si avvicina allo schema di una vera teoria richiede più di due millenni. È attraversata indipendentemente da tre culture matematiche: la Grecia , la civiltà araba e quella indiana . Diofanto , un matematico III ° secolo , formalizza l'arithme una lettera che egli definisce come: "Il numero che ha un numero illimitato di unità si chiama arithme, e il suo segno distintivo è σ. " L'aritmo aggiunge e moltiplica: " l'inverso dell'aritmo moltiplicato per il quadrato dell'aritmo dà il cubo dell'aritmo. " Significa in linguaggio moderno che x divide x 4 e il risultato è uguale ax 3 . Questo approccio consente una reale formulazione matematica dell'equazione e, soprattutto, un metodo di risoluzione. Prima Diophante di essere tradotto in arabo, Al-Khwarizmi , matematico di origine persiana, si sviluppa VIII ° secolo, una simile idea. Il suo sconosciuto è chiamato il dire ' . Ancora una volta, il nuovo formalismo offre un modo per risolvere l'equazione. R. Rashed indica: “[Con Al-Khwarizmi] la nozione di base è la nozione di equazione, che può coprire una classe infinita di problemi, geometrici o aritmetici: l'unità non è più l'oggetto ma la stessa operazione. " La stessa idea è ancora presente nel matematico indiano Bhāskara II nel suo testo intitolato Bījagaṇita .
I diversi metodi di risoluzione dei problemi di primo e secondo grado, con e senza il formalismo dell'equazione, sono presentati nell'articolo dettagliato.
Il matematico Al-Khawarizmi è spesso considerato il fondatore della branca della matematica chiamata algebra . In termini di etimologia, il titolo del suo trattato sulle equazioni: Kitâb al-jabr wa al-muqâbala usa il termine al-jabr , che è diventato algebra . In arabo, al-jabr mira "a trasformare una sottrazione in un membro in un'addizione nell'altro membro" con l'obiettivo di ottenere solo coefficienti positivi. Ad esempio: 2 x 2 + 100 - 20 x = 58 diventa seguendo questo processo: 2 x 2 + 100 = 58 + 20 x . A. Dahan-Dalmedico e J. Peiffer precisano che il lavoro di Al-Khawarizmi è: "il certificato di nascita di una teoria delle equazioni quadratiche, nell'insieme dei numeri positivi (quasi sempre razionali), una teoria che include ancora alcune lacune" . Non è solo l'etimologia che giustifica questa attribuzione ad Al-Khawarizmi: questa infatti è interessata a tutte le equazioni di secondo grado, mentre Diofanto cerca di risolvere solo pochi casi particolari, con soluzioni intere o razionali. Al-Khawarizmi ha un approccio più sistematico: l'obiettivo del suo trattato è di offrire un metodo che consenta di trovare senza fallo, se esiste, una soluzione dell'equazione.
Il progresso sulla teoria delle equazioni non si ferma ad Al-Khawarizmi. È all'origine di una scuola matematica che si sviluppa nell'arco di diversi secoli. Il suo discepolo Abu Kamil dissipa una prima apprensione. All'origine, le equazioni studiate sono quasi sempre con coefficienti razionali, Abu Kamil generalizza lo studio con coefficienti irrazionali. La concezione iniziale del numero tra gli arabi è ereditata dai greci ed è limitata alle frazioni. Le quantità incommensurabili , che corrispondono ai nostri irrazionali, sono proporzioni tra le lunghezze, ma non hanno lo status di numero. Al-Khawarizmi li chiama gidr asamm , che significa radice muta o cieca . Due secoli dopo, per matematici come Omar Khayyam , le frazioni o le proporzioni incommensurabili sono trattate nei calcoli allo stesso modo, entrambi i concetti sono chiamati al-adad , che significa numero (i razionali sono indicati con il termine al -adad al muntiqa e gli irrazionali con al-adad al-summa ), la differenza è solo filosofica.
Vengono sviluppati strumenti specifici per consentire un più facile calcolo delle moltiplicazioni polinomiali. Al-Samaw'al li nota sotto forma di una tabella che prefigura una rappresentazione vicina al concetto moderno di polinomio formale .
La geometria, e in particolare quella degli Elementi di Euclide , gioca un ruolo fondamentale in questa nascente algebra. Nel caso di un'equazione quadratica e dopo la divisione per il coefficiente del monomio dominante , il monomio quadratico può essere visto come l'area di un quadrato il cui lato è l'incognita che stiamo cercando. Nel caso dell'equazione di primo grado, interpretiamo il termine di primo grado come l'area di un rettangolo le cui dimensioni sono l'ignoto e il coefficiente del monomio; la costante viene interpretata come l'area di un quadrato perfettamente determinato. Questo approccio consente già a Euclide di risolvere problemi di primo e secondo grado. L'angolo di analisi degli arabi è diverso poiché cercano di risolvere un'equazione , in questo caso particolare, di secondo grado. Tuttavia il cuore della dimostrazione è lo stesso: un'analisi di una configurazione geometrica, costruita sulla base di uno gnomone . Metodicamente, lo studio dello gnomone permette di stabilire le tre identità notevoli che sono la fonte della risoluzione delle equazioni quadratiche.
