Misurazione (matematica)

In matematica , una misura positiva (o semplicemente una misura quando non c'è rischio di confusione) è una funzione che associa una quantità numerica a certi sottoinsiemi di un dato insieme . Questo è un concetto importante nell'analisi e nella teoria della probabilità .

Intuitivamente, misurare un insieme o un sottoinsieme è simile alla nozione di dimensione o cardinalità per gli insiemi discreti . In questo senso, la misurazione è una generalizzazione dei concetti di lunghezza , area o volume negli spazi di dimensione 1, 2 o 3 rispettivamente.

Lo studio degli spazi provvisti di misure è l'oggetto della teoria della misura .

Definizione

Formalmente, una misura μ è una funzione che associa ad ogni elemento S di una σ -algebra (o tribù) di parti di X un valore μ ( S ), che è un reale positivo o infinito. ${\ mathcal {A}}$

Definizione - Lasciate Essere uno spazio misurabile (cioè una coppia in cui è un insieme ed è una tribù su ). ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}),}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}),}$ $X$ ${\ mathcal {A}}$ $X$

Una mappa μ impostata su con valori in viene chiamata misura quando entrambe le proprietà seguenti sono soddisfatte: ${\ displaystyle {\ mathcal {A}},}$ ${\ displaystyle [0, + \ infty],}$

l'insieme vuoto ha misura zero: $\ mu \ left (\ varnothing \ right) = 0$ ;
la mappa μ è σ-additiva :

se E 1 , E 2 , ... è una famiglia numerabile di parti di X appartenenti a e se queste parti sono a due a due disgiunte , allora la misura μ ( E ) della loro unione E è uguale alla somma delle misure delle parti :

{\ displaystyle {\ mathcal {A}},}

{\ Displaystyle \ mu \ left (\ bigsqcup _ {k = 1} ^ {\ infty} E_ {k} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ mu (E_ {k}) }

Terminologie correlate

Quando abbiamo una misura μ su uno spazio misurabile , diciamo che la terzina è uno spazio misurato ; $(X, {\ mathcal {A}})$ $(X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$
Per S insieme misurabile (cioè per ), il valore μ ( S ) è chiamato misura di S ; ${\ displaystyle S \ in {\ mathcal {A}}}$
Quando μ ( X ) è finito, parliamo di misura finita o misura limitata ;
Quando μ ( X ) = 1, parliamo di una misura di probabilità . La terzina viene quindi chiamata spazio di probabilità . Per questo framework, vedere l'articolo assiomi delle probabilità . $(X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$
Quando c'è una copertura numerabile di X per sottoinsiemi di misura finita, vale a dire, più formalmente, quando c'è una serie di elementi della tribù, tutti di misura finita, con ${\ displaystyle (E_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

{\ displaystyle X = \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N}} E_ {n}}

, parliamo di σ - misura finita . Anche se ciò significa sostituire ciascuno con uno, si può supporre che la sequenza di sottoinsiemi che compaiono nella definizione stia aumentando per l'inclusione.

E_k

{\ displaystyle E_ {0} \ cup \ ldots \ cup E_ {k},}

Un sottoinsieme S di X si dice trascurabile quando è incluso in una T appartenente alla tribù e di misura zero. ${\ mathcal {A}}$
La misura μ si dice completa quando qualsiasi insieme trascurabile appartiene alla tribù . ${\ mathcal {A}}$
Funzione misurabile .

Proprietà

Le seguenti proprietà possono essere facilmente ottenute dagli assiomi precedenti:

Additività: se E 1 ed E 2 sono due insiemi misurabili disgiunti , µ ( E 1 ∪ E 2 ) = µ ( E 1 ) + µ ( E 2 ).
Monotonia: se E 1 ed E 2 sono due insiemi misurabili tali che E 1 è un sottoinsieme di E 2 , allora μ ( E 1 ) ≤ μ ( E 2 ).
Continuità a sinistra: Se E 1 , E 2 , E 3 , ... sono insiemi misurabili e se E n è un sottoinsieme di E n +1 per tutti gli n , allora l'unione E degli insiemi E n è misurabile e μ ( E ) = lim μ ( E n ).
Continuità a destra: Se E 1 , E 2 , E 3 ,… sono insiemi misurabili e se, per tutti gli n , E n +1 è un sottoinsieme di E n , allora l'intersezione E degli insiemi E n è misurabile; inoltre, se almeno uno degli insiemi E n ha una misura finita, allora μ ( E ) = lim μ ( E n ).

