Equazione di Pell-Fermat

In matematica e più precisamente in aritmetica , l' equazione di Pell-Fermat è un'equazione diofantea polinomiale quadratica . Se n è un intero positivo che non è un quadrato perfetto e m un intero diverso da zero, l'equazione assume la forma seguente:

X2-nonsì2=m.{\ displaystyle x ^ {2} -ny ^ {2} = m.}

Le soluzioni cercate sono soluzioni tali che x e y sono valori interi.

L'equazione di Pell-Fermat è studiata in diverse forme da diverse civiltà come l' antica Grecia , l' India o la civiltà araba . La soluzione finale è relativamente tardi, si trova in Europa durante il XIX °  secolo .

Una forma particolarmente studiata è quella in cui il parametro m è uguale a ± 1 (cioè a 1 oa –1). Diversi algoritmi consentono di determinare una soluzione; il metodo chakravala o quello delle frazioni continue sono i più famosi.

In Francia, questa equazione è chiamata Pell o Pell-Fermat in onore dei matematici John Pell e Pierre de Fermat . È a Leonhard Euler che dobbiamo l'associazione del nome di Pell a questa equazione, a seguito di una confusione perché questo matematico non ha lavorato su questa equazione. La traduzione del nome equazione di Pell è generalmente utilizzata nella lingua non francese.

L'articolo "  Frazione continua di un irrazionale quadratico  " propone un metodo di risoluzione se m = ± 1, così come l'esempio per n = 61. L'articolo Metodo Chakravala propone un altro metodo comparabile, piuttosto semplice e veloce, sia per la teoria che per la pratica . Vengono discussi gli esempi n = 61, 83, 103 e 313.

Storia

Origini

La storia dell'equazione di Pell-Fermat è particolarmente ricca e antica. Il problema dei buoi di Helios attribuito ad Archimede è talvolta citato come primo esempio di equazione di Pell-Fermat. Non è però certo che Archimede ne sia l'autore e che la relazione con detta equazione sia stata fatta. Ma Diofanto , probabilmente un matematico vissuto nel III °  secolo, parla esplicitamente di un'equazione di questa natura, nel suo libro Arithmetica . Con le notazioni del paragrafo Definizioni , studia il caso in cui n è uguale a 1 e m a 1, –1 o 12 nonché il caso in cui n e m sono uguali a 9. Da prima della nostra era, i greci sapevano di l'esistenza della seguente uguaglianza:

5772-2⋅4082=1.{\ displaystyle 577 ^ {2} -2 \ cdot 408 ^ {2} = 1.}

Il matematico indiano Brahmagupta ( 598 - 668 ) sembra essere il primo ad approfondire la questione, studia il caso in cui m = 1. In 628 stabilisce un'uguaglianza permettendo, utilizzando due soluzioni dell'equazione, di costruirne una terza. Così, combinando due volte la stessa soluzione, ne ottiene una nuova e così via, che dà tante soluzioni quante ne vuole. Questo metodo gli permette di andare oltre. Usando una coppia ( x , y ) di numeri interi tali che x 2 - ny 2 è uguale a ± 2, Brahmagupta costruisce una soluzione. Quindi, usando un algoritmo un po' più complesso, ottiene un risultato simile se x 2 - ny 2 è uguale a ± 4. Per tentativi ed errori, riesce a trovare soluzioni in molte configurazioni. Il suo strumento principale è l'algoritmo di Euclide , comunemente indicato dagli indiani come lo spruzzatore perché rompe i numeri in pezzi sempre più piccoli .

Il passo successivo è stata scattata dal Bhaskara , un matematico indiano del XII °  secolo . Arricchisce la gamma delle tecniche di Brahmagupta e presenta un metodo completo, chiamato chakravala . Corrisponde ad un algoritmo intelligente che permette di determinare una soluzione primitiva, cioè una soluzione che genera tutte le altre. Non era nella pratica dei matematici indiani di quel tempo cercare prove diverse da quelle sperimentali. Quanto all'esaustività di tutte le soluzioni trovate, anche la questione non è affrontata.