L'approccio utilizzato per estendere la nascente teoria delle equazioni all'equazione cubica è ugualmente geometrico, ma questa volta con strumenti alquanto diversi. Al-Khayyām osserva che è possibile interpretare la radice dell'equazione cubica come l'ascissa dell'intersezione di un cerchio e una parabola , che già mostra l'uso di quello che chiameremo più tardi un sistema di coordinate cartesiane e permette di notare la possibile esistenza di più soluzioni. Due secoli dopo, sfruttando il progresso sia algebrico che geometrico, Nasir ad-Din at-Tusi sviluppò diversi strumenti nell'ambito dell'equazione cubica. Il discriminante gli permette di conoscere l'esistenza di radici positive in determinate situazioni, la derivazione formale gli permette di localizzare le radici e un metodo numerico, una variante di quello oggi denominato Ruffini-Horner , permette di avvicinarsi alla radice con la precisione voluta.
I metodi matematici utilizzati, così come questo ramo della storia della matematica, sono sviluppati nell'articolo dettagliato.
Attraverso i testi di Fibonacci o di Luca Pacioli , l'Italia ha accesso agli inizi del XVI ° secolo , nella maggior parte delle conoscenze araba. I matematici dell'epoca erano appassionati di algebra e, soprattutto, di un problema lasciato aperto: trovare un metodo generale ed esatto per risolvere l'equazione cubica. Per esatto, si intende una forma diversa di una sequenza che converge verso la radice. Questi matematici cercano un'espressione analoga a quella di Al-Khawarizmi per il secondo grado che, utilizzando radici quadrate o cubiche, darebbe la soluzione.
La feroce competizione che regna tra i vari matematici stimola i candidati e favorisce l'emergere di nuove idee. Scipione del Ferro trova come formula per risolvere l'equazione X 3 + aX = b :
.A. Dahan-Dalmedico e J. Peiffer specificano: "Fu per [...] causare grandi progressi nella teoria delle equazioni [...]" . A quel tempo, la formula era abbastanza sorprendentemente. Un calcolo algebrico è ancora giustificato da un supporto geometrico. Un numero deriva la sua giustificazione da una lunghezza, un'area o un volume. Il segno - ha senso solo se una lunghezza viene sottratta da una maggiore. Nella soluzione proposta da del Ferro sottraiamo una lunghezza da un'altra minore. In questo momento, la posta in gioco è raccogliere le sfide, vale a dire risolvere particolari equazioni, il rigore del metodo non ha importanza, purché sia finalmente possibile verificare il risultato sostituendo x nell'equazione con il soluzione presunta.
Rimane aperta una domanda: come risolvere l'equazione X 3 + a = bX , se 4 b 3 > 27 a 2 ? Questa volta il metodo sembra poco pratico perché la magnitudine negativa che appare dovrebbe corrispondere all'area di un quadrato (nel senso geometrico del termine). Tartaglia , uno degli specialisti dell'epoca in materia, descrive l'equazione come irriducibile . Alla fine, Cardano trova la soluzione: non interrompere i calcoli. Questi strani termini alla fine scompaiono; ad esempio applicando identità notevoli come:
È stato fatto un nuovo passo. Mentre il significato preciso dell'espressione √-1 rimane un mistero, viene scoperta l'idea di utilizzare un insieme più ampio di numeri per risolvere una domanda nella teoria delle equazioni. Allievo di Cardano, Ludovico Ferrari risolve l' equazione quartica , nel 1540 . Bombelli propone un formalismo che consente l'esistenza di numeri negativi e immaginari. La sua influenza, attestata dai commenti di Stévin o dalla corrispondenza tra Gottfried Wilhelm Leibniz e Huygens , è duratura.
L'articolo Metodo Cardanico presenta la soluzione, in termini contemporanei, dell'equazione cubica, e quella intitolata Metodo Ferrari quella di quarto grado.
L'inizio di una vera e propria teoria delle equazioni è generalmente attribuita a Vieta , matematico francese della fine del XVI ° secolo. Se si rifiuta ancora di considerare le anticipazioni di Bombelli, cioè i numeri negativi o immaginari, ottiene comunque tre grandi progressi.
