Conteggio non intero
Un valore non intero o non intero rappresentazione di un numero utilizza un numero che non è un numero intero come base per notazione posizionale . Se si nota la base , la scritta
β>1{\ displaystyle \ beta> 1}
X=dnon⋯d2d1d0,d-1d-2⋯d-m⋯{\ displaystyle x = d_ {n} \ cdots d_ {2} d_ {1} d_ {0}, d _ {- 1} d _ {- 2} \ cdots d _ {- m} \ cdots}denota, come in altre notazioni posizionali, il numero
X=βnondnon+⋯+β2d2+βd1+d0+β-1d-1+β-2d-2+⋯+β-md-m+⋯{\ displaystyle x = \ beta ^ {n} d_ {n} + \ cdots + \ beta ^ {2} d_ {2} + \ beta d_ {1} + d_ {0} + \ beta ^ {- 1} d_ {-1} + \ beta ^ {- 2} d _ {- 2} + \ cdots + \ beta ^ {- m} d _ {- m} + \ cdots}.
I numeri sono positivi o zero interi minori di . L'espressione è anche nota con il termine β-sviluppo (in inglese β- espansione ). Ogni numero reale ha almeno una, e possibilmente un'infinità di β-espansioni. La nozione fu introdotta dal matematico ungherese Alfréd Rényi nel 1957 e poi studiata in dettaglio da William Parry nel 1960. Da allora, sono stati fatti molti ulteriori sviluppi, nel quadro della teoria dei numeri e dell'informatica teorica. Esistono applicazioni nella teoria del codice e nella modellazione dei quasicristalli .
dio{\ displaystyle d_ {i}}β{\ displaystyle \ beta}
Costruzione
Le espansioni β generalizzano l' espansione decimale . Le espansioni decimali sono uniche quando sono finite, le espansioni infinite non lo sono, poiché ad esempio l' espansione decimale dell'unità lo è . I β-sviluppi, anche finiti, non sono necessariamente unici. Quindi, se , è la sezione aurea , abbiamo , quindi 100 = 011. Una scelta canonica per l'espansione β di un numero reale è applicare il seguente algoritmo avido , dovuto essenzialmente a Rényi, e formulato come segue ad esempio da Christiane Frougny:
1,000⋯=0,999⋯{\ displaystyle 1,000 \ cdots = 0,999 \ cdots}β=φ{\ displaystyle \ beta = \ varphi}1+φ=φ2{\ displaystyle 1+ \ varphi = \ varphi ^ {2}}
Un numero reale positivo o zero. Lascia che l'intero sia tale che . Noi chiediamo:
X{\ displaystyle x}K{\ displaystyle k}βK≤X<βK+1{\ displaystyle \ beta ^ {k} \ leq x <\ beta ^ {k + 1}}
dK=⌊X/βK⌋{\ displaystyle d_ {k} = \ lfloor x / \ beta ^ {k} \ rfloor} e ,
rK={X/βK}{\ displaystyle r_ {k} = \ {x / \ beta ^ {k} \}}e per :
K>j>-∞{\ displaystyle k> j> - \ infty}
dj=⌊rj+1β⌋{\ displaystyle d_ {j} = \ lfloor r_ {j + 1} \ beta \ rfloor} e .
rj={rj+1β}{\ displaystyle r_ {j} = \ {r_ {j + 1} \ beta \}}In altre parole, questa β-espansione canonica di è costruita prendendo per il più grande intero come , quindi prendendo il più grande intero come e così via. Il resto è annotato . Questa scelta produce la sequenza più grande in ordine lessicografico rappresentativo . Abbiamo
X{\ displaystyle x}dK{\ displaystyle d_ {k}}βKdK≤X{\ displaystyle \ beta ^ {k} d_ {k} \ leq x}dK-1{\ displaystyle d_ {k-1}}βKdK+βK-1dK-1≤X{\ displaystyle \ beta ^ {k} d_ {k} + \ beta ^ {k-1} d_ {k-1} \ leq x}dj{\ displaystyle d_ {j}}dβ(X){\ displaystyle d _ {\ beta} (x)}X{\ displaystyle x}
X=∑non≤Kdnonβnon{\ displaystyle x = \ sum _ {n \ leq k} d_ {n} \ beta ^ {n}}e se 0<X≤1{\ displaystyle 0 <x \ leq 1}
X=∑non≥0dnonβ-non{\ displaystyle x = \ sum _ {n \ geq 0} d_ {n} \ beta ^ {- n}}.
