Il lancio della moneta è un gioco d'azzardo giocato con una moneta . Il principio del gioco è lanciare una moneta bilanciata in aria e scommettere sul lato esterno. La parte rotante cade a terra e si stabilizza lì, oppure viene presa con una mano e distesa con l'altra.
L'origine del nome "testa o croce" deriva dai nomi su entrambi i lati di una moneta .
Il primo utilizzo di questo gioco in questa forma risale alla creazione di moneta metallica. Tuttavia, in precedenza esistevano altre forme che utilizzavano oggetti con due lati distinti, ad esempio una conchiglia. L'obiettivo è fare una scelta binaria casuale. Ancora oggi, lanciare una moneta significa che una decisione è lasciata al caso, a seconda di quale lato della moneta appare dopo il lancio.
Il gioco del lancio della moneta è ancora utilizzato negli sport, per esempio. Serve come supporto per molte probabilità in probabilità , alcune rimangono ancora aperte come il problema della Bella Addormentata .
È uno strumento importante nella teoria dei giochi e nella teoria delle probabilità .
Scritture antiche nominano un gioco per bambini dell'antica Grecia , Ostrakinda, dove la scelta del ruolo delle due squadre viene fatta lanciando una conchiglia o un frammento di un barattolo, bianco da un lato, nero dall'altro e gridando "notte o giorno ". Intorno al IV ° secolo aC. D.C. , c'è una grande varietà di monete, ogni città ha un segno distintivo sulla faccia laterale : un gufo per Atene , una tartaruga per Egina , un granchio per Agrigento , ecc Sul retro iniziano ad apparire ritratti di divinità o sovrani.
In epoca romana , dal III ° secolo aC. Le incisioni trovate sulle monete ( asso romano o sterlina romana ) raffiguravano il volto di Giano (doppia faccia) su un lato della moneta e la nave che lo aveva portato alla moneta, l'Italia sull'altro. Fu allora usata l'espressione "capita aut navia" ("testa o nave" in latino). Ci sono anche molte altre rappresentazioni: divinità, monumenti, governanti, ecc.
Nel 781 , Carlo Magno stabilì una riforma monetaria che proibiva l'uso di vecchie valute. Le nuove monete vengono quindi coniate con il suo monogramma (a forma di croce) sul retro e una legenda circolare attorno a una croce sul dritto. Il contrario è chiamato code , si diceva, nel caso di una scelta casuale, "croce o pila". "Croce o la batteria" è ancora utilizzato dal XVII ° secolo dal chirurgo e bucaniere Alexandre Olivier Exquemelin nel suo Diario di bordo , quindi quanto riguarda "Perulero" i pezzi di 8 l ' spagnola impero coniate in Perù, dove le appare Spagnolo croce sul recto e le colonne d'Ercole sul verso. L'espressione si ritrova anche più tardi nel 1856 in Le Père Goriot di Honoré de Balzac a proposito di un duello. L'origine del termine pila rimane incerta, vedere l'articolo Reverse (numismatico) per maggiori dettagli. Più tardi, il figlio di Carlo Magno, Luigi il Pio , fece apparire di nuovo una moneta con la sua effige.
Dall'inizio del rinascimento, grazie ad un'ordinanza di Enrico II del 31 gennaio 1548 , i sovrani approfittano del rinnovamento artistico per far rappresentare il loro ritratto in maniera simile e gratificante. Il lato del viso è quindi il lato in cui era inciso sulla moneta il volto del re, del principe, dell'imperatore o di un'allegoria ( Marianne , la seminatrice ). Così, durante la fallita fuga di Luigi XVI nel 1791 , a Varennes , sarebbe stato riconosciuto dal direttore delle poste grazie all'effigie reale sul lato anteriore di uno scudo.