Esempi

Ecco alcuni importanti esempi di misurazioni:

la misura di conteggio (o misura di conteggio ) è definita da μ ( S ) = numero di elementi in S ;
la misura di Dirac μ è associato a un punto una di X è definito come μ un ( S ) = χ S ( a ), dove χ S è la funzione indicatore di S . In altre parole, la misura di un insieme è uguale a 1 se contiene il punto a ea 0 altrimenti;
la misura della densità una funzione misurabile positiva ƒ rispetto ad un'altra misura positiva μ è spesso indicata con ƒ.μ;
la misura di Lebesgue (limitata ai Boreliani ) è l'unica misura invariante per traslazione definita sulla tribù Boreliana di ℝ e tale che μ ([0,1]) = 1;
la misura di Haar su un gruppo topologico localmente compatto è una generalizzazione della misura di Lebesgue, anch'essa caratterizzata da una proprietà di invarianza.

Generalizzazione

In alcuni contesti, in particolare per mostrare la costruzione di misure a partire dai loro valori su classi di insiemi più piccoli delle tribù, è bello avere una definizione più generale per indicare brevemente i vari risultati; secondo le fonti, la parola “misura” è usata per funzioni che verificano la proprietà dell'additività numerabile su algebre di insiemi , anelli di insiemi o anche semianelli di insiemi . Più in generale, possiamo quindi chiedere:

Definizione - Sia un insieme e un insieme di parti contenenti l'insieme vuoto: $X$ $\ mathcal {C}$ $X$

Una mappa μ impostata su con valori in viene chiamata misura quando entrambe le proprietà seguenti sono soddisfatte: $\ mathcal {C}$ ${\ displaystyle [0, + \ infty]}$

Il set vuoto ha una misura zero:

{\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {C}} \ quad \ mathrm {e} \ quad \ mu \ left (\ varnothing \ right) = 0}

;

La mappa μ è σ-additiva :

se E 1 , E 2 , ... è una famiglia numerabile di parti di X appartenenti a , se queste parti sono a due a due disgiunte e se anche la loro unione E è un elemento di , allora la misura μ ( E ) di questa unione è uguale alla somma delle misure delle parti:

\ mathcal {C}

\ mathcal {C}

{\ Displaystyle \ mu \ left (\ bigsqcup _ {k = 1} ^ {\ infty} E_ {k} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ mu (E_ {k}) }

In alcuni casi, è utile avere una "misura" i cui valori non siano limitati a reali positivi e all'infinito. Ad esempio, una funzione additiva σ definita su insiemi e che assume valori reali è chiamata misura con segno , mentre una tale funzione che assume valori complessi è chiamata misura complessa (in) . Una misura che assume valori in uno spazio di Banach è chiamata misura vettoriale, un caso speciale delle quali sono misure spettrali ; questi sono usati principalmente nell'analisi funzionale per il teorema spettrale .

Un'altra generalizzazione è la nozione di misura semplicemente additiva o media . La definizione è la stessa di una misura tranne per il fatto che l' additività σ è sostituita dall'additività finita.

Infine, a volte incontriamo, soprattutto nella teoria dei numeri , "misurazioni" che verificano proprietà incompatibili con quelle delle misurazioni reali; è ad esempio il caso della densità asintotica , che consente di specificare il significato di formule come “un intero su due è pari”.

Note e riferimenti

Marc Briane e Gilles Pagès, Teoria dell'integrazione , Parigi, Vuibert , coll. "I grandi corsi Vuibert",Ottobre 2000, 2 ° ed. , 302 p. ( ISBN 978-2-7117-8946-7 ) , p. 61.
Briane e Pagès 2000 usano il termine p. 90 o p. 97 , tra gli altri.
(in) Martin Väth, Teoria dell'integrazione: un secondo corso , World Scientific ,2002, 277 p. ( ISBN 978-981-238-115-6 ), p. 8 .
(it) Achim Klenke, Teoria della probabilità: un corso completo , Springer,2008( ISBN 978-1-84800-047-6 ) , p. 12.
Ad esempio Briane e Pagès 2000 , p. 195, pongono questa condizione a prima vista aggiuntiva nella definizione di σ -finitudine.
Briane e Pagès 2000 , p. 90.
Briane e Pagès 2000 , p. 255.
Briane e Pagès 2000 , p. 63-64.
Briane e Pagès 2000 , p. 62.
La seguente definizione è quella data in (in) Inder K. Rana, An Introduction to Measure and Integration , AMS Bookstore2002, 424 p. ( ISBN 978-0-8218-2974-5 , leggi online ), definizione 3.3.1, pag. 59 . Altri autori parlano piuttosto di "premisurazione" in questi contesti più generali, per esempio Klenke 2008 , p. 12 (quando la classe è un anello di set). $\ mathcal C$