Teoria della misurazione

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La teoria della misura è la branca della matematica che si occupa degli spazi misurati ed è il fondamento assiomatico della teoria della probabilità .

Storia

Nel 1894 , Émile Borel enuncia la prima definizione di insieme trascurabile . Nel 1897 definì gli insiemi misurabili . Nel 1901 , Henri-Léon Lebesgue introdusse la nozione di misurazione . La teoria si sviluppò fino al 1950. Andreï Kolmogorov propose un'assiomatizzazione del calcolo delle probabilità basata in particolare sull'integrale definito da una misura.

Lebesgue ei suoi successori furono portati a generalizzare la nozione di integrale al punto da renderla ciò che alcuni chiamano un integrale astratto. L'area sotto una curva è calcolata da una somma di piccoli rettangoli la cui altezza rappresenta il valore medio della funzione su un intervallo e la base è la misura dell'intervallo. Su una retta reale, la misura di Lebesgue di un intervallo è la differenza delle distanze dall'origine. Ma una misura è una funzione, e questo portò quindi i matematici dell'epoca a generalizzare l'integrale non più secondo una misura particolare, quella di Lebesgue, ma secondo una misura qualsiasi. È come se per misurare un intervallo usassimo un abaco (misure discrete) o qualsiasi altro strumento piuttosto che un metro a nastro.

Integrazione secondo una misura

Valutazione

Sia uno spazio misurato . Se è una funzione misurabile , l'integrale di secondo si scrive: (Ω,E,μ){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {E}}, \ mu)}F{\ stile di visualizzazione f}F{\ stile di visualizzazione f}μ{\ displaystyle \ mu}

∫ΩF(X)Dμ(X){\ displaystyle \ displaystyle \ int _ {\ Omega} f (x) \, {\ textrm {d}} \ mu (x)} In cui si ∫ΩFDμ{\ displaystyle \ displaystyle \ int _ {\ Omega} f \, {\ textrm {d}} \ mu}

Misurazione della densità

Quando la misura rappresenta l'integrale di una funzione, si parla di misura di densità:

∀A∈Eν(A)=∫AGDμ{\ displaystyle \ displaystyle \ forall A \ in {\ mathcal {E}} \ quad \ nu (A) = \ int _ {A} g \, {\ textrm {d}} \ mu}

Quando è una misura positiva e una funzione misurabile positiva (cioè è una misura positiva), si ha, per ogni funzione misurabile positiva , per il teorema di convergenza monotona  : μ{\ displaystyle \ mu}G{\ stile di visualizzazione g}ν{\ displaystyle \ nu}F{\ stile di visualizzazione f}

∀A∈E∫AFDν=∫AFGDμ{\ displaystyle \ displaystyle \ forall A \ in {\ mathcal {E}} \ quad \ int _ {A} f {\ textrm {d}} \ nu = \ int _ {A} fg \, {\ textrm {d }} \ m}

Questo risultato si estende a funzioni integrabili per definizione di queste ultime. ν{\ displaystyle \ nu}

Un corollario del teorema di Radon-Nikodym-Lebesgue dà che, se e sono due misure positive- finite tali che è assolutamente continua rispetto a , allora è una misura con densità rispetto a . μ{\ displaystyle \ mu}ν{\ displaystyle \ nu}σ{\ displaystyle \ sigma}ν{\ displaystyle \ nu}μ{\ displaystyle \ mu}ν{\ displaystyle \ nu}μ{\ displaystyle \ mu}

Vedi anche

• problema di Ruziewicz

[PDF] Corso di misura e integrazione L3 presso la Joseph Fourier University (Grenoble)

Bibliografia

• Thierry Gallouët, Raphaèle Herbin: Misura, integrazione, probabilità , Ellissi, 2013.
• Th. Hawkins, La teoria dell'integrazione di Lebesgue , Madison, 1970.
• A. Michel, Costituzione della moderna teoria dell'integrazione , Parigi, 1992.
• Jean-Pascal Ansel, Yves Ducel, Esercizi corretti nella teoria della misurazione e dell'integrazione , Ellipses 1995, ( ISBN  2-7298-9550-7 ) .

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