Nel linguaggio numismatico , lo stack è chiamato inverso e rivolto verso il dritto . Oggi, il lato della pila è quello che indica il valore della moneta. Nelle monete dell'Unione Europea , il lato della coda è il lato delle monete contrassegnate con i numeri 1 (centesimo), 2 (centesimi), 5 (centesimi), 10 (centesimi), 20 (centesimi), 50 (centesimi), 1 (euro) o 2 (euro). Per il fronte , le monete francesi da 1, 2 e 5 centesimi sono illustrate con una rappresentazione di Marianne ; le monete da 10, 20 e 50 cent rappresentano il seminatore , mentre sulle monete da 1 e 2 euro è rappresentato un albero. Alcuni paesi europei hanno scelto di includere facce sulle monete da 1 e 2 euro.
Ci sono anche monete le cui due facce sono identiche: a due facce o a due code . Possono essere veri e propri pezzi derivanti da un errore di fabbricazione, in questo caso assumono un grande valore in particolare per i collezionisti. La moneta ha poi un dritto e un rovescio , senza possibilità di distinzione. Tuttavia, molte di queste doppie monete sono monete false.
La nozione etimologica di "lanci o croce" e il gioco di "lanci" esistono anche in altre lingue. Alcune lingue hanno termini diversi per il concetto e per il gioco. Di seguito è riportato un elenco non esaustivo.
Lingua | Denominazione | Senso | |
---|---|---|---|
Gio | Nozione | ||
(dal) tedesco | Münzwurf | Kopf oder Zahl | testa o numero |
(in) inglese | Lanciare monete | Testa o croce | testa o coda |
(ar) Arabo (Libano) | طرة و نقشة | أرز أو شختور | cedro o barca |
(ca) catalano | Cara o creu | faccia o croce | |
(es) spagnolo | Cara o cruz | faccia o croce | |
(ga) gaelico | Ceann nó Cláirseach | testa o arpa | |
(el) greco | Κορώνα γράμματα | corona o lettere | |
(he) Ebraico | הטלת מטבע | עץ או פלי | albero o Palestina (pali in breve alla Palestina) |
(hu) ungherese | Fej vagy írás | testa o scrittura | |
(it) italiano | Testa o croce | testa o croce | |
(ja) giapponese | コイントス ( koin Tosu ) |
||
(lv) Lettone | Cipars vai ģerbonis | numero o stemma | |
(es) messicano | Aguila o sol | aquila o sole | |
(nl) Olandese | Tossen | Kruis di munt | testa o numero |
(no) norvegese | krone eller mynt | corona o moneta | |
(oc) occitano | Crotz e piela / Testa ò crotz | croce e palo / testa o croce | |
(pt) portoghese | Cara o coroa | faccia o corona | |
(ro) rumeno | Cap sau pajură | testa o aquila | |
(ru) russo | Орлянка (Orlianka) |
Орёл или решка (Oriol ili réchka) |
aquila o faccia (etimologia dubbia) |
(sv) svedese | Krona eller klave | corona o stemma | |
(tr) turco | Yazı Tura | scrittura o faccia | |
(vi) vietnamita | ngửa hay sấp | faccia o retromarcia |
L'aquila e il sole su un peso messicano nel 1908 .
Corona su un real portoghese del 1909 .
Aquila su un rublo russo del 1998 .
Il gioco del lancio della moneta aiuta a decidere su una scelta binaria. Il metodo più comune per lanciare una moneta è posizionarla orizzontalmente sulla punta del pollice e sul bordo dell'indice. È quindi sufficiente esercitare un'estensione del pollice per dare un movimento rotatorio alla parte, la parte deve compiere almeno una rotazione completa in aria. Secondo uno studio statistico, il numero medio di lanci di moneta per un tipico lancio di una moneta è 19. La moneta può cadere a terra oppure viene presa e posizionata orizzontalmente sul dorso dell'altra mano. In tutti i casi è il lato superiore della parte che dà il risultato.
È comune scommettere su testa o croce prima del lancio della moneta. Puoi anche scommettere mentre la moneta è in aria, il che evita qualsiasi tentativo di barare da parte del lanciatore.