In una base intera, otteniamo la normale rappresentazione del numero; la costruzione precedente estende l'algoritmo a valori non interi della base β.
Sistemi numerici generali
Una generalizzazione della nozione di β-espansione è la seguente: un sistema di numerazione (posizionale) è dato da una sequenza crescente di numeri interi positivi, con e tale che . Associamo i numeri di seguito . La rappresentazione avida di un numero intero positivo è la sequenza
U=(Unon)non≥0{\ displaystyle U = (U_ {n}) _ {n \ geq 0}}U0=1{\ displaystyle U_ {0} = 1}VSU: =sup(Unon+1/Unon<+∞{\ displaystyle C_ {U}: = \ sup {(U_ {n + 1} / U_ {n}} <+ \ infty}U{\ displaystyle U}AU={0,1,...VSU}{\ displaystyle A_ {U} = \ {0,1, \ ldots C_ {U} \}}non{\ displaystyle n}
rappresentanteU(non)=wℓ-1⋯w0{\ Displaystyle \ operatorname {rep} _ {U} (n) = w _ {\ ell -1} \ cdots w_ {0}}composto da cifre in controllo
AU{\ displaystyle A_ {U}}
non=∑io=0ℓ-1wioUio{\ displaystyle n = \ sum _ {i = 0} ^ {\ ell -1} w_ {i} U_ {i}}con le condizioni:
wℓ-1≠0{\ displaystyle w _ {\ ell -1} \ neq 0}e per .
∑io=0j-1wioUio<Uj{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {j-1} w_ {i} U_ {i} <U_ {j}}j=1,...,ℓ{\ displaystyle j = 1, \ ldots, \ ell}Questa è ovviamente l'ultima delle condizioni che determina l'avidità della rappresentazione. Notiamo
rappresentanteU(NON)={rappresentanteU(non)∣non∈NON}{\ Displaystyle \ operatorname {rep} _ {U} (\ mathbb {N}) = \ {\ operatorname {rep} _ {U} (n) \ mid n \ in \ mathbb {N} \}}l'insieme di parole che rappresentano i numeri naturali.
Esempi
La base è molto vicina alla base 2 ; convertire un numero scritto in binario in base è inserire una cifra zero tra due cifre binarie; per esempio
2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}
1911 10 = 11101110111 2 = 101010001010100010101
2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}e
5118 10 = 1001111111110 2 = 1000001010101010101010100 .
2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}Ciò implica in particolare che qualsiasi numero intero può essere scritto in base senza punto decimale.
2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}
Questa base può essere utilizzata per illustrare la relazione tra il lato di un quadrato e la sua diagonale poiché un quadrato di lato 1 ha una diagonale di lunghezza 10 e un quadrato di lato 10 ha una diagonale di lunghezza 100 . Un altro uso è quello di illustrare la proporzione di denaro notato , che vale (seguito A014176 del OEIS ), poiché è semplicemente scritto in basso . Inoltre, l'area di un ottagono regolare con lato 1 è 1100 , l'area di un ottagono regolare con lato 10 è 110.000 , l'area di un ottagono regolare con lato 100 è 11.000.000 , ecc.