Probabilmente la più famosa è quella che chiama logica speciosa e che ora viene definita calcolo letterale. Viète combina due usi delle lettere in matematica. Questo algebra si sta diffondendo e perfezionato in Europa durante il XVI ° secolo, ma già apparso in Diofanto: una lettera aggiunge o si moltiplica e si comporta come uno sconosciuto in un'equazione. Quello della geometria è attuale fin dall'antichità: una lettera designa una quantità o un oggetto non specificato, punto, linea, distanza tra due punti su una figura ... I principi generali di risoluzione delle equazioni possono essere stabiliti solo con la geometria che usa, come la utilizzo di gnomoni per identità notevoli, poi illustrato da esempi di equazioni polinomiali a coefficienti numerici, che Viète considera appartenere alla logica numerica . Viète ha introdotto una seconda categoria di lettere per i coefficienti. Anche questi sono valori considerati fissi, anche se non li conosciamo: questo è ora chiamato parametro . Trasportando all'algebra un'antica abitudine geometrica, Viète crea una logica speciosa . Questo nuovo approccio equivale a considerare un'equazione come un'espressione del tipo: aX 2 + bX = c . Riuscire a risolvere questa equazione significa riuscire a risolvere tutte le equazioni quadratiche, un unico caso generale di logica speciosa permette di trattare un'infinità di casi particolari risultanti dalla logica numerica.
A questo primo contributo Viète aggiunge lo sviluppo di un linguaggio simbolico che consenta di esprimere più semplicemente un'espressione polinomiale. Le idee di Viète consentono un'espressione più chiara di quella dei suoi predecessori. Parte del suo vocabolario è ancora attuale: gli dobbiamo il termine coefficiente oltre a quello di polinomio .
Questo formalismo permette di esprimere i primi risultati generali, nel senso che sono indipendenti dal grado del polinomio, come la relazione tra i coefficienti e le radici di un polinomio .
Il sistema di rating di Viète viene ripreso da Fermat e Descartes , secondo Nicolas Bourbaki , diventa “più o meno quello che usiamo oggi. " Questo lavoro consente un capovolgimento della gerarchia matematica. Fino a Viète, la teoria delle equazioni era necessariamente un'emanazione della geometria. L'unico metodo di dimostrazione generico si basa sugli elementi di Euclide e i calcoli chiave, come le identità notevoli, vengono stabiliti utilizzando considerazioni geometriche. Il calcolo letterale consente di liberare l'algebra da questi vincoli. Per Cartesio, l'algebra, aggiunta all'uso di un sistema di coordinate cartesiane , diventa una macchina per dimostrare teoremi geometrici. È un ' “estensione della logica, priva di significato in sé, ma indispensabile per la gestione delle quantità e, in un certo senso, anche più fondamentale della geometria. "
La seconda metà del XVII ° secolo, è il momento di un terremoto chiamato calcolo . Lo studio delle traiettorie e dei movimenti, derivanti dalla fisica , è all'origine di nuove idee. Per questo studio, Isaac Newton cerca di modellare l'idea di variabile usando il concetto di tempo, che definisce fluente : "Chiamerò fluente quantità , o semplicemente fluente , quelle quantità che considero essere aumentate gradualmente e indefinitamente., e li rappresentare dalle ultime lettere dell'alfabeto v , x , y e z ” .
Visto dal punto di vista della teoria delle equazioni, ciò equivale a sostituire la X delle formule usate a partire da Diofanto, con una x che diventa una quantità che varia da meno a più infinito. Il polinomio diventa una funzione chiamata funzione polinomiale e come tale gode di nuove proprietà. Gli strumenti associati al calcolo infinitesimale sono il limite , la derivata o l' integrale . Nel 1691 , Michel Rolle li utilizzato per stabilire un teorema , indicando che se un e b sono due radici di un polinomio P che è non costantemente nullo, esiste un valore c compresa nell'intervallo] un , b [radice del polinomio derivato da P , restituendo un risultato di Bhaskara e Sharaf al-Din al-Tûsîau del XII ° secolo . Un'altra applicazione è la scoperta di Newton per il calcolo delle radici, chiamata metodo di Newton . Consiste nello scegliere inizialmente un valore, nel calcolare la tangente del polinomio in questo valore, nel trovare la radice della tangente e nel reiterare.
Se questi risultati apportano nuovi elementi alla teoria delle equazioni, non ne fanno parte in senso proprio. Newton sviluppa il suo metodo per i polinomi, ma non è in alcun modo specifico per loro e consente di approssimare uno zero di qualsiasi funzione derivabile, di cui Newton viene a conoscenza poiché applica il suo metodo a funzioni non polinomi. Il teorema di Rolle è ormai generalizzato a qualsiasi funzione differenziabile, sebbene la dimostrazione di questa data risale al 1860 . Altri risultati dello stesso tipo come il metodo di Ruffini-Horner per approssimare una radice o il teorema Sturm per individuare la presenza di una soluzione in un intervallo sono sviluppati nel XIX ° secolo.