Testa o croce per telefonoGiocare un lancio di moneta per telefono è a priori impossibile perché solo la persona che lancia la moneta vede il risultato del lancio e può quindi mentire sul suo risultato. Tuttavia, è possibile progettare una procedura per giocare in modo equo al telefono, utilizzando una funzione hash . La funzione hash utilizzata deve essere tale che non sia possibile da un hash calcolare un antecedente come ; e tale che non sia nemmeno possibile determinare una collisione , cioè due input distinti e verificanti . SHA-256 è un esempio di una funzione hash che può essere utilizzata.
Supponiamo che Alice e Bob vogliano giocare un lancio di moneta equo per telefono:
La robustezza del protocollo si basa sul fatto che Alice è obbligata a impegnarsi su Tails (0) o Faces (1) prima che la moneta venga lanciata e senza che Bob conosca il valore di questo impegno. Per Alice, questo suppone che non possiamo trovare due numeri i cui bit più significativi sono diversi ma il cui hash è identico, il che darebbe l'illusione che Alice sia impegnata nella scelta (0) o nella scelta (1) secondo la sua convenienza. Per Bob questo presuppone che non possiamo dedurre da .
Un altro modo di procedere è utilizzare una fonte di possibilità pubblica, a prova di manomissione e controllabile, come la parità della decima cifra della temperatura registrata da Météo France in un determinato luogo e data.
In molti sport come il badminton , il cricket , il football americano , la pallamano o anche il rugby , la squadra vincente al lancio della moneta può scegliere la squadra di partenza o il lato del campo. È anche comune usare il lancio della moneta negli straordinari o per determinare un vincitore in partite troppo lunghe o in partite che non designano un vincitore.
Nel 1919 , il primo presidente della squadra di calcio spagnola Valence CF fu scelto in un gioco di lancio della moneta. Dopo le 7:35 di una partita di ping-pong, Marin Goldberger fu nominato vincitore con un lancio di monete al Campionato del mondo nel 1936 . Nel 1963 , durante la Coppa dei Campioni , le due squadre del Galatasaray e dell'FC Zurigo si qualificarono in parità; l' FC Zurigo era qualificato per lanciare. Dal 1966 al 1985 , durante il Draft NBA , le squadre di basket usavano i lanci per ottenere la prima scelta del giocatore. In una semifinale della Coupe de France del 1967 , al termine del terzo pareggio tra le squadre di Lione e Angoulême , i lionesi si qualificarono con un sorteggio o croce.
Puoi giocare un lancio della moneta scommettendo su una scommessa, un gioco spesso presente negli esercizi di probabilità . Lo studio si concentra quindi su lanci indipendenti simultanei o successivi. Esistono diverse regole e strategie per le scommesse.
Esempio di strategia di scommessa:Si consideri un gioco di teste o del viso classico: un giocatore punta su una somma pila o faccia , se ottiene il risultato giusto vince una volta la sua attuazione (in aggiunta alla sua puntata), altrimenti perde la sua scommessa. Viene quindi riavviato un altro lancio della moneta. C'è una strategia che permette al giocatore di vincere sempre nel lungo periodo: il giocatore scommette 1 euro per il primo pareggio. Se perde scommette 2 euro sul secondo tiro, se perde 4 euro sul terzo tiro e così via. Se ancora non ha vinto, scommette 2 n -1 sul ennesima rotolo. Il giocatore smette di giocare quando vince.
Questo gioco è un vincitore per il giocatore. Infatti, se vince all'ennesimo tiro, avrà scommesso euro e avrà vinto 2 n euro. Il suo guadagno è quindi di 1 euro. Inoltre, il gioco finisce nel tempo. Il limite di utilizzo di questa tecnica è che il gioco non è limitato nel tempo, vale a dire che può durare molto a lungo. Per essere un vincitore è quindi necessario supporre che il giocatore abbia un portafoglio infinito, vale a dire che può scommettere 2 n anche per n grande.