L'Europa e l'età classica

La popolarità di questa equazione deriva da una sfida che Pierre de Fermat lanciò a Bernard Frénicle de Bessy nel febbraio 1657 (dopo un'altra più famosa sfida datata 3 gennaio dello stesso anno); gli pone diverse domande tra cui quella di una soluzione dell'equazione di Pell-Fermat, già trovata da Brahmagupta e Bhāskara II, corrisponde al caso n = 61 e m = 1 (propone anche il caso n = 109). Ne seguì una comunicazione epistolare, finalmente pubblicata da John Wallis , tra Kenelm Digby , William Brouncker e Wallis per l'Inghilterra, Frans van Schooten per il Belgio e Bernard Frénicle de Bessy per la Francia. Ci dice che Brouncker scoprì un metodo equivalente a quello degli indiani, senza però fornire più prove dei suoi predecessori. Frénicle de Bessy calcola tutte le soluzioni per n minore o uguale a 150, ma il suo lavoro è perduto. Sfida Brouncker con un valore di 313 per n . Brouncker offre una soluzione primitiva e specifica che non gli ci volle più di "un'ora o due" per trovarla. La risposta è la seguente:

X=32188120829134849esì=1819380158564160.{\ displaystyle x = 32 \, 188 \, 120 \, 829 \, 134 \, 849 \ quad {\ text {e}} \ quad y = 1 \, 819 \, 380 \, 158 \, 564 \, 160 .}

Wallis dimostra rigorosamente i risultati di Brahmagupta, cioè la ragione che permette di trovare una soluzione se il valore raggiunto è 2 o 4 in valore assoluto . Nel 1658 , Johann Heinrich Rahn ha pubblicato un libro di algebra, che contiene un esempio di un'equazione ora chiamato Pell-Fermat, rilettura e tradotto in inglese da John Pell ( 1611 - 1685 ) . Questo è l'unico contributo noto del matematico all'equazione che ora porta il suo nome.

Diversi matematici affermano che esiste una soluzione per qualsiasi valore di n (a condizione di scegliere m uguale a 1), Fermat afferma inoltre che il numero di soluzioni è infinito. D'altra parte, nessuna prova di questo periodo è nota.

Leonhard Euler ( 1707 - 1783 ) riprende i lavori di Brouncker e quelli di Wallis, proponendo il formalismo della frazione continua , equivalente all'algoritmo sviluppato da Bhāskara II . Solo la fine è diversa; una volta trovato un valore pari a ± 2 o ± 4 in valore assoluto, è infatti più veloce utilizzare il lemma di Brahmagupta. Euler attribuisce erroneamente il lavoro passato a Pell. Joseph-Louis Lagrange ( 1736 - 1813 ) riprende il lavoro di Eulero e aggiunge le due bozze mancanti. Dimostra che per ogni valore di n esiste un'infinità di soluzioni e che tutte queste soluzioni sono generate da quella risultante dall'algoritmo delle frazioni continue. Per tutto questo tempo, l'Europa è stata ignara del lavoro dei loro predecessori indiani.

