Siano E ed F di spazi misurabili dotati delle rispettive tribù ℰ e ℱ.
Una funzione f : E → F si dice (ℰ, ℱ) -misurabile se l' immagine reciproca della tribù di f della tribù ℱ è inclusa in ℰ, cioè se:
L'identità, il composto di due funzioni misurabili, è misurabile. Le funzioni misurabili forniscono quindi alla classe degli spazi misurabili una struttura di categoria .
Se F è l' insieme dei numeri reali e se ℱ è la sua tribù boreliana , diremo semplicemente che f è una funzione misurabile su ( E , ℰ).
La tribù boreliana su ℝ essendo generata (ad esempio) dall'insieme di semirette della forma ] a , + ∞ [ , il lemma di trasporto assicura che f sia una funzione misurabile su ( E , ℰ) se e solo se il reciproco l'immagine di f di ciascuna di queste semirette è in ℰ. Ad esempio: qualsiasi funzione reale di una variabile reale che sia monotona è boreliana.
Per le funzioni con valori nella riga completata ℝ = ℝ ∪ {–∞, + ∞} , un risultato simile vale per gli intervalli ] a , + ∞] .
Sia E uno spazio misurabile e ( f n ) n una successione di funzioni misurabili da E a ℝ (o anche a ℝ ). Allora la funzione f definita da f = sup n f n (con valori in ℝ ) è misurabile. Infatti, si può scrivere l'immagine reciproca con f di ] a , + ∞]
e questo insieme è un'unione numerabile di elementi di ℰ, quindi un insieme misurabile.
Passando agli opposti, si deduce che, se le funzioni f n di E in ℝ sono tutte misurabili, allora è misurabile anche la funzione inf n f n .
Possiamo quindi mostrare che le funzioni limite inferiore e superiore liminf n → ∞ f n e limsup n → ∞ f n sono misurabili.
In particolare :
Se ( E , ℰ) è uno spazio metrizzabile separabile dotato della sua tribù Boreliana , qualsiasi funzione misurabile su E (con valori reali) e limitata è limite monotono di funzioni continue limitate .