Nessun gioco di scommesseAlcuni giochi utilizzano il concetto di possibilità binaria (sì / no, accettato / rifiutato, vincitore / perdente per esempio) durante il loro corso. Questi sono generalmente giochi di ruolo in cui le azioni o gli eventi sono lasciati al caso da lanciare. Citiamo ad esempio il gioco Magic: l'assemblaggio in cui determinate carte richiedono la realizzazione di un gioco di testa o croce.
Per scelte multiple (più di tre possibilità), vengono generalmente usati dadi a più facce ( 1d6 significa lanciare un dado a sei facce). 1d2 significa quindi lanciare una moneta. Alcuni "dadi a due facce" hanno quindi la forma di una moneta.
Citiamo, ad esempio, il gioco Prince Valiant che utilizza solo monete.
Esempi di giochiI pezzi sono considerati equilibrati.
Se interrompiamo il gioco prima della fine, i due giocatori condividono la puntata del gioco, ma qual è la quota di ciascuno in base al numero di teste e croce già visualizzate? Pascal ha dato una soluzione ragionando passo dopo passo (usando in particolare il triangolo di Pascal ), Fermat ha dato la stessa soluzione con un diverso ragionamento (usando eventi equiprobabili ).
L'idea di un gioco di lancio della moneta, cioè di un esperimento casuale in cui il risultato è il successo o il fallimento, illustra il concetto di una scelta casuale. Blaise Pascal , nei suoi pensieri , usa la metafora del gioco del lancio della moneta per illustrare la sua famosa scommessa :
“Quindi esaminiamo questo punto e diciamo: Dio è o non è. Ma in che modo ci appoggeremo? La ragione non può determinare nulla. C'è un caos infinito che ci separa. Si sta giocando una partita, al termine di questa distanza infinita, dove ci sarà un cross o una croce: cosa scommetterai? [...] Pesiamo il guadagno e la perdita, prendendo la croce che è Dio. Stimiamo questi due casi: se vinci, vinci tutto; se perdi, non perdi niente. Scommetti quindi che è senza esitazione! "
Il gioco del lancio della moneta viene utilizzato per consultare il sistema di divinazione Yi Jing . Il valore 2 viene assegnato alla pila e 3 alla faccia , quindi somma i risultati di tre lanci di monete. In un campo più scientifico, i diversi passaggi di una passeggiata casuale sono dati dal risultato di un gioco di lancio di monete. È usato come metafora nella meccanica quantistica: l'esito dell'esperimento del gatto di Schrödinger è determinato da "un gioco di lancio di monete, il cui esito è sconosciuto prima che la scatola venga aperta".
Nel 1851 , il lancio di una moneta determina se una nuova città in Oregon prenderà il nome da Boston o Portland , Portland vince. Nel 1939 , Bill Hewlett e Dave Packard diedero un lancio di moneta se la loro azienda si sarebbe chiamata Hewlett-Packard o Packard-Hewlett. La notte della loro visita al Monterey Pop Festival nel 1967 , per scoprire quale degli Who o The Jimi Hendrix Experience sarebbe venuto prima dell'altro, dovettero lanciarsi e gli Who vinsero. Nel 1968 , Roland Moreno ha inventato una macchina per il lancio di monete, la "Matapof". Nel 1970 , l'allevatore Ogden Phipps e la coppia Christopher e Penny Chenery si danno il diritto di scegliere uno dei tre puledri dello stallone Bold Ruler . I perdenti del gioco diventeranno i proprietari di uno dei più grandi campioni della storia delle corse: il Thoroughbred Secretariat inglese . Nel 1987 , Corynne Charby ha eseguito la canzone "Pile ou face" composta da Franck Yvi e Jean-Louis D'Onorio. Questa canzone è stata ripetuta da Emmanuelle Béart nel 2002 nel film Huit femmes di François Ozon . Il tema della canzone è "lanciare la tua vita", cioè lasciare che sia il caso a decidere. Nel 2007 , un giudice americano è stato messo sotto accusa dopo aver deciso discutendo su chi, padre o madre, avesse il diritto di trascorrere il Natale con il proprio figlio.
