Parte delimitata di uno spazio vettoriale topologico

Nell'analisi funzionale e nei relativi campi matematici , una parte di uno spazio vettoriale topologico si dice limitata (nel senso di von Neumann) se un qualsiasi intorno del vettore zero può essere dilatato in modo da contenere questa parte. Questo concetto è stato introdotto da John von Neumann e Andrei Kolmogorov nel 1935.

Le parti delimitate sono un modo naturale per definire topologie polari (en) ( localmente convesse ) sui due spazi vettoriali di una doppia coppia .

Definizione

Una parte B di uno spazio vettoriale topologico E si dice limitata se per ogni intorno V del vettore zero esiste uno scalare α tale che B è incluso nell'insieme, indicato con α V , di vettori della forma α x con x in V .

Esempi e controesempi

Qualsiasi parte finita è limitata.
I termini di una sequenza di Cauchy formano una parte limitata, ma non quelli di una sequenza di Cauchy generalizzata .
Qualsiasi parte relativamente compatta di un evt è delimitata. Se lo spazio ha una topologia polare debole, è vero il contrario.
Un sottospazio che non disegna un evt separato non è mai limitato.

Proprietà

Se il campo topologico di base è valorizzato e non discreto (tipicamente: se è il campo dei numeri reali ), una parte B di E è delimitata se e solo se:

per ogni successione (λ n ) di scalari che tende a 0 e qualsiasi successione ( x n ) di elementi di B, la successione (λ n x n ) tende verso il vettore zero.

Se l'e.vt E è localmente convesso, cioè se la sua topologia è definita da una famiglia ( p i ) i ∈ I di semi-norme , una parte B di E è limitata nel senso sopra se e solo se è limitata per ogni p i , cioè se per ogni indice i esiste un M i reale tale che ${\ displaystyle \ forall x \ in B, \ quad p_ {i} (x) \ leq M_ {i}}$ .In particolare se E è uno spazio vettoriale normato , B è limitato nel senso sopra se e solo se è limitato per la norma.
Qualsiasi parte precompatta di un evt separato è limitata.
L' aderenza di una parte delimitata è delimitata.
In uno spazio localmente convesso, l' inviluppo convesso di una parte delimitata è delimitato. (Senza l'ipotesi di convessità locale, questo è falso: ad esempio gli spazi L p per 0 < p <1 non hanno aperture convesse non banali.)
Tutte le riunioni omotetiche , tradotte , finite e le somme finite di parti limitate sono limitate.
Se un operatore lineare è continuo , è delimitato , ovvero invia qualsiasi parte delimitata su una parte delimitata. Il contrario è vero se lo spazio iniziale è pseudo-metrizzabile .
Uno spazio localmente convesso è semi-normabile se e solo se è limitato localmente, cioè se ha un intorno limitato di 0.
L' insieme polare di una parte delimitata è assolutamente convesso (en) e assorbente .

Spazio Bornologico

Da non confondere con uno spazio vettoriale natologico .

Definizione

Uno spazio convesso localmente E sul campo dei reali o complessi è detto natologico se una qualsiasi parte convessa equilibrata M di E che assorbe le parti limitate B di E (cioè, che è tale che esiste α> 0 tale che λ M ⊃ B per | λ | ≥ α) è un quartiere di 0 a E .

Una definizione equivalente è la seguente:

Sia uno spazio localmente convesso (dove denota la topologia localmente convessa di questo spazio) e si consideri la migliore topologia localmente convessa che ha lo stesso limite in E di . Allora è nato se (e solo se) . ${\ displaystyle E [{\ mathfrak {T}}]}$ ${\ mathfrak T}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} ^ {\ prime}}$ ${\ mathfrak T}$ ${\ displaystyle E [{\ mathfrak {T}}]}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} = {\ mathfrak {T}} ^ {\ prime}}$

Proprietà

Un limite induttivo degli spazi bornologici è uno spazio bornologico.
Uno spazio quoziente di uno spazio bornologico è bornologico (d'altra parte, un sottospazio chiuso di uno spazio bornologico non è necessariamente natoologico).
Uno spazio vettoriale semi normato è bornologico.
Uno spazio metizzabile localmente convesso è bornologico.
Un semi-completo spazio bornologici è un limite induttivo degli spazi di Banach (perché è ultrabornological: vedi sotto ). In particolare, uno spazio di Fréchet è un limite induttivo degli spazi di Banach.
Un prodotto numerabile di spazi bornologici è bornologico.
Il forte duale di uno spazio riflessivo di Fréchet è bornologico (e botte ).
Il forte duale di uno spazio bornologico è completo.
Uno spazio localmente convesso E è natoologico se e solo se un qualsiasi operatore lineare limitato di E in un altro spazio localmente convesso è continuo.
Qualsiasi operatore lineare sequenzialmente continuo di uno spazio bornologico in un altro spazio localmente convesso è delimitato.

Esempi

Lo spazio di Schwartz S (ℝ n ) delle funzioni declinanti su ℝ n è uno spazio di Fréchet, quindi è bornologico.
Lasciare Ω essere un non vuoto aperto di ℝ n o, più in generale, una varietà differenziale di dimensione finita paracompatto e ℰ (Ω) lo spazio delle funzioni derivabili indefinitamente in Ω. Questo spazio è bornologico, perché è uno spazio di Fréchet.
Sia Ω come sopra e lo spazio delle funzioni indefinitamente differenziabili con supporto compatto compreso in Ω, dotato della usuale topologia limite induttiva rigorosa di una successione di spazi di Fréchet. Questo spazio è bornologico. ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} \ left (\ Omega \ right)}$
Lasciare K un sottoinsieme ℂ compatto n e lo spazio di germi di funzioni analitiche in una zona aperta di K . Questo spazio è bornologico, perché è un limite induttivo degli spazi di Fréchet. ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ sinistra (K \ destra)}$

Spazio ultrabornologico

Definizione

Un Hausdorff localmente convesso spazio E sul campo è reale o complessi detto ultrabornological se qualsiasi parte convessa E che assorbe le porzioni convesse, equilibrato, delimitata e semi-pieno di E è un intorno di 0 a E .

Proprietà

Uno spazio ultrabornologico è bornologico e botte.

Uno spazio bornologico e semicompleto è ultrabornologico. In particolare, uno spazio Fréchet è ultrabornologico.

Perché uno spazio separato localmente convesso sia ultrabornologico, è necessario e sufficiente che sia il limite induttivo di una famiglia di spazi di Banach. Di conseguenza (per transitività dei limiti induttivi), il limite induttivo separato da una famiglia di spazi ultrabornologici è ultrabornologico.

Generalizzazione

Se M è un modulo topologico (in) su un anello topologico R , una parte B di M si dice limitata se per ogni intorno V del vettore zero di M esiste un intorno w dello scalare zero di R tale che wB è incluso nel V .

Riferimenti

(en) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Bounded set (topological vector space) " ( vedere l'elenco degli autori ) .
N. Bourbaki , Spazi vettoriali topologici , Springer ,2006, 364 p. ( ISBN 3-540-34497-7 )
(en) AP Robertson e WJ Robertson , Spazi vettoriali topologici , CUP ,1980, 2 ° ed. ( leggi in linea ) , 44–46
(en) Helmut H. Schaefer (de) e Manfred P. Wolff , Topological Vector Spaces , Springer, coll. " GTM " ( n o 3)1970( ISBN 0-387-05380-8 , leggi online ) , 25-26
Laurent Schwartz , Teoria della distribuzione , Parigi, Hermann ,1966, 418 p. ( ISBN 2-7056-5551-4 )