I numeri immaginari nascono in un'ambiguità che il calcolo infinitesimale finisce per dissipare. Per Bombelli, un numero immaginario è una lunghezza geometrica a cui è stato aggiunto uno dei quattro segni possibili: la maggior parte delle lunghezze reali , la minore, così come altre due che chiama più di meno e meno di meno che corrispondono a le nostre notazioni a i e -i . C'è un'altra definizione, più generale ma più vaga, che ci viene da Descartes. Ha usato per la prima volta il termine immaginario nel 1637 . Per esprimere le relazioni tra i coefficienti e le radici, evidenziate da Viète, a volte è necessario fare appello a numeri impossibili o perché sono " meno di niente " che non ha senso per una lunghezza, o perché sono impossibili . Queste radici devono poi essere immaginate, sono "[...] a volte solo immaginarie, vale a dire che si può sempre immaginare quanto ho detto in ogni equazione, ma che a volte non c'è quantità che corrisponda a ciò che noi immagina " . Queste due definizioni non sembrano essere equivalenti. In un caso, i numeri immaginari sono definiti come complessi della forma a + i. b , nell'altro, un numero immaginario è tutto ciò che potrebbe essere utilizzato per calcoli intermedi di un'equazione algebrica. A. Dahan-Dalmedico e J. Peiffer descrivono questa doppia definizione come segue: “Dalla sua origine, un'ambiguità presiede alla comparsa di questo termine immaginario: tra da un lato il significato ideale di Cartesio o anche di Girard e, di ' dall'altro i numeri di forma a + b √-1, con a , b reali, che intervengono nelle soluzioni di equazioni di basso grado ” .
Il calcolo infinitesimale incoraggia la scelta di una definizione precisa e permette di risolvere gli apparenti paradossi di questi strani numeri. La radice quadrata ha una proprietà algebrica, se un e b sono due reali positivi, √ una .√ b = √ ab , quindi un primo paradosso:
.Attraverso sviluppi seriali , Gottfried Wilhelm Leibniz riesce a giustificare legami Bombelli come:
.Il lavoro di De Moivre evidenzia una corrispondenza tra l' immaginario di Bombelli e la trigonometria . La formula di Eulero e iπ + 1 = 0 dà al loro albero genealogico i numeri complessi della forma a + ib . Tobias Danzig osserva che questa formula contiene: “i simboli più importanti: unione misteriosa in cui l'aritmetica è rappresentata da 0 e 1, l'algebra da √-1, la geometria da π e l'analisi da e . " La logica di Bombelli è finalmente adottata.
Se questi lavori non sono legati all'algebra o alla teoria delle equazioni , sono comunque essenziali per comprenderne la storia e il contenuto.
Lo status recente acquisito da questi numeri immaginari impone la dimostrazione di un teorema: ogni polinomio non costante ammette almeno una radice complessa . Si capisce quindi che i coefficienti sono numeri reali. Fu Jean le Rond d'Alembert a esprimere per primo la necessità nel 1746 . La sua motivazione non è in alcun modo algebrica, desidera integrare funzioni razionali e per questo utilizza una scomposizione in elementi semplici . La sua dimostrazione nasce dalle sue preoccupazioni, è puramente analitica.
La domanda viene subito considerata importante, e questo risultato prende il nome di teorema fondamentale dell'algebra . Il termine è coerente perché algebra designa, a quel tempo, la teoria delle equazioni . Ma la prova di d'Alembert non fa appello. Innanzitutto assume due risultati noti, l'esistenza di un minimo per una funzione continua definita su un compatto ; poi un teorema di convergenza in serie, ora chiamato teorema di Puiseux . L'assenza di tecniche topologiche e di conoscenze sulla convergenza rese all'epoca impossibile una dimostrazione completa. In secondo luogo, l'uso esclusivo dell'analisi non sembra essere il metodo più adeguato per dimostrare il risultato fondamentale della teoria delle equazioni .
Euler affronta la questione da un angolo algebrico, eredità di al-Khawarizmi e Viète. Il suo obiettivo è mostrare che le radici, nel senso di Descartes, sono davvero numeri complessi nel senso di Bombelli. Nel caso del grado 4 la sua dimostrazione è rigorosa ma inutile, le formule Ferrari già stabiliscono il risultato. Per gli altri casi, la dimostrazione è solo abbozzata. Lagrange colmò le lacune nel 1771 .
Questo approccio algebrico non convince Gauss che indica: “l'assunto di base della dimostrazione è che ogni equazione ha effettivamente n radici possibili o impossibili. Se intendiamo per possibilità reali e per impossibile, complesso , questo assioma è inammissibile poiché è proprio ciò che si tratta di dimostrare. Ma se si comprende per quantità possibili reali e complesse e per impossibile tutto ciò che manca per avere esattamente n radici, questo assioma è accettabile. Impossibile allora significa quantità che non esiste nell'intero dominio delle grandezze. " Niente ancora aiuta effettivamente a dare un senso come Cartesio alle radici, che sono tuttavia utilizzate nei calcoli di Lagrange.
La prima dimostrazione di Gauss è costruita sulla struttura di d'Alembert, ma la comprensione delle funzioni continue è ancora troppo debole per consentire una conclusione. Il lavoro di Bolzano finì per permettere a Jean-Robert Argand di scrivere la prima solida dimostrazione, sempre sulle idee di d'Alembert. Gauss trova una prova poco dopo, questa volta sulla tela di Eulero e Lagrange. La sua comprensione dei polinomi formali gli consente di trovare una soluzione alternativa. Come tutte le dimostrazioni algebriche del teorema, contiene una parte analitica, ovvero l'esistenza di una radice se il grado del polinomio è dispari.