La guida dei collegi elettorali Democratic Party of Iowa prevede che quando c'è un pareggio tra due candidati, la scelta doveva essere fatta sulla moneta. Questa situazione si è verificata sei volte nel 2016 durante le primarie delle elezioni presidenziali.
Alcuni personaggi dei film sono associati al gioco del lancio, quest'ultimo a volte diventa anche l'identità del personaggio. Nel film americano Scarface , uscito nel 1932 e diretto da Howard Hawks , il personaggio Guino Rinaldo, interpretato da George Raft , è un gangster che gioca costantemente a lanciare. Questo personaggio è stato parodiato da Bugs Bunny nel cartone animato Racketeer Rabbit nel 1946 . George Raft ha parodiato il proprio personaggio nella commedia A qualcuno piace caldo di Billy Wilder , con il personaggio di Spats Colombo. Spats incontra un gangster rivale che lancia una moneta, chiede "Dove hai imparato a farlo?" ". Lo schizofrenico personaggio Double-Face o Heads-or-Tails Batman creato nel 1942 da Bob Kane e Bill Finger decide la legalità dei suoi crimini con un gioco di lancio di monete. Usa una moneta con due facce identiche tranne che per un graffio di coltello su una di esse. È un pezzo di dollari in contanti . C'è anche il romanzo No, questo paese non è per il vecchio e il suo adattamento cinematografico, No Country for Old Men pubblicato nel 2007 da Joel ed Ethan Coen , dove il sicario psicopatico Anton Chigurh usa un lancio di monete e lascia che il destino decida le vite. delle sue vittime. Una parodia è stata fatta nell'episodio 19 della ventesima stagione de I Simpsons , A Chic Address .
Il gioco del lancio della moneta è anche la fonte di alcune trame fittizie. Alla fine del racconto di Isaac Asimov La macchina che vinse la guerra pubblicato nel 1961 , il personaggio di Lamar Swift rivela ai suoi dipendenti che il computer non fornisce tutte le informazioni e stava giocando nelle grandi decisioni testa o croce. In puntata 16 della seconda stagione della serie televisiva The Fourth Dimension , le principali personaggio guadagna poteri telepatici dopo aver lanciato una moneta che rimane misteriosamente sul bordo. Il suo dono scompare quando lascia cadere il pezzo lasciato sul bordo.
Il concetto di gioco del lancio dell'infinito è usato per illustrare l'assurdo come nell'opera teatrale Rosencrantz & Guildenstern Are Dead nel 1966 , e nel suo adattamento cinematografico del 1990 con lo stesso nome , di Tom Stoppard . I due personaggi Rosencrantz e Guildenstern da William Shakespeare gioco Amleto testimoniare la propria storia. All'inizio del gioco, Rosencrantz vince 85 volte di fila al sorteggio, la bassissima probabilità di questo evento dimostra che la situazione in cui si trovano i personaggi è assurda ma possibile.
L'aspetto binario del gioco è illustrato nel decimo episodio della quinta stagione della serie animata Futurama di Matt Groening . Il professor Hubert Farnsworth crea un universo parallelo in cui il risultato della batteria o delle code è invertito batteria in un mondo in cui il risultato è opposto negli altri (e viceversa).
Inoltre in modo umoristico, nell'episodio 15 della decima stagione di Friends (uscito nel 2004 ), Joey ha perso 57 volte di seguito contro Rachel per lanciarsi con le seguenti regole: faccia lei vince e batteria perde.
Diamo qui una formalizzazione matematica dello spazio e la legge della probabilità per un gioco di lancio di monete. Questo è un caso speciale spesso utilizzato nella teoria della probabilità poiché possiamo descrivere esplicitamente oggetti matematici.