XIX °  secolo

Il metodo chakravala o quello delle frazioni continue ha contribuito in tutto e per tutto a questa equazione, il che equivale a trattare il caso del parametro m uguale a ± 1. Il caso generale richiede nuove idee e occorre ancora un secolo per affrontarle. Un approccio fondamentale è l'opera di Carl Friedrich Gauss ( 1777 - 1855 ) . Lavora su strutture provviste di addizione e moltiplicazione, ma che non sono quelle dell'anello degli interi . Una di queste strutture è quello di interi di Gauss , vale a dire i numeri della forma a + i b dove un e b sono numeri interi ed i l' unità immaginaria dei numeri complessi . Un tale mondo ha una divisione euclidea , che rende possibile stabilire il teorema di Bachet-Bézout , il lemma di Euclide e il teorema fondamentale dell'aritmetica . Tale anello presenta primi gaussiana , e un approccio simile per aritmetica in Z è possibile. Questo approccio fa ora parte di una teoria chiamata aritmetica modulare . Un approccio di questa natura permette di giungere alla conclusione di un'equazione diofantea simile a quella di Pell-Fermat, trattata dal teorema dei due quadrati di Fermat . Se i viene sostituito, ad esempio dal numero aureo , pari a (1 + √ 5 ) / 2, si ottiene una struttura alquanto simile, anch'essa euclidea, corrispondente all'equazione di Pell-Fermat per il parametro n uguale a 5, e è possibile trattarvi l'equazione per qualsiasi valore del parametro n , a condizione di avere la legge di reciprocità quadratica , dimostrata da Gauss. Questa legge corrisponde ancora a un'equazione diofantea alquanto simile.

Il lavoro di Gauss porta due progressi: offrono un buon quadro per lo studio dell'equazione di Pell-Fermat e consentono di risolverlo interamente nel caso in cui questo quadro sia euclideo. Ci sono, tuttavia, molti casi in cui il carattere euclideo è assente. Questo quadro, euclideo o no, porta il nome di anello di interi algebrici e per la risoluzione dell'equazione di Pell-Fermat ne è utile una piccola parte, quella formata da interi quadratici . Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet ( 1805 - 1859 ) studia e spiega il loro gruppo di unità nel caso generale. Questo gruppo corrisponde esattamente alle soluzioni dell'equazione di Pell-Fermat per m = ± 1, fornendo una dimostrazione diversa da quella di Lagrange, e che generalizza a tutti gli anelli di interi algebrici e non solo quadratici. Se questo risultato fa avanzare la teoria dei numeri, non permette di sbloccare la questione dell'equazione di Pell-Fermat nel caso generale, perché riguarda solo le soluzioni per il parametro m pari a ± 1.

Se le tecniche gaussiane funzionano è grazie all'equivalente dei numeri primi e al teorema fondamentale dell'aritmetica , che si trova in qualsiasi anello euclideo. Gli anelli con proprietà o assiomi più deboli hanno un equivalente, questi sono chiamati anelli fattoriali . Nel caso generale, un anello di interi algebrici non è né euclideo né fattoriale. Richard Dedekind ( 1831 - 1916 ) , seguendo il lavoro di Ernst Kummer ( 1810 - 1893 ) , trova l'approccio giusto. Mette in evidenza gli assiomi che verificano buoni anelli di interi algebrici, che ora sono chiamati anelli di Dedekind . Usando questa nuova struttura, stabilisce un equivalente del teorema fondamentale dell'aritmetica. Un secondo teorema, relativo al gruppo delle classi ideali, permette di trovare tutte le soluzioni dell'equazione di Pell-Fermat e per tutti i valori di n .

Matematica Ricreativa

Nella sua opera Amusements in Mathematics pubblicata nel 1917, Henry Dudeney pone l'enigma della battaglia di Hasting  : quanti erano gli uomini di Harold , raggruppati in 61 quadrati identici e che ne formavano uno solo quando il loro capo si univa a loro?

La risposta a questo indovinello è del tutto irrealistica (3.119.882.982.860.264.400 uomini).

È possibile che questo indovinello sia apparso su una rivista diversi anni prima della pubblicazione della raccolta poiché Martin Gardner riferisce che Sam Loyd , morto nel 1911, lo modificò (13 quadrati invece di 61) per rendere la risposta più realistica (421.200 uomini).

Definizioni

Un'equazione diofantea è un'equazione le cui soluzioni desiderate sono generalmente intere e talvolta razionali . Qui, sono le soluzioni intere che vengono studiate