L'articolo dettagliato si riferisce più precisamente a questa parte della storia e offre varie prove del teorema.
Se la scoperta del calcolo infinitesimale consente alcune scoperte, difficilmente sono algebriche , e come tali entrano solo parzialmente nella teoria delle equazioni . I matematici, con i successi di equazioni di grado inferiore a quattro, si sono sforzati di trovare formule analoghe a quelle di al-Khawarizmi, Cardano o Ferrari, ma questa volta a qualsiasi grado. Diversi tentativi, provenienti da Tschirnhaus (un amico di Leibniz ) poi da Euler e infine da Bézout , si sono conclusi con un fallimento.
I quadri sono simili, l'obiettivo è ridurre un'equazione di grado n ad una forma canonica X n - c = 0. Da questa forma canonica l'equazione non è ancora completamente risolta ma il lavoro di Moivre in trigonometria permette di scrivere una soluzione x k , se c è positivo:
.Per questo, il metodo consiste nel passare da un'equazione con uno sconosciuto P ( X ) = 0 a due equazioni con due incognite aggiungendo quanto segue: Q ( X ) - Y = 0. Scegliendo abilmente il polinomio Q , sarebbe - è possibile annullare i coefficienti intermedi? Per n uguale a 2, 3 o anche 4, questo metodo equivale a risolvere un'equazione di grado inferiore, che si risolve con i metodi precedenti. Ma con n uguale a 5, l'equazione da risolvere è di grado 120, e se possiamo ridurre il suo grado a 24 con altri artifici, il metodo non è certo conclusivo.
Il punto nero della teoria rimane la risoluzione effettiva dell'equazione polinomiale.
Nel 1771 , Alexandre-Théophile Vandermonde ha portato qualcosa di nuovo a questo delicato punto nero. La sua ambizione è più modesta di quella dei suoi predecessori. Non cerca più di risolvere l'equazione algebrica nella sua interezza, ma solo quella che i tentativi precedenti cercavano come punto finale, ovvero X n - c = 0 . Poiché il passaggio dal coefficiente 1 al coefficiente c è banale, è limitato all'equazione X n - c = 0 , chiamata ciclotomica. Il valore n può essere scelto tra i numeri primi , la risoluzione di questo caso particolare permette di dedurre le soluzioni nel caso generale.
È nota un'espressione trigonometrica della soluzione, che assicura che le n radici dell'equazione siano effettivamente complesse e in questo caso particolare, il teorema fondamentale dell'algebra è già stabilito. Dobbiamo ancora trovare una formula algebrica in grado di esprimerli. Per formula algebrica si intende un'espressione contenente numeri razionali, l' unità immaginaria i , le quattro operazioni e funzioni radici n- esima . Il termine stabilito è la risoluzione radicale dell'equazione algebrica .
Il metodo di Vandermonde consiste nell'utilizzare polinomi in più indeterminati , e in particolare polinomi simmetrici , cioè quelli invarianti da qualsiasi permutazione degli indeterminati. La relazione tra i coefficienti e le radici può essere letta come il fatto che n polinomi simmetrici con n indeterminato hanno un'immagine nota della n- tripla delle radici, queste immagini sono i coefficienti del polinomio. Questo risultato è una riformulazione di un'osservazione di Viète. L'interesse è che questi n polinomi simmetrici generano tutti i polinomi simmetrici. Inoltre le immagini sono particolarmente semplici per il polinomio ciclotomico, sono tutte nulle, tranne quella associata al polinomio X 1 ... X n , che è uguale a ± 1 secondo la parità di n . Infine, se le radici sono annotate nell'ordine trigonometrico ξ 0 = 1, ξ 1 , ξ 2 ..., ξ n troviamo che, ξ j • ξ k = ξ j + k se j + k < n , e ξ n - j - k altrimenti.
Il metodo di Vandermonde consiste nel calcolare somme parziali di radici, che possono essere espresse come immagini di funzioni razionali in polinomi simmetrici. Ciò consentirebbe di calcolare le sue somme parziali, quindi di applicare una nuova scomposizione di ciascuna somma in sotto-somme e di calcolare queste sotto-somme. Ribadendo, spera di ottenere somme secondarie composte ciascuna da un'unica radice e di concludere. Questo metodo consente di risolvere il caso in cui n è uguale a 11, ma un metodo generico rimane fuori dall'ambito. Tuttavia, ha risolto un'equazione di 11 ° grado che non aveva una fattorizzazione evidente oltre a quella associata al termine ( X - 1).
Per risolvere l'equazione ciclotomica di qualsiasi grado, c'è ancora un problema combinatorio. Come associare le radici per fare somme parziali, soluzioni di equazioni di grado minore? Problema che Vandermonde non risolve. L'articolo dettagliato propone una risoluzione per i gradi 5 e 17.