Per lanciare una moneta, l' universo delle possibilità è che è composto da due elementi 0 (o F ) davanti e 1 (o P ) per batteria . Forniamo a questo universo finito tutte le parti . Intuitivamente il set rappresenta i possibili risultati dopo il lancio di una moneta.
Definiamo quindi una probabilità dando i suoi valori per gli eventi {get tails} e {get tails}, vale a dire rispettivamente e : e con . Vale a dire, la probabilità di ottenere la batteria è pe quella di ottenere la faccia è 1 p . ( p = 1- p = 1/2 per una parte bilanciata). Quindi i dati definiscono matematicamente un lancio di moneta.
Per due lanci successivi della stessa moneta (o di due monete con la stessa legge ), l'universo è i cui elementi corrispondono ai risultati nell'ordine delle due monete. Definiamo una probabilità per cui una e B sono uguali a 0 o 1. Vale a dire che la getta sono indipendenti e che ogni lancio ha il diritto di uno lancio della moneta.
Per due lanci di due pezzi diversi che non hanno la stessa legge; vale a dire il primo ha per legge definita con il parametro pe la seconda con la legge definita con il parametro q ≠ p . L'universo è fermo e definiamo la misura della probabilità .
Queste definizioni si generalizzano per più lanci.
Il lancio di una moneta è un test di Bernoulli , vale a dire viene eseguito un test casuale, il cui risultato è il successo o il fallimento. Questo risultato è rappresentato da una variabile casuale della legge di Bernoulli , i suoi possibili valori sono 0 e 1 ( batteria e faccia associate , o viceversa). Se la moneta è bilanciata, il parametro della legge di Bernoulli è p = 1/2, cioè testa e croce hanno la stessa probabilità di apparire. Se la moneta è sbilanciata, il parametro p della legge di Bernoulli non è 1/2 ed è più probabile che una faccia della moneta appaia rispetto all'altra. Se p > 1/2 . Si noti che nella teoria della probabilità , si presume che la moneta sia perfetta nel senso che la moneta non può cadere sul bordo.
Facciamo un collegamento con la legge binomiale. Quando vengono effettuati più lanci dello stesso pezzo, o pezzi aventi lo stesso equilibrio, si presume che i lanci siano indipendenti. Il numero di volte in cui il lato della coda appare su n lanci segue una distribuzione binomiale B ( n , p ) dove il parametro p è la probabilità che appaia il lato associato al risultato 1.
C'è anche un legame con la legge geometrica. Se la probabilità di ottenere la batteria è pe la probabilità di ottenere la faccia è 1- p ( p = 1 p = 1/2 nel caso bilanciato), allora la probabilità di ottenere la faccia per i primi n lanci e la batteria per il n + 1 ° tiro è uguale a (1- p ) n p . Il numero di lanci necessari per la comparsa della prima coda segue quindi una legge geometrica .
I collegamenti con altre leggi di probabilità sono possibili utilizzando risultati asintotici, la legge normale , ad esempio, facendo tendere n all'infinito (vedi convergenza verso la legge normale ).
Far tendere n all'infinito equivale a considerare un numero di lanci che tendono all'infinito. Per un numero infinito di lanci di un pezzo, il fatto che una sequenza di 100 facce consecutive venga eseguita per un tempo infinito e un evento di coda significa che la sua probabilità è 0 o 1. È lo zero della legge di Kolmogorov .
Il gioco del lancio della moneta permette di affrontare molti concetti probabilistici, è stato inserito nell'elenco degli esami orali per il concorso di aggregazione matematica .
