Doppia coppia

Nell'analisi funzionale , una doppia coppia o un sistema duale denota una coppia di spazi vettoriali dotati di una forma bilineare non degenere .

Nell'analisi funzionale, lo studio degli spazi vettoriali normalizzati  richiede talvolta di analizzare la sua relazione con il suo duale topologico , che è lo spazio vettoriale formato da tutte le mappe lineari continue  definite sullo spazio di partenza. Una doppia coppia generalizza questo concetto, la dualità viene espressa attraverso una mappa bilineare. Da questa mappa bilineare, possiamo usare le  semi-norme  per costruire una topologia polare  (en)  su spazi vettoriali e per formare spazi localmente convessi , che sono la generalizzazione degli spazi vettoriali normali.

Definizioni

Siano e due spazi vettoriali sullo stesso campo commutativo . Sia il duale algebrico di e quello di (in questo articolo assumiamo che l' assioma della scelta sia vero). X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y} K{\ displaystyle K}X∗{\ displaystyle X ^ {*}}X{\ displaystyle X}Y∗{\ displaystyle Y ^ {*}}Y{\ displaystyle Y}

Definizione (forma bilineare non degenere): Sia una forma bilineare . Induce due applicazioni lineari B:X×Y→K{\ displaystyle B: X \ times Y \ to K}

• X→Y∗;X↦B(X,⋅){\ displaystyle X \ to Y ^ {*}; x \ mapsto B (x, \ cdot)}
• Y→X∗;y↦B(⋅,y){\ displaystyle Y \ to X ^ {*}; y \ mapsto B (\ cdot, y)}

L'applicazione bilineare si dice: B{\ displaystyle B}

• Non degenerata a sinistra se è iniettiva ,X→Y∗{\ displaystyle X \ to Y ^ {*}}
• non degenerare a destra se è iniettiva,Y→X∗{\ displaystyle Y \ to X ^ {*}}
• non degenerare se non è degenerato a sinistra ea destra.B{\ displaystyle B}

Definizione (doppia coppia): Siano e due spazi vettoriali sullo stesso campo commutativo . Considera una forma bilineare. Diciamo quindi che X e Y sono posti nella dualità da . Se inoltre non è degenerato: X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}K{\ displaystyle K}B:X×Y→K{\ displaystyle B: X \ times Y \ rightarrow K}B{\ displaystyle B}B{\ displaystyle B}

• X{\ displaystyle X}e si dice che siano nella dualità (o che siano messi nella dualità separatrice ),Y{\ displaystyle Y}
• scriviamo invece di ,⟨⋅,⋅⟩{\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}B{\ displaystyle B}
• si dice che la terzina sia una doppia coppia ,(X,Y,⟨⋅,⋅⟩){\ displaystyle (X, Y, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}
• si dice che la mappa bilineare sia un doppio accoppiamento .⟨⋅,⋅⟩{\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}

Due elementi  e   sono ortogonali se X∈X{\ displaystyle x \ in X}y∈Y{\ displaystyle y \ in Y}

⟨X,y⟩=0{\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = 0}.

Due insiemi e   sono ortogonali se qualsiasi coppia di elementi di  e  sono ortogonali. M⊆X{\ displaystyle M \ subseteq X}NON⊆Y{\ displaystyle N \ subseteq Y}M{\ displaystyle M}NON{\ displaystyle N}

Doppie coppie deboli e forti

Definizione (doppia coppia forte): Sia una doppia coppia. Il doppio accoppiamento induce due applicazioni (X,Y,⟨⋅,⋅⟩){\ displaystyle (X, Y, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}⟨⋅,⋅⟩{\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}

• X→Y∗;X↦⟨X,⋅⟩{\ Displaystyle X \ to Y ^ {*}; x \ mapsto \ langle x, \ cdot \ rangle}
• Y→X∗;y↦⟨⋅,y⟩{\ displaystyle Y \ to X ^ {*}; y \ mapsto \ langle \ cdot, y \ rangle}

La doppia coppia si dice che sia forte (e la doppia coppia si dice che sia forte ) quando queste ultime due mappe sono suriettive . Una doppia coppia che non è necessariamente forte ( cioè un doppio accoppiamento non necessariamente forte) si dice che sia debole . (X,Y,⟨⋅,⋅⟩){\ displaystyle (X, Y, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}