Nella sua tesi del 1771, Lagrange effettua una sintesi di tutti i metodi utilizzati in passato per risolvere l'equazione algebrica di piccolo grado. Con l'aiuto di questa sintesi, sviluppa un metodo, che si applica ai gradi 2, 3 e 4. Mostra inoltre che questo metodo non può avere successo nel caso generale se il grado è più alto. Il suo approccio, anche se si è concluso con un fallimento, è per molti versi un vero passo avanti.
Prima di tutto, il metodo è abbastanza generale che tutti i tentativi precedenti sono solo suoi casi speciali. Pone così fine all'era dei metodi empirici di Tschirnchaus o Eulero, necessariamente destinati al fallimento.
Riprende l'idea di Vandermonde di utilizzare funzioni simmetriche nonché le relazioni tra i coefficienti e le radici e mostra l'importanza di n ! permutazioni delle radici per la risoluzione del caso generale. A questo proposito, stabilisce due teoremi che prefigurano la teoria dei gruppi. Il primo è che il n ! permutazioni di un n -tuple hanno come immagine per una funzione di n variabili un insieme di cardinali un divisore di n !. Questo risultato è un antenato di quello che oggi viene chiamato il teorema di Lagrange sui gruppi . Il secondo riguarda le funzioni che egli qualifica come simili e che sono invarianti dallo stesso sottogruppo di permutazioni. Questo risultato anticipa i teoremi sulle sequenze di sottogruppi che si trovano nella teoria di Galois o nel Teorema di Jordan-Hölder . La conclusione di Lagrange è pessimistica: "da cui segue che, se la risoluzione algebrica di equazioni di gradi maggiori del quarto non è impossibile, deve dipendere [...]" L'idea di una impossibilità di risoluzione algebrica dell'equazione è rilasciato. Il percorso viene tracciato, o per trovare un metodo generale di risoluzione, o per mostrare l'inesistenza di un tale metodo. La soluzione sta in un'analisi combinatoria delle possibili permutazioni delle radici. La conclusione è analoga a quella di Vandermonde per il polinomio ciclotomico, ma questa volta resta valida nel caso generale.
Parallelamente al lavoro di Vandermonde e Lagrange, gli sviluppi dell'analisi hanno fatto perdere molto interesse al problema secolare della risoluzione di un'equazione. Ai tempi della matematica araba, questa soluzione era un metodo di calcolo numerico essenziale. Al-Buruni voleva risolvere l'equazione cubica per calcolare i seni di terzi di angolo già noti. Dagli albori del XIX ° secolo, fornisce un'analisi dei metodi più efficaci per calcolare le radici. I risultati di Lagrange mostrano che ci vorranno di più, o molti calcoli o una grande idea, per porre fine a questa domanda. Inoltre, è molto probabile che prenda la forma di un'osservazione del fallimento, poco promettente in termini di progresso in matematica. Questo ambiente non è favorevole per motivare matematici già rinomati altrove.
Gauss apre il secolo successivo fornendo alcune risposte alle domande di Vandermonde e Lagrange. Il progresso nella teoria delle equazioni presuppone la scelta di funzioni razionali “buone”, invarianti da certe permutazioni delle radici. Lagrange lo ha mostrato chiaramente e Vandermonde ha ipotizzato che debbano esistere per l'equazione ciclotomica. Il numero di permutazioni aumenta rapidamente in funzione del grado n del polinomio, esiste un fattoriale n , che è già 120 per il grado 5. L'approccio casuale imporrebbe una quantità di calcolo rapidamente proibitiva. Gauss tiene conto di questa conoscenza e cambia radicalmente i metodi di analisi.
Non affronta il problema generale, ma solo l'equazione ciclotomica, che chiama "la teoria della divisione del cerchio" . Il suo metodo prefigura l'approccio chiave del XIX ° secolo, ancora in vigore. Invece di studiare direttamente il polinomio, analizza la struttura dell'insieme di polinomi provvisti della sua addizione e della sua moltiplicazione . Questa struttura ha punti in comune con quella degli interi, conclude che questo ramo della matematica “non appartiene di per sé all'aritmetica, ma i suoi principi possono essere tratti solo dall'aritmetica trascendente. Questo risultato può sembrare ai geometri tanto inaspettato quanto le nuove verità che ne derivano. " . Per aritmetica trascendente, Gauss intende quella che ora viene chiamata teoria dei numeri algebrica . In termini contemporanei, l'analogia nasce dal fatto che se i coefficienti sono scelti da un campo commutativo , l' anello dei polinomi e quello degli interi sono entrambi euclidei . Considererà gli insiemi di polinomi scegliendo i coefficienti più diversi. Il caso in cui siano numeri interi lo porta a provare un lemma che porta il suo nome , mostrando il carattere fattoriale di questa struttura. Usa una delle sue scoperte, l'aritmetica modulare, e lavora anche su polinomi con coefficienti su campi finiti . Questo approccio impone l'uso del polinomio formale a scapito della funzione polinomiale , dando così il posto d'onore alla concezione di Viète del polinomio.
