Misura semplicemente additiva

Nella teoria della misura , una misura semplicemente additiva è una versione debole di una misura: invece di essere sigma-additiva come la misura classica , è additiva solo per l'unione di un numero finito di insiemi disgiunti. Corrisponde più all'idea intuitiva che abbiamo della nozione di misurare la distanza percorsa, misurare l'area, misurare il volume o misurare il peso.

Nella teoria dell'integrazione , la nozione di misura semplicemente additiva porta alla nozione di integrale di Riemann , mentre la nozione di misura sigma-additiva porta alla nozione di integrale di Lebesgue .

Definizione

Se E è un insieme e un clan di E , cioè un insieme non vuoto di parti di E stabile per unione finita e per complementarità, chiamiamo semplicemente misura additiva su qualsiasi mappa f di in tale che, per tutte le parti A e B disgiunte e appartenenti a : $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $[0, + \ infty]$ ${\ mathcal C}$ $f (A \ cup B) = f (A) + f (B)$

Ad esempio, in , possiamo definire una misura semplicemente additivo sul set formata finiti unioni intervallo dalla regolazione: $L$ $(I) =$ $b - a$ , dove a e b sono i limiti inferiore e superiore di I. Questa misura si chiama lunghezza dell'intervallo I. Definiamo la lunghezza di un'unione di intervalli disgiunti come la somma delle lunghezze di ciascun intervallo. $\ mathbb {R}$

Allo stesso modo, possiamo definire, in un piano dotato di un sistema di coordinate ortonormali, una misura di superficie sull'insieme di rettangoli i cui lati sono paralleli agli assi, le loro unioni finite e i loro complementi impostando Area (rettangolo di lati x ed y ) = x × y .

Se U è un insieme finito, una probabilità p su U è una misura semplicemente additiva dell'insieme di parti di U con valori in [0,1] che soddisfano p ( U ) = 1

Misurazione semplicemente additiva e calcolo dell'area

Dalla misura della superficie sulle unioni finite di rettangoli, possiamo definire la misura delle cosiddette superfici quarrabili

Per una data superficie, S, osserviamo l'insieme delle unioni finite di rettangoli contenute in S, C int , e l'insieme delle unioni finite di rettangoli contenenti S, C ext . Se , si dice che la superficie S è quarrabile e la sua area è uguale a questo valore comune. $\ sup _ {{A \ in C _ {{int}}}} {\ mathrm {ary}} (A) = \ inf _ {{A \ in C _ {{ext}}}} {\ mathrm {ary }} (AT)$

Misura di Riemann semplicemente additiva e integrale

Dalla misura della lunghezza dell'intervallo è possibile definire una misura sull'insieme delle funzioni a gradini (o semplice funzione a gradini ). Una funzione scala è una combinazione lineare di funzioni intervallo caratteristiche .

$f (x) = \ sum _ {{k = 1}} ^ {N} a_ {k} \ chi _ {{I_ {k}}} (x)$

L'integrale di f è quindi la corrispondente combinazione lineare delle lunghezze dell'intervallo $\ int f = \ sum _ {{k = 1}} ^ {N} a_ {k} L (I_ {k})$ .

Estendiamo quindi questa nozione all'insieme delle cosiddette funzioni integrabili nel senso di Riemann. Per una data funzione f , consideriamo l'insieme F inf delle funzioni scala aumentato di f e l'insieme F sup delle funzioni scala ridotto di f . Se , la funzione f è detta integrabile e il suo integrale è uguale a questo valore comune. $\ sup _ {{g \ in F _ {{inf}}}} \ int g = \ inf _ {{g \ in F _ {{sup}}}} \ int g$

Bibliografia

André Revuz , "Integrazione e misurazione" , in Encyclopædia Universalis , vol. 12,Giugno 1990, p. 406-408