Nota: Usando il fatto che l'iniezione naturale di nel suo biduale algebrico è suriettiva se e solo se è di dimensione finita, è facile dimostrare che una coppia duale è forte se e solo se e sono di dimensione finita. A seconda del contesto, quest'ultima (proto) definizione di una doppia coppia forte può essere modificata (considerando la suriettività verso certi sottospazi di e ) per tenere conto delle proprietà più sottili di una data coppia duale ( cfr. Esempio 3 sotto. ). J:X→X∗∗{\ displaystyle J: X \ to X ^ {**}}X{\ displaystyle X}X∗∗{\ displaystyle X ^ {**}}X{\ displaystyle X}X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}X∗{\ displaystyle X ^ {*}}Y∗{\ displaystyle Y ^ {*}}

Esempi

Esempio 1: Siauno spazio vettoriale (o un modulo su un anello ) e ilsuo duale algebrico . Considera l'applicazione bilineare X{\ displaystyle X}X∗{\ displaystyle X ^ {*}}

⟨⋅,⋅⟩:X∗×X→K:(f,X)↦⟨f,X⟩: =f(X){\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle: X ^ {*} \ times X \ rightarrow K: (f, x) \ mapsto \ langle f, x \ rangle: = f (x)}

accoppiamento di dualità corrispondente tra e . Corrisponde a due applicazioni lineari X∗{\ displaystyle X ^ {*}}X{\ displaystyle X}

X∗→X∗{\ displaystyle X ^ {*} \ rightarrow X ^ {*}} X→X∗∗{\ displaystyle X \ rightarrow X ^ {**}}

La prima applicazione è l'identità su (ed è quindi iniettiva). La seconda applicazione è l'iniezione naturale di nel suo biduale algebrico . Quest'ultima applicazione è iniettiva perché separa i punti di , cioè per tutto ciò che esiste tq (ciò è dovuto all'assioma della scelta). In tal modo, non è degenere ed è un duplice accoppiamento, chiamato accoppiamento naturale (o accoppiamento canonico duale ), tra e il suo duale algebrico . X∗→X∗{\ displaystyle X ^ {*} \ rightarrow X ^ {*}}X∗{\ displaystyle X ^ {*}}X→X∗∗{\ displaystyle X \ rightarrow X ^ {**}}X{\ displaystyle X}X∗∗{\ displaystyle X ^ {**}}X∗{\ displaystyle X ^ {*}}X{\ displaystyle X}X∈E∖{0}{\ displaystyle x \ in E \ barra rovesciata \ {0 \}}f∈E∗{\ displaystyle f \ in E ^ {*}}f(X)≠0{\ displaystyle f (x) \ neq 0}⟨⋅,⋅⟩{\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}X{\ displaystyle X}X∗{\ displaystyle X ^ {*}}

Esempio 2: siauna doppia coppia. Quindi la terzinaè una doppia coppia dove. (X,Y,⟨⋅,⋅⟩){\ displaystyle (X, Y, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}(Y,X,⟨⋅,⋅⟩′){\ displaystyle (Y, X, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle ')}⟨y,X⟩′: =⟨X,y⟩{\ Displaystyle \ langle y, x \ rangle ': = \ langle x, y \ rangle}

Esempio 3: Siaun evt localmente convesso su un campo commutativoe sia ilsuo duale topologico . Considera l'applicazione bilineare E{\ displaystyle E} K{\ displaystyle K}E′{\ displaystyle E '}

⟨⋅,⋅⟩:E′×E→K;(f,X)↦⟨f,X⟩: =f(X){\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle: E '\ times E \ rightarrow K; (f, x) \ mapsto \ langle f, x \ rangle: = f (x)}

corrispondente all'accoppiamento di dualità tra e . All'applicazione bilineare corrispondono due applicazioni X′{\ displaystyle X '}X{\ displaystyle X}⟨⋅,⋅⟩{\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}

ι:E′→E∗;f↦⟨f,⋅⟩{\ displaystyle \ iota: E '\ rightarrow E ^ {*}; f \ mapsto \ langle f, \ cdot \ rangle} J:E→(E′)∗;X↦⟨⋅,X⟩{\ displaystyle J: E \ rightarrow (E ') ^ {*}; x \ mapsto \ langle \ cdot, x \ rangle}