Per “scegliere” le giuste permutazioni, Gauss nota che sono legate alla struttura del gruppo moltiplicativo di radici, o più esattamente a quella dei suoi automorfismi . Nel caso del polinomio ciclotomico, le radici sono le radici n- esime dell'unità e formano un gruppo commutativo . A differenza di Lagrange, percepisce l'importanza della legge del gruppo, che consente di combinare i diversi elementi, mentre Lagrange si limita a un semplice conteggio. Questa operazione si traduce in somme gaussiane , che permettono di trovare le somme parziali immaginate da Vandermonde. Ne approfittò per risolvere una congettura che Eulero e Legendre avevano tentato invano di dimostrare : la legge della reciprocità quadratica .
Se Gauss avanza nella teoria delle equazioni, il suo obiettivo è tuttavia diverso; scopre una connessione inaspettata tra la teoria dei numeri e la teoria delle equazioni.
La possibile impossibilità di risoluzione da parte dei radicali del caso generale sta guadagnando terreno. Paolo Ruffini pubblicò quattro memorie su questo argomento, nel 1799 , nel 1804 e poi nel 1808 e nel 1813 . Per la prima volta questa impossibilità viene dichiarata chiaramente. Il suo tentativo di dimostrarlo segue l'approccio di Lagrange e consiste nel mostrare che l'uso di un'equazione ausiliaria non consente, per il grado 5, di abbassare sistematicamente il grado dell'equazione iniziale. Afferma che, se una funzione simmetrica di cinque variabili prende rigorosamente meno di cinque valori per permutazioni delle variabili, allora non ci vuole più di 2. Pertanto, se il metodo di Tschirnhaus funzionasse, ridurrebbe un'equazione di quinto grado a un'equazione di secondo grado, che non è possibile nel caso generale. Questo approccio è incompleto. Nulla indica che un approccio radicalmente diverso da quelli descritti da Lagrange non possa avere successo.
Per concludere definitivamente, bisognava ragionare diversamente da come avevano fatto Lagrange o Ruffini. Niels Abel la mette in questo modo: “[...] abbiamo deciso di risolvere le equazioni senza sapere se fosse possibile. In questo caso si potrebbe benissimo arrivare alla risoluzione, anche se non era affatto certo [...] Invece di chiedere una relazione di cui non si sa se esista o meno, ci si deve chiedere se tale relazione esiste un possibile effetto. » Nel 1826 , Abele parte dal risultato e suppone che esista una formula, una funzione razionale dei radicali, che dà la soluzione di un'equazione di grado 5. Sa che è in grado di esprimere 5 radici diverse e che 'di conseguenza, ha un comportamento preciso rispetto alle permutazioni delle variabili, già studiato da Vandermonde, Lagrange poi Cauchy . Mostra che questo comportamento introduce un'assurdità.
Questo risultato è ancora molto poco conosciuto in questo momento. Il suo articolo, comunque inviato a Gauss, Legendre e Cauchy, non interessa a nessuno. Gauss, che Abele desidera incontrare nella sua città di Gottinga, non lo riceve. Da un punto di vista teorico, il risultato di Abele appare innanzitutto come la morte della teoria delle equazioni , almeno nella sua forma classica, e l'interesse a investire in un ramo condannato sembra limitato. E poi, a che serve voler esprimere le radici sotto forma di radicali? In termini algebrici, come sottolinea Gauss, è più semplice denotare le radici x 1 ..., x n e l'espressione come radicali è un po 'datata. In termini di calcolo numerico, questo metodo è macchinoso rispetto a quanto consentito dall'analisi. Per rendersene conto, basta guardare l'espressione della parte reale di una delle radici dell'equazione X 17-1 = 0, trovata da Gauss:
.Abel ha trovato una prima notorietà solo postuma, con il suo lavoro sugli integrali ellittici , e non con il suo lavoro sulla teoria delle equazioni.
Évariste Galois è nato nel 1811 , otto anni dopo Abel. Aveva solo 14 anni quando fu pubblicato il teorema del suo predecessore. Quando trova una nuova demo, probabilmente non è a conoscenza dell'articolo di Abel. Certamente, il suo approccio è diverso. Entra più nella tradizione di Gauss che in quella di Lagrange o Cauchy. È interessato alle permutazioni che lasciano tutti i polinomi in diversi invarianti indeterminati, applicati alle radici, proprio come Lagrange, Cauchy o Abel. Tuttavia, come Gauss, concentrò i suoi sforzi sullo studio della legge di composizione, specificò: "nel gruppo di permutazioni qui in questione, la disposizione delle lettere non deve essere considerata, ma solo le sostituzioni di lettere con cui si passa da una permutazione all'altra ” . Dà il nome di gruppo formale a questa struttura, che considera incarnata da permutazioni, ma che ha anche un'esistenza astratta . A differenza di Gauss, non studia il caso particolare dell'equazione ciclotomica, il cui gruppo è molto semplice perché ciclico , ma il caso generale.
