Spazio precompatto
Nella topologia , una branca della matematica , uno spazio metrico E è precompatto se, per ogni ε> 0, possiamo coprire E con un numero finito di sfere di raggio ε. La proprietà principale è che uno spazio metrico è compatto se e solo se è precompatto e completo . La nozione di precompacità e le sue proprietà sono generalizzate a spazi uniformi .
Definizioni
Sia E uno spazio metrico. Se una delle seguenti tre proprietà è vera, allora tutte e tre sono ed E si dice che sia precompatta.
- Per ogni ε> 0, possiamo coprire E con un numero finito di sfere di raggio ε;
- Per ogni ε> 0, possiamo coprire E con un numero finito di parti di diametro inferiore a ε;
- Qualsiasi risultato in E ha una sottosequenza Cauchy .
- 1. ⇒ 2 .: qualsiasi palla con raggio ε ha un diametro minore o uguale a 2ε.
- 2. ⇒ 3 .: sia x una successione in uno spazio E soddisfacente 2. Copriamo E con un numero finito di parti di diametro inferiore a 2 0 = 1. Una di queste parti - chiamiamola E 0 - contiene un'infinità di termini della successione x , cioè una sottosequenza ( x φ (0, n ) ). Possiamo anche coprire E 0 con un numero finito di parti di E 0 con diametri inferiori a 2 −1 e una di esse, E 1 , conterrà una sottosequenza ( x φ (1, n ) ) di ( x φ (0, n ) ). Iterando il processo, costruiamo una sequenza decrescente di parti E k di diametri rispettivamente inferiori a 2 - k , ciascuna delle quali contiene una sottosequenza ( x φ ( k, n ) ) della sottosequenza precedente ( x φ ( k - 1, n ) ). La sottosequenza diagonale ( x φ ( n, n ) ) è quindi una sottosequenza di Cauchy di x .
- 3. ⇒ 1 .: ragionando per contrapposto , consideriamo uno spazio E che, per un certo ε> 0, non è un'unione finita di sfere aperte di raggio ε. Ciò rende possibile costruire per induzione una successione ( x n ) di punti di E tale che Questa sequenza quindi controlla:quindi ( x n ) non ammette una sottosequenza di Cauchy.
Più in generale, sia E uno spazio uniforme. Se viene verificata una delle tre proprietà seguenti, tutte e tre sono ed E si dice che siano precompatte.
- Per ogni V circostante di E , esiste una copertura finita di E i cui insiemi sono piccoli di ordine V (cioè i loro quadrati cartesiani sono inclusi in V ).
- Qualsiasi filtro di E è contenuto in un filtro di Cauchy .
- Qualsiasi ultrafiltro di E proviene da Cauchy.
Proprietà
- Qualsiasi spazio metrico precompatto è delimitato .
- Qualsiasi spazio metrico precompatto è separabile e anche ( come ogni metrica separabile ) ha una base numerabile quindi di Lindelöf .
- Teorema - Uno spazio metrico (o più in generale: uno spazio uniforme separato ) è compatto se e solo se è precompatto e completo.
-
Qualsiasi spazio metrico compatto è precompatto.
Infatti, in tale spazio, ogni successione ha una sottosequenza convergente, quindi di Cauchy. -
Qualsiasi spazio metrico compatto è completo.
È sufficiente usare che in tale spazio ogni successione ammette una sottosequenza convergente e che quando una successione di Cauchy x ammette una sottosequenza convergente y , x converge (verso il limite di y ). -
Qualsiasi spazio metrico precompatto e completo è compatto.
Infatti, in un tale spazio, ogni sequenza ha una sottosequenza di Cauchy (per precompacità) e quindi convergente (per completezza), in modo che lo spazio sia sequenzialmente compatto . Concludiamo che è compatto dal teorema di Bolzano-Weierstrass , o usando che lo spazio è Lindelöf ( cfr. Proprietà precedente) e numerabilmente compatto .
- In uno spazio uniforme, tutte le parti, gli incontri finiti, le aderenze dei precompatti, sono precompatti; qualsiasi immagine di un precompatto da una funzione uniformemente continua è precompatta: queste proprietà risultano immediatamente dalla definizione di precompacità da parte della proprietà Cauchy.
- Uno spazio metrico (risp. Uniforme) è precompatto se e solo se il suo completamento (risp. Il suo completamento separato ) è compatto.
Per lasciare E uno spazio uniforme, F un completato separato e ho l'applicazione canonica E in F . Secondo il teorema, F è compatto se e solo se è precompatto. Ora se F è precompatto allora anche E - perché la struttura uniforme di E è l'immagine reciproca per i × i di quella di F - e viceversa, se E è precompatta allora anche i ( E ) - poiché i è uniformemente continua - quindi l'adesione F anche. - Qualsiasi prodotto di spazi uniformi precompattati (in particolare qualsiasi prodotto di spazi metrici precompatti) è precompatto.
- Qualsiasi spazio di base numerabile regolare può essere metrizzato in modo precompatto.
Note e riferimenti
- Senza l' assioma della scelta , diciamo che E è precompatta se soddisfa la proprietà 2 e che è totalmente limitata se soddisfa la proprietà 1 che è allora più debole, ma la caratterizzazione della compattezza in termini di precompacità e completezza rimane vera. (en) Eric Schechter (en) , Handbook of Analysis and Its Foundations , Academic Press,1996, 883 p. ( ISBN 978-0-08-053299-8 , leggi online ) , p. 505-507
- W. F. Newns , “ On spazi precompact uniformi ”, Portugaliae Mathematica , vol. 13, n o 1,1954, p. 33-34 ( leggi in linea )
- N. Bourbaki , elementi di matematica, Libro III: Topologia generale [ dettaglio di edizioni ], p. II.30.
- In particolare: ogni spazio compatto è completo e precompatto, senza assumere esplicitamente che lo spazio sia dotato di una struttura uniforme: ogni compatto è unicamente uniforme .
- È questa caratterizzazione che viene scelta come definizione da Bourbaki , p. II.29.
- (in) AV Arkhangel'skii , "Spazio totalmente delimitato" in Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leggi in linea ).
- Georges Skandalis , Topologia e analisi 3 ° anno , Dunod, coll. "Sciences Sup", 2001
- Claude Wagschal, Topologia e analisi funzionale , Hermann, coll. "Metodi", 1995