“Il gioco del lancio della moneta, il cui principio è così semplice, ha un grandissimo carattere di generalità e conduce, se studiato in dettaglio, alla più alta matematica. "
- Émile Borel , Principi classici e formule del calcolo delle probabilità, Capitolo V: Un gioco di lancio di monete; 1924
La modellazione matematica del gioco del lancio della moneta, o l'uso della legge di Bernoulli , è stata utilizzata come primo approccio per i risultati matematici applicabili a leggi più generali:
Considera un classico gioco di lancio della moneta tra due giocatori con una scommessa di 1 per partita. Ci interessa il guadagno di uno dei due giocatori durante una partita che contiene un numero infinito di lanci. Si presume che i giocatori non abbiano un limite di denaro (fortuna infinita) e che la fortuna possa eventualmente essere negativa. Secondo un teorema di George Pólya , i due giocatori riguadagneranno le loro fortune iniziali un numero infinito di volte durante il gioco. Va notato che quando un giocatore recupera la sua fortuna iniziale, anche l'altro. Il numero di partite necessarie per tornare alla fortuna iniziale è una variabile casuale, questa variabile è finita ma la sua aspettativa è infinita.
Più matematicamente, il guadagno di un giocatore durante il gioco è una passeggiata casuale in cui ogni passo è +1 per la vittoria di un giocatore e -1 per una sconfitta. Tempo di ritorno per la ricchezza iniziale è il primo ritorno a 0 del random walk: . Questa variabile casuale ha per legge
.Da un semplice calcolo, deduciamo che l' aspettativa è infinita.
Uno studio statistico è stato condotto da due medici su pazienti in otorinolaringoiatria a Vancouver . Hanno chiesto a tredici pazienti di fare trecento lanci ciascuno e cercare di ottenere la faccia . Questi pazienti hanno ricevuto una formazione sulla manipolazione delle parti e sono stati in grado di esercitarsi entro pochi minuti dall'esperimento.
Tredici pazienti sono stati in grado di ottenere più faccia che stack , inclusi sette pazienti in modo statisticamente significativo. I migliori hanno ottenuto il 68% della faccia . Va notato che i due migliori pazienti erano motivati da una ricompensa (pecuniaria) prima dell'esperimento.
Vengono fornite diverse spiegazioni: possiamo polarizzare il risultato con l'esercizio sulla manipolazione della parte (questo è il caso di alcuni maghi che creano un'illusione di rotazione della parte), il risultato dipende dal lato della parte inizialmente al di sopra prima del lancio , il risultato del piano ricevente (con la mano o su un piano fisso come un tavolo), il risultato dipende dalla moneta (la moneta da 1 euro belga cadrebbe sulla sua faccia più di una volta ).
La domanda è: "Data una moneta, è equilibrata o no?" Diamo diversi metodi sperimentali per rispondere. Si presume qui, rispetto alla sottosezione precedente, che il lancio della moneta stesso sia altrettanto probabile.
affidabilità ( 100% - α ) | 1% | 5% | 10% | 50% | 90% | 95% | 99% | 99,9% |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
soglia ( α ) | 99% | 95% | 90% | 50% | 10% | 5% | 1% | 0,1% |
χ 2 crit | 0.000 2 | 0.004 | 0,02 | 0.45 | 2.71 | 3.84 | 6.63 | 10.83 |
Esempio: eseguiamo n = 100 lanci e scegliamo una soglia α = 5%
Intuitivamente le risposte alle prossime due domande sembrano essere identiche. Ma la loro differenza è all'origine di molti errori e paradossi matematici.
Alla domanda "Qual è la probabilità che la batteria parta decimo sapendo di avere la faccia sui primi nove colpi? “ , Si pone tra il nono e il decimo tiro, sapendo che già conosciamo i risultati dei primi lanci.
La risposta è quindi 1/2 poiché i lanci delle monete sono indipendenti.
Scrittura matematica:
Alla domanda "Qual è la probabilità di decimo lancio della batteria e di ottenere la faccia per i primi nove colpi? » Si pone prima del primo tiro, la probabilità relativa ai dieci lanci.
La risposta è quindi (1/2) 10 ≈0,001.
Scrittura matematica:
Nota che la probabilità di ottenere testa al decimo tiro e di ottenere testa nei primi nove tiri (in altre parole di ottenere testa su 10 tiri consecutivi) è anche (1/2) 10 .
Il paradosso creato dalla differenza tra queste due domande si chiama errore del scommettitore . I problemi basati sul gioco dei lanci sono stati spesso indicati per illustrare paradossi più generali. Alcuni sono controintuitivi, altri devono ancora essere risolti. Ecco alcuni esempi.
I due pezzi di d'AlembertCitiamo un ragionamento fallace del famoso matematico Jean le Rond D'Alembert . La domanda è calcolare la probabilità di ottenere almeno una croce croce in due lanci successivi di monete. Secondo il suo ragionamento, ci sono tre casi possibili: "esce croce al primo tiro", "esce croce al secondo tiro" e "non esce croce su entrambi i lanci". Tra questi tre risultati, due sono favorevoli, quindi la probabilità è 2/3.
Tuttavia, tutti e tre sono ugualmente probabili , infatti Alembert ha considerato il caso "prendi due volte stack " incluso nel caso "ottieni stack nella prima manche", poiché l'ottenimento della batteria nella prima manche ha posto fine al gioco. otteniamo il risultato giusto: 3/4.
"La mente di D'Alembert, di solito giusta e raffinata, era completamente irragionevole riguardo al calcolo delle probabilità"
- Joseph Bertrand , Calcolo delle probabilità , prefazione
Paradosso delle tre moneteIl termine paradosso è in questo caso usato in senso controintuitivo ( primo significato di wiktionnaire ), non è un vero paradosso matematico ( secondo significato di wiktionnaire ).
Lanciamo tre monete. Qual è la probabilità che tutti e tre cadano dalla stessa parte, che sia lancio o croce ?
La risposta è 1/4.
Problema della bella addormentataIl problema della bella addormentata è un controverso paradosso probabilistico in cui coesistono due interpretazioni contraddittorie.
La domenica sera, mentre la Bella Addormentata dorme, lanciamo una moneta per il lancio di una moneta.
Durante il colloquio, che sia solo lunedì, oppure lunedì e martedì, gli viene posta la domanda: "Qual è la probabilità che la parte sia caduta sul mucchio ?" La principessa conosce perfettamente le regole.
Due argomenti sono opposti. Il primo è vedere solo la moneta e la Bellezza risponde 1/2. Il secondo è vedere tutti i risvegli e la Bellezza risponde 2/3.
Paradosso di San PietroburgoQuesto paradosso fu affermato nel 1713 da Nicolas Bernoulli . Il paradosso di San Pietroburgo si riduce alla seguente domanda: perché mentre matematicamente l'aspettativa di vincere una partita è infinita, i giocatori si rifiutano di scommettere tutti i loro soldi? Non si tratta quindi di un problema puramente matematico ma di un paradosso del comportamento degli esseri umani di fronte agli eventi di una variabile casuale il cui valore è probabilmente piccolo, ma la cui aspettativa è infinita . In questa situazione, non tenere conto che questa speranza impone una decisione che nessun attore ragionevole prenderebbe: dobbiamo giocare a tutti i costi.
Il paradosso di PenneyQuesto enigma matematico fu enunciato nel 1969 da Walter Penney e poi ripreso in dettaglio in seguito da Martin Gardner nel 1974 .
Due giocatori A e B si affrontano in una serie di lanci di monete. Ognuno di loro sceglie una configurazione formata da una serie di tre pile o facce. Ad esempio, A sceglie la configurazione PPF = ( batteria , batteria , faccia ) e la configurazione B FPP (= faccia , batteria , batteria ). Una moneta viene quindi lanciata più volte di seguito fino a quando appare una delle due configurazioni, designando così il vincitore. Con le configurazioni precedenti, il gioco non è bilanciato. B ha tre volte più possibilità di vincere rispetto A . Distinguiamo infatti i diversi casi:
Così, delle quattro possibili configurazioni dei primi due lanci ( FF , FP , PF , PP ), tre portano alla vittoria di B mentre solo una permette ad A di vincere. Queste quattro configurazioni sono equiprobabili, segue che B ha tre volte più possibilità di vincita che A .
Appare quindi un doppio paradosso: