Somma gaussiana

In matematica , e più precisamente in aritmetica modulare , una somma di Gauss è un numero complesso la cui definizione utilizza gli strumenti dell'analisi armonica su un gruppo abeliano finito sul campo finito ℤ / p ℤ dove p indica un numero primo dispari e ℤ l'insieme di interi relativi .

Furono introdotti dal matematico Carl Friedrich Gauss nelle sue Disquisitiones arithmeticae , pubblicate nel 1801 .

Sono usati nella teoria dei polinomi ciclotomici e hanno molte applicazioni. Si può citare ad esempio una dimostrazione della legge di reciprocità quadratica .

Definizione

In questo articolo, p indica un numero primo dispari, F p il campo finito ℤ / p ℤ e F p * il gruppo moltiplicativo dei suoi elementi diversi da zero .

Sia ψ un carattere del gruppo additivo ( F p , +) e χ un carattere del gruppo moltiplicativo ( F p *, ∙), allora la somma di Gauss associata a χ e ψ è il numero complesso, qui annotato G (χ , ψ) e definito da:

G (\ chi, \ psi) = \ sum _ {{x \ in {\ mathbb F} _ {p} ^ {*}}} \ chi (x) \ psi (x).

In termini di trasformata di Fourier , possiamo considerare la mappa che a χ associa G (χ −1 , ψ) come la trasformata di Fourier del prolungamento di χ a F p per l'uguaglianza χ (0) = 0 e la mappa che a ψ associa G (χ −1 , ψ) come trasformata di Fourier della restrizione da ψ a F p *.

Proprietà

L'analisi armonica consente molti calcoli su somme gaussiane; questo paragrafo offre alcuni esempi.

Se m è un numero primo intero per p , allora $G (\ chi, \ psi ^ {m}) = {\ frac 1 {\ chi (m)}} G (\ chi, \ psi).$
Se i due caratteri χ e ψ non sono banali , cioè non costantemente uguali a 1, allora $G (\ chi, \ psi) G (\ chi ^ {{- 1}}, \ psi) = \ chi (-1) p.$

Dimostrazioni

Se m è un numero primo intero per p , allora $G (\ chi, \ psi ^ {m}) = {\ frac 1 {\ chi (m)}} G (\ chi, \ psi).$ In effetti, la definizione di somma di Gauss implica: $G (\ chi, \ psi ^ {m}) = \ sum _ {{k \ in {\ mathbb F} _ {p} ^ {*}}} \ chi (k) \ psi (mk).$ Modificando la variabile u = mk , abbiamo quindi: $G (\ chi, \ psi ^ {m}) = \ sum _ {{u \ in {\ mathbb F} _ {p} ^ {*}}} \ chi (m) ^ {{- 1}} \ chi (u) \ psi (u) = {\ frac 1 {\ chi (m)}} G (\ chi, \ psi).$
Se i due caratteri χ e ψ non sono banali, allora $G (\ chi, \ psi) G (\ chi ^ {{- 1}}, \ psi) = \ chi (-1) p.$ In effetti, la definizione di somma di Gauss implica: $G (\ chi, \ psi) G (\ chi ^ {{- 1}}, \ psi) = \ sum _ {{k, l \ in {\ mathbb F} _ {p} ^ {*}}} \ chi (k) \ psi (k) \ chi (l) ^ {{- 1}} \ psi (l) = \ sum _ {{k, l \ in {\ mathbb F} _ {p} ^ {*} }} \ chi (kl ^ {{- 1}}) \ psi (k + l).$ Modificando la variabile u = kl −1 , otteniamo: $G (\ chi, \ psi) G (\ chi ^ {{- 1}}, \ psi) = \ sum _ {{u \ in F_ {p} ^ {*}}} \ chi (u) \ left ( -1+ \ sum _ {{l \ in {\ mathbb F} _ {p}}} \ psi ((u + 1) l) \ right).$ Tuttavia, la somma dei valori del carattere additivo l ↦ ψ (( u + 1) l ) è zero tranne quando questo carattere è banale, cioè quando u = –1. Possiamo dedurre: $G (\ chi, \ psi) G (\ chi ^ {{- 1}}, \ psi) = \ left (- \ sum _ {{u \ in {\ mathbb F} _ {p} ^ {*}} } \ chi (u) \ right) + \ chi (-1) p.$ Allo stesso modo, la somma dei valori del carattere moltiplicativo non banale $χ$ è zero, il che conclude la dimostrazione.

Questa seconda proprietà ha il seguente corollario immediato:

Se μ ( a ) denota il simbolo di Legendre ( a / p ) - uguale a 1 se a è un quadrato in F p * e a –1 altrimenti - allora, per ogni carattere non banale ψ,

G (\ mu, \ psi) ^ {2} = \ left ({\ frac {-1} p} \ right) p.

Applicazioni

Legge di reciprocità quadratica

La legge è espressa come segue se q è anche un numero primo dispari, distinto da p :

\ left ({\ frac pq} \ right) \ left ({\ frac qp} \ right) = (- 1) ^ {{{\ frac {(p-1) (q-1)} 4}}}.

Dimostrazione

Sia ψ un carattere additivo non banale di F p . Indichiamo con τ = G (μ, ψ) e ω = ψ (1). L' anello ℤ [ω] contiene τ; Vediamo quindi calcolare in due modi la classe di τ q -1 in anello quoziente ℤ [ω] / q ℤ [ω]. Il teorema binomiale di Newton ei divisori dei coefficienti binomiali mostrano che modulo q ,

{\ Displaystyle \ tau ^ {q} \ equiv \ sum _ {x \ in \ mathbb {F} _ {p} ^ {*}} \ mu (x) ^ {q} \ psi (x) ^ {q} = \ sum _ {x \ in \ mathbb {F} _ {p} ^ {*}} \ mu (x) \ psi ^ {q} (x) = G (\ mu, \ psi ^ {q}). }

Tuttavia, la prima delle due proprietà delle somme di Gauss lo dimostra

{\ Displaystyle G (\ mu, \ psi ^ {q}) = \ mu (q) ^ {- 1} \ tau = \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) \ tau}

e il corollario del secondo, unito alle proprietà del simbolo di Legendre, quello

\ tau ^ {{q-1}} = \ left (\ tau ^ {2} \ right) ^ {{{\ frac {q-1} 2}}} = \ left ((- 1) ^ {{{ \ frac {p-1} 2}}} p \ right) ^ {{{\ frac {q-1} 2}}} = (- 1) ^ {{{\ frac {(p-1) (q- 1)} 4}}} p ^ {{{\ frac {q-1} 2}}} \ equiv (-1) ^ {{{\ frac {(p-1) (q-1)} 4}} } \ left ({\ frac pq} \ right) {\ pmod q}.

Ne deduciamo la congruenza:

{\ displaystyle (-1) ^ {\ frac {(p-1) (q-1)} {4}} \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) \ equiv \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) {\ pmod {q}}.}

Poiché i due membri sono uguali a 1 o –1 e 2 è invertibile mod q , questa congruenza è un'uguaglianza.

Somma quadratica gaussiana

Per ogni p- esima radice dell'unità ω diversa da 1, con p primo

\ left (\ sum _ {{k = 0}} ^ {{p-1}} \ omega ^ {{k ^ {2}}} \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {-1 } p} \ destra) p.

Dimostrazione

Sia ψ il carattere additivo tale che ψ (1) = ω, H il sottogruppo del gruppo moltiplicativo F p * composto dai residui quadratici di F p *, P 1 la somma dei valori di ψ su H e P 2 la somma dei valori di ψ sul complemento di H in F p *. La mappa di F p * in H che ad ogni elemento associa il suo quadrato è una mappa suriettiva tale per cui ogni immagine ammette esattamente due antecedenti ; Di conseguenza:

\ sum _ {{k = 0}} ^ {{p-1}} \ omega ^ {{k ^ {2}}} = 1+ \ sum _ {{x \ in {\ mathbb F} _ {p} ^ {*}}} \ psi (x ^ {2}) = 1 + 2P_ {1}.

Ora ψ è un carattere non banale quindi - come nella dimostrazione di § “Proprietà” - la somma 1 + P 1 + P 2 dei suoi valori è zero, il che ci permette di concludere:

\ sum _ {{k = 0}} ^ {{p-1}} \ omega ^ {{k ^ {2}}} = 1 + 2P_ {1} = - P_ {2} + P_ {1} = G (\ mu, \ psi).

Il corollario del § “Proprietà” conclude la dimostrazione.

Più in generale, Gauss dimostrò nel 1801 le seguenti uguaglianze al segno più vicino per ogni intero n > 0:

\ sum _ {{k = 0}} ^ {{n-1}} \ exp \ left ({\ frac {2 \ pi {{\ rm {i}}} k ^ {2}} n} \ right) = {\ begin {case} (1 + {{\ rm {i}}}) {\ sqrt n} & {{\ rm {si}}} \ n \ equiv 0 \ mod 4 \\ {\ sqrt n} & {{\ rm {si}}} \ n \ equiv 1 \ mod 4 \\ 0 & {{\ rm {si}}} \ n \ equiv 2 \ mod 4 \\ {{\ rm {i}}} {\ sqrt n} & {{\ rm {si}}} \ n \ equiv 3 \ mod 4, \ end {cases}}

ipotizzando che anche i segni fossero corretti per questa particolare scelta ω = $exp (2πi / n )$ , e fu solo dopo quattro anni di incessanti sforzi che riuscì a risolvere questa congettura.

Note e riferimenti

(in) Harold Edwards , L'ultimo teorema di Fermat: un'introduzione genetica alla teoria dei numeri algebrici , Springer al. " GTM " ( n o 50)2000, 3 e ed. , 407 p. ( ISBN 978-0-387-95002-0 , leggi online ) , p. 360.
(in) Henry John Stephen Smith , "Report on the theory of numbers, Part I", 1859, repr. nel 1984 in The Collected Mathematical Papers di Henry John Stephen Smith , art. 20 .
(in) Kenneth Ireland e Michael Rosen , A Classical Introduction to Modern Number Theory , Springer al. "GTM" ( n . 84);1990( Repr.1998 ), 2 ° ed. , 389 p. ( ISBN 978-0-387-97329-6 , leggi online ) , p. 73.

Vedi anche

Bibliografia

Michel Demazure , Corso di algebra: primalità, divisibilità, codici [ dettaglio delle edizioni ]
Jean-Pierre Serre , Corso di aritmetica ,1970[ dettaglio delle edizioni ]
André Warusfel , Strutture algebriche finite , Hachette, 1971
Gabriel Peyré, L'algebra discreta della trasformata di Fourier , Éditions Ellipses , 2004 ( ISBN 978-2-72981867-8 )

link esterno

Lemma sulla somma gaussiana di C.Banderier dell'Università di Parigi-XIII , 1998
Analisi armonica su gruppi finiti commutativi di A. Bechata
Bas Edixhoven e Laurent Moret-Bailly , Teoria algebrica dei numeri, corso di laurea magistrale in matematica , Università di Rennes 1 ,2004( leggi online )