Il primo è l'inclusione canonica di en . Diamo la topologia . Poiché la mappa lineare è -continua e la topologia è più fine di quella , riposa nel biduale topologico dello spazio localmente convesso . Considerando le co-restrizioni E′{\ displaystyle E '}E∗{\ displaystyle E ^ {*}}E′{\ displaystyle E '}β(E′,E){\ displaystyle \ beta (E ', E)}X∈E{\ displaystyle x \ in E}J(X)∈(E′)∗{\ displaystyle J (x) \ in (E ^ {'}) ^ {*}}σ(E′,E){\ displaystyle \ sigma (E ', E)}β(E′,E){\ displaystyle \ beta (E ', E)}σ(E′,E){\ displaystyle \ sigma (E ', E)}J(X){\ displaystyle J (x)}E″{\ displaystyle E ''}E{\ displaystyle E}

ι:E′→E′;f↦⟨f,⋅⟩{\ displaystyle \ iota: E '\ rightarrow E ^ {'}; f \ mapsto \ langle f, \ cdot \ rangle} J:E→E″;X↦⟨⋅,X⟩{\ displaystyle J: E \ rightarrow E ''; x \ mapsto \ langle \ cdot, x \ rangle}

vediamo allora che è l'identità su (cioè è un isomorfismo) e che è l'inclusione naturale di nel suo biduale topologico (che è iniettato dal teorema di Hahn-Banach su spazi localmente convessi). Ne consegue che la tripla è una doppia coppia. In particolare, questa doppia coppia sarà forte se l'iniezione naturale è suriettiva (cioè se è semiriflessiva ). ι{\ displaystyle \ iota}E′{\ displaystyle E '}J{\ displaystyle J}E{\ displaystyle E}E″{\ displaystyle E ''}(E′,E,⟨⋅,⋅⟩){\ displaystyle (E ', E, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}J:E→E″{\ displaystyle J: E \ rightarrow E ''}E{\ displaystyle E}

Esempio 4: uno spazio di sequenze ℓp   e il suo beta-duale (en) associato alla mappa bilineare definita da E{\ displaystyle E}  Eβ{\ displaystyle E ^ {\ beta}}

⟨X,y⟩: =∑io=0∞XioyioX∈E,y∈Eβ{\ displaystyle \ langle x, y \ rangle: = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} x_ {i} y_ {i} \ quad x \ in E, y \ in E ^ {\ beta}}

forma una doppia coppia.

Esempio 5: Siauna varietà regolare e reale di dimensione finita. Lasciate Esserelo spazio di-reale forme differenziali con supporto compatto su. È M{\ displaystyle M}non{\ displaystyle n}ΩvsK(M){\ displaystyle \ Omega _ {c} ^ {k} (M)}K{\ displaystyle k}M{\ displaystyle M}

⟨⋅,⋅⟩:ΩvsK(M)×Ωvsnon-K(M)→R;(α,β)↦⟨α,β⟩: =∫Mα∧β{\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle: \ Omega _ {c} ^ {k} (M) \ times \ Omega _ {c} ^ {nk} (M) \ to \ mathbb {R}; ( \ alpha, \ beta) \ mapsto \ langle \ alpha, \ beta \ rangle: = \ int _ {M} \ alpha \ wedge \ beta}

Quindi la tripla è una doppia coppia. (ΩvsK(M),Ωvsnon-K(M),⟨⋅,⋅⟩){\ displaystyle (\ Omega _ {c} ^ {k} (M), \ Omega _ {c} ^ {nk} (M), \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}

Riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato "  Dual pair  " ( vedere l'elenco degli autori ) .

1. (en) Hans Jarchow, Spazi localmente convessi , Springer ,2012( 1 a  ed. 1981) ( leggi in linea ) , p.  145-146.
2. (a) R. Abraham , JE Marsden e T. Ratiu , Manifolds, Tensor Analysis, and Applications , Springer,1988, p.  103.
3. (in) Halmos, Paul R. , Finite-Dimensional Vector Spaces (2nd Edition) , New York / Heidelberg / Berlin, Princeton, NJ: Van Nostrand,1958, 199  p. ( ISBN  0-387-90093-4 ) , p.  25, 28.

Vedi anche

• Dualità (matematica)
• Doppio di uno spazio vettoriale topologico
• Set polare
• Doppia topologia  (in)

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