Usando questo strumento ora chiamato gruppo di Galois , il matematico stabilisce tre risultati, il teorema dell'elemento primitivo , il teorema fondamentale della teoria di Galois e una nuova versione del teorema di Abel, più profonda della precedente, poiché fornisce una condizione necessaria e sufficiente di risolubilità . G. Verriest descrive il lavoro del matematico nei seguenti termini: "[...] il colpo di genio di Galois è di aver scoperto che il nocciolo del problema non sta nella ricerca diretta delle quantità da sommare, ma nello studio della natura del gruppo dell'equazione. Questo gruppo [...] esprime il grado di radici indistinguibili [...]. Non è quindi più il grado di un'equazione che misura la difficoltà di risolverlo, ma è la natura del suo gruppo. " Un po 'come i pensieri di Lagrange, questi tre teoremi sono proprio intorno alla teoria delle equazioni. Ma oltre a comprendere i metodi del passato, Galois offre anche una visione che ci permette di comprendere la natura di qualsiasi equazione algebrica, risolvibile o meno.
L'accoglienza che riceve è ancora più fredda di quella di Abele. Questa volta Cauchy non dimentica l'articolo che gli ha inviato Galois, ma lo perde del tutto . Una nuova presentazione del suo lavoro sulle equazioni ellittiche provoca il seguente commento: “il ragionamento non è sufficientemente chiaro, né sufficientemente sviluppato per permettergli di giudicare il suo rigore. "
Le espressioni "inventore" o "padre" dell'algebra moderna sono spesso usate per denotare Galois. Alain Connes , specialista del settore, precisa: "Galois, all'età di 19 anni, ha già al suo attivo risultati matematici di incomparabile portata che sono l'atto di nascita della matematica contemporanea" . Per capire il motivo di tale collegamento una, vale la pena di guardare a ciò che l'algebra metà del XIX ° secolo. Nel 1854 , Serret pubblicò un libro Cours d'Algèbre Supérieur che definì "Algebra è, in senso stretto, l'analisi delle equazioni, le varie teorie parziali che include si riferiscono tutte, più o meno, a questo oggetto principale. " Questa visione, che già confermato Al-Khayyam nel suo grande trattato scritto nel XI ° secolo , era dai tempi di Gauss e Galois già diventato obsoleto.
Dal momento che Al-Khwarizmi e fino alla fine del XVIII ° secolo , le equazioni della teoria è una teoria formule. I maestri arabi, così come quelli del Rinascimento italiano, procedono da questa logica per risolvere le equazioni dei gradi bassi, o come per l'aiuto di un discriminante, stabiliscono l'esistenza di radici multiple. Il linguaggio di Viète in ultima analisi serve solo ad esprimerli meglio, il che permette di trovare altre formule come le relazioni tra coefficienti e radici. Lagrange entra in questa tradizione nelle sue riflessioni , anche se finalmente ne stabilisce la casualità e il carattere avventuroso per i gradi superiori.
La logica di Galois rompe con questa eredità millenaria. Liouville , che lo ha riscoperto 11 anni dopo la morte del suo autore, lo ha presentato all'Académie des Sciences con le seguenti parole: “Questo metodo, veramente degno dell'attenzione dei geometri, basterebbe da solo a garantire al nostro connazionale un grado sul campo, l'esiguo numero di scienziati che si sono guadagnati il titolo di inventore. “ Queste sono soprattutto le strutture che Galois mette in evidenza. Il primo, già accennato, è quello di un gruppo. La riscoperta delle idee di Galois la pone in primo piano: Cauchy non pubblica meno di venticinque articoli su questa questione dopo la presentazione di Liouville, uno dei quali porta ancora il suo nome . Nel 1870 , Camille Jordan pubblicò un libro che presentava il lavoro di Galois essenzialmente come una teoria sui gruppi. Un altro aspetto non è trascurato. In Galois, gli elementi del gruppo sono anche simmetrie di uno spazio geometrico. Questo angolo di analisi, che ora è considerato algebra lineare, è una delle idee fondanti sviluppate nel libro di Jordan. Questi aspetti strutturali, attraverso l'analisi dei divisori della dimensione di uno spazio vettoriale , è il modo più semplice per dimostrare congetture vecchie di diverse migliaia di anni, ovvero la trisezione dell'angolo o la duplicazione del cubo . Il titolo del libro di Jordan Treatise on Algebraic Substitutions and Equations è a questo proposito evocativo: il termine sostituzione è, infatti, quello usato all'epoca per designare una mappa lineare . Più tardi, alla fine del XIX ° secolo, in seguito ai lavori di Dedekind e Kronecker , Weber identifica Galois teoria del corpo commutativa che .
La logica strutturale inventata da Galois è all'origine di un profondo cambiamento, non interessa solo il perimetro della teoria delle equazioni che diventa algebra nel senso contemporaneo del termine, ma tutta la matematica.