2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}δAg{\ displaystyle \ delta _ {Ag}}1+2≃2.414 213 562{\ displaystyle 1 + {\ sqrt {2}} \ simeq 2 {,} 414 ~ 213 ~ 562}δAg=112{\ displaystyle \ delta _ {Ag} = 11 _ {\ sqrt {2}}}2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}
Base φ
La base aurea è il sistema di numerazione che utilizza la sezione aurea , ovvero come base . Questo sistema di numerazione non intero viene anche chiamato più raramente "sviluppo fisico" (perché il simbolo della sezione aurea è la lettera greca "phi"), ma anche come "sistema numerico Bergman". Qualsiasi numero reale positivo ha una rappresentazione standard in base φ dove vengono utilizzate solo le cifre 0 e 1 e dove viene evitata la sequenza "11". Una rappresentazione non standard in base φ con queste due cifre (o con altre cifre) può sempre essere riscritta in forma standard, utilizzando le proprietà algebriche del numero φ - cioè φ + 1 = φ 2 . Ad esempio 11 φ = 100 φ . Nonostante l'uso di una base irrazionale , tutti i numeri naturali hanno una rappresentazione unica in sviluppo finito nella base φ. I reali positivi che hanno una rappresentazione finita in base φ sono gli interi positivi di ℚ ( √ 5 ) .
φ=1+52{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}
Gli altri numeri positivi hanno infinite rappresentazioni standard in base φ, i numeri razionali positivi hanno rappresentazioni periodiche. Queste rappresentazioni sono uniche, eccetto quelle dei numeri che hanno un'espansione finita così come un'espansione incompiuta (allo stesso modo della base dieci : 2.2 = 2.199999… o 1 = 0.999… ).
Questo database è presentato, tra gli altri, da George Bergman (in) nel 1957; lo studio della base aurea ha prodotto frutti nell'informatica, ad esempio nella progettazione di convertitori analogico-digitali e processori tolleranti al rumore.
Base e
La base e del logaritmo naturale si comporta come il logaritmo decimale e ln (1 e ) = 0, ln (10 e ) = 1, ln (100 e ) = 2 e ln (1000 e ) = 3.
La base e è la scelta più economica come base , quando l'economia di una base si misura come il prodotto della base moltiplicato per la lunghezza della stringa necessaria a rappresentare un intervallo di valori.
β>1{\ displaystyle \ beta> 1}
Base π
La base π può essere utilizzata per illustrare semplicemente la relazione tra il diametro di un cerchio e la sua circonferenza , che corrisponde al suo perimetro ; dalla relazione circonferenza = diametro × π, segue che un cerchio di diametro 1 π ha circonferenza 10 π , un cerchio di diametro 10 π ha circonferenza 100 π , ecc. Allo stesso modo, poiché area = π × raggio 2 , un cerchio con raggio 1 π ha un'area di 10 π , un cerchio con raggio 10 π ha un'area di 1000 π ecc.
Proprietà
A seconda che β sia un numero Pisot , un numero Parry o un numero Bertrand, le proprietà degli sviluppi variano. Sono stati studiati anche nell'ambito delle suite automatiche .
Unicità
Non esiste un sistema di numerazione posizionale in cui qualsiasi numero ammetta un'espressione univoca. Ad esempio, in base dieci, il numero 1 ha le due rappresentazioni 1.000 ... e 0.999 ... L'insieme dei numeri che hanno due rappresentazioni è denso nell'insieme dei reali Petkovšek 1990 ; la classificazione dei numeri reali che hanno un'unica β-espansione è più complicata che per le intere basi Glendinning e Sidorov 2001 .
Sistema di parata
Se lo sviluppo del numero reale 1 è
dβ(1)=t1⋯tm0ω{\ displaystyle d _ {\ beta} (1) = t_ {1} \ cdots t_ {m} 0 ^ {\ omega}}, con ,
tm≠0{\ displaystyle t_ {m} \ neq 0}diciamo che l'espansione di 1 è finita . In questo caso ci mettiamo in posa , altrimenti ci mettiamo in posa . Quando è in definitiva periodico, il numero è chiamato numero di parata e il sistema è un sistema di parata . La sezione aurea è un numero di parata; anzi, abbiamo e . Dobbiamo a Parry la seguente caratterizzazione delle espansioni β per i numeri Parry:
dβ∗(1)=(t1⋯tm-1(tm-1))ω{\ displaystyle d _ {\ beta} ^ {*} (1) = (t_ {1} \ cdots t_ {m-1} (t_ {m} -1)) ^ {\ omega}}dβ∗(1)=dβ(1){\ displaystyle d _ {\ beta} ^ {*} (1) = d _ {\ beta} (1)}dβ∗(1){\ displaystyle d _ {\ beta} ^ {*} (1)}β{\ displaystyle \ beta}φ{\ displaystyle \ varphi}dβ(1)=11{\ displaystyle d _ {\ beta} (1) = 11}dβ∗(1)=(10)ω{\ displaystyle d _ {\ beta} ^ {*} (1) = (10) ^ {\ omega}}
Una sequenza di interi naturali è l'espansione β di un numero reale di [0,1 [se e solo se le sequenze spostate sono lessicograficamente inferiori a d ∗ β (1) per tutti .X=(Xio)io≥1{\ displaystyle x = (x_ {i}) _ {i \ geq 1}}(Xnon+io)io≥1{\ displaystyle (x_ {n + i}) _ {i \ geq 1}}dβ∗(1){\ displaystyle d _ {\ beta} ^ {*} (1)}non≥0{\ displaystyle n \ geq 0}
Sistema Pisot
Un numero Pisot-Vijayaraghavan (o più semplicemente numero Pisot ) è un numero intero algebrico reale di cui tutti i coniugati (reali o complessi ) hanno un modulo strettamente inferiore a 1. Un sistema Pisot è un sistema la cui base β è un numero di Pisot.
Questi numeri giocano un ruolo nella classificazione dei numeri le cui β-espansioni sono periodiche. Sia β> 1, e sia la più piccola estensione di campo ] numeri razionali contenenti β. Allora qualsiasi numero reale nell'intervallo [0,1 [che ha un'espansione β periodica a cui β appartiene . Più precisamente abbiamo:
Q(β){\ displaystyle \ mathbb {Q} (\ beta)}Q(β){\ displaystyle \ mathbb {Q} (\ beta)}
- Se un qualsiasi numero in ha un'espansione β periodica, allora β è un numero Pisot o un numero di Salem ;Q(β)∩[0,1[{\ displaystyle \ mathbb {Q} (\ beta) \ cap [0,1 [}
- Se β è un numero Pisot, allora è l'insieme di numeri che hanno un'espansione β periodica in ultima analisi. L'insieme di parole che rappresentano i numeri naturali è un linguaggio normale .Q(β)∩[0,1[{\ displaystyle \ mathbb {Q} (\ beta) \ cap [0,1 [}
Un numero Pisot è anche un numero Parry, quindi un sistema Pisot è un sistema Parry.
Sistema Bertrand
I sistemi numerici Bertrand furono introdotti e studiati da Anne Bertrand-Mathys. Un sistema generale di numerazione è un sistema di Bertrand se, per qualsiasi parola non vuota su , abbiamo
U{\ displaystyle U}w{\ displaystyle w}AU{\ displaystyle A_ {U}}
w∈rappresentanteU(NON){\ Displaystyle w \ in \ operatorname {rep} _ {U} (\ mathbb {N})}se e solo se .
w0∈rappresentanteU(NON){\ Displaystyle w0 \ in \ operatorname {rep} _ {U} (\ mathbb {N})}Il solito sistema di numerazione di base è un sistema Bertrand. Allo stesso modo, il solito sistema numerico di Fibonacci; d'altra parte, se consideriamo la sequenza da esso definita non è più Bertrand perché il numero 2 è la rappresentazione avida dell'intero 2, e la rappresentazione del numero 6 non è più una rappresentazione avida poiché .
K{\ displaystyle k}F={1,3,4,7,...}{\ displaystyle F = \ {1,3,4,7, \ ldots \}}F0=1,F1=3,Fnon+2=Fnon+1+Fnon,{\ displaystyle F_ {0} = 1, F_ {1} = 3, F_ {n + 2} = F_ {n + 1} + F_ {n},}20(=2×3+0){\ displaystyle 20 (= 2 \ times 3 + 0)}rappresentanteF(6)=102(=4+2×1){\ Displaystyle \ operatorname {rep} _ {F} (6) = 102 (= 4 + 2 \ times 1)}
La seguente caratterizzazione è dovuta ad Anne Bertrand:
Teorema - Sia un sistema di numerazione, e sia l'insieme dei fattori che compaiono nelle β-espansioni dei numeri reali dell'intervallo semiaperto [0,1 [. Il sistema è un sistema Bertrand se e solo se esiste un numero reale β> 1 tale che . In questo caso, per , il sistema di numerazione controlla la relazione di ricorrenza
.
U=(Unon){\ displaystyle U = (U_ {n})}F(Dβ){\ displaystyle F (D _ {\ beta})}Dβ{\ displaystyle D _ {\ beta}}U{\ displaystyle U}F(Dβ)=0∗rappresentanteU(NON){\ displaystyle F (D _ {\ beta}) = 0 ^ {*} \ operatorname {rep} _ {U} (\ mathbb {N})}dβ∗((1)=(tio){\ displaystyle d _ {\ beta} ^ {*} ((1) = (t_ {i})}Unon+1=t1Unon+⋯U0tnon+1{\ displaystyle U_ {n + 1} = t_ {1} U_ {n} + \ cdots U_ {0} t_ {n} +1}
Un numero di Bertrand è un numero reale β> 1 che soddisfa queste condizioni.
Esempio: il sistema di numerazione dato dalla ricorrenza ed è tale che
Unon+1=3Unon+1{\ displaystyle U_ {n + 1} = 3U_ {n} +1}U0=1{\ displaystyle U_ {0} = 1}
0∗rappresentanteU(NON)={0,1,2}∗∪{0,1,2}∗30∗{\ Displaystyle 0 ^ {*} \ operatorname {rep} _ {U} (\ mathbb {N}) = \ {0,1,2 \} ^ {*} \ cup \ {0,1,2 \} ^ {*} 30 ^ {*}}I sistemi di parata sono un sottoinsieme rigoroso dei sistemi Bertrand; l'esempio sopra non è un sistema di parata.
Articoli Correlati
Note e riferimenti
-
Rényi 1957
-
Parry 1960 .
-
Kautz 1965
-
Burdik et al. 1998
-
Thurston 1989
-
Frougny 1992
-
Per qualsiasi numero reale positivo o zero, denotiamo la parte intera e e la parte frazionaria di .X{\ displaystyle x}⌊X⌋{\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}{X}{\ displaystyle \ {x \}}X{\ displaystyle x}
-
Massuir, Peltomäki e Rigo 2019 .
-
Stakhov 2009 , p. 476.
-
Bergman 1957 , p. 109.
-
Stakhov 2009 , p. 477.
-
Hayes 2001
-
" Basi Strano Number " su DataGenetics (a cui si accede il 1 ° febbraio 2018 )
-
Parry 1960 .
-
Schmidt 1980
-
Bertrand-Mathis 1989 .
Bibliografia
- George Bergman , " Un sistema numerico con una base irrazionale " , Mathematics Magazine , vol. 31, n o 21957, p. 98-110 ( DOI 10.2307 / 3029218 , JSTOR 3029218 )
-
Anne Bertrand-Mathis , " Come scrivere numeri interi in una base che non è intera ", Acta Mathematica Hungarica , vol. 54, n osso 3-4,1989, p. 237–241 ( ISSN 0236-5294 , DOI 10.1007 / BF01952053 ).
-
Véronique Bruyère e Georges Hansel , " Sistemi di numerazione Bertrand e riconoscibilità ", Theoretical Computer Science , vol. 181, n o 1,1997, p. 17–43 ( DOI 10.1016 / S0304-3975 (96) 00260-5 ).
- Yann Bugeaud , Distribuzione modulo uno e approssimazione diofantina , vol. 193, Cambridge, Cambridge University Press , coll. "Tratti di Cambridge in matematica",2012, 300 p. ( ISBN 978-0-521-11169-0 , zbMATH 1260.11001 , leggi online )
-
Čestmír Burdík , Christiane Frougny , Jean-Pierre Gazeau e Rudolf Krejcar , " Beta-interi come sistemi di conteggio naturali per i quasicristalli ", Journal of Physics A: Mathematical and General , vol. 31, n o 30,1998, p. 6449-6472 ( ISSN 0305-4470 , DOI 10.1088 / 0305-4470 / 31/30/011 , Recensioni matematiche 1644115 ).
-
Aviezri S. Fraenkel, " Systems of Numeration ", The American Mathematical Monthly , vol. 92, n o 21985, p. 105-114.
-
Christiane Frougny, "Come scrivere numeri interi in base non intera" , in LATIN '92 , vol. 583/1992, Springer Berlin / Heidelberg, coll. "Appunti in informatica",1992( ISBN 978-3-540-55284-0 , ISSN 0302-9743 , DOI 10.1007 / BFb0023826 , leggi online ) , p. 154–164.
-
Christiane Frougny, “Numeration Systems” , in M. Lothaire , Algebraic Combinatorics on Words , Cambridge University Press, coll. "Encyclopedia of Mathematics and its Applications" ( n ° 90)2002( ISBN 978-0-521-81220-7 ) , p. 203-268.
-
Paul Glendinning e Nikita Sidorov , " Rappresentazioni uniche di numeri reali in basi non intere ", Mathematical Research Letters , vol. 8, n o 4,2001, p. 535-543 ( ISSN 1073-2780 , DOI 10.4310 / mrl.2001.v8.n4.a12 , Math Reviews 1851269 , leggi online ).
-
Brian Hayes , " Third base " , American Scientist , vol. 89, n o 6,2001, p. 490–494 ( DOI 10.1511 / 2001.40.3268 , leggi in linea ).
-
William H. Kautz , " Codici di Fibonacci per il controllo della sincronizzazione ", Institute of Electrical and Electronics Engineers. Transazioni sulla teoria dell'informazione , vol. IT-11, n o 21965, p. 284–292 ( ISSN 0018-9448 , DOI 10.1109 / TIT.1965.1053772 , Recensioni matematiche 0191744 , leggi online ).
-
Adeline Massuir , Jarkko Peltomäki e Michel Rigo , " Sequenze automatiche basate su sistemi di numerazione Parry o Bertrand ", Advances in Applied Mathematics , vol. 108,2019, p. 11-30 ( DOI 10.1016 / j.yam.2019.03.003 ).
-
William Parry , " Sulle β-espansioni dei numeri reali ", Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae , vol. 11, n osso 3-4,1960, p. 401–416 ( ISSN 0001-5954 , DOI 10.1007 / bf02020954 , Recensioni matematiche 0142719 ).
-
Marko Petkovšek , "I numeri ambigui sono densi ", The American Mathematical Monthly , vol. 97, n o 5,1990, p. 408–411 ( ISSN 0002-9890 , DOI 10.2307 / 2324393 , JSTOR 2324393 , Recensioni matematiche 1048915 ).
-
Alfréd Rényi , " Rappresentazioni per numeri reali e loro proprietà ergodiche ", Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae , vol. 8, n osso 3-4,1957, p. 477–493 ( ISSN 0001-5954 , DOI 10.1007 / BF02020331 , Recensioni matematiche 0097374 ).
-
Michel Rigo, Linguaggi formali, automi e sistemi di numerazione , vol. 2: Applicazioni per la riconoscibilità e la decidibilità , Londra / Hoboken, NJ, ISTE / John Wiley & Sons, Inc.,2014.
-
Klaus Schmidt , " Sulle espansioni periodiche dei numeri Pisot e dei numeri di Salem ", The Bulletin of the London Mathematical Society , vol. 12, n o 4,1980, p. 269-278 ( ISSN 0024-6093 , DOI 10.1112 / BLM / 12.4.269 , Math Recensioni 576976 ).
- Alexey Stakhov, The Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science , World Scientific ,2009, 694 p. ( ISBN 978-981-277-583-2 e 981-277-583-8 , presentazione online )
- WP Thurston , Gruppi, tassellature e automi a stati finiti , coll. "Summer AMS Colloquium Lectures",1989( leggi online )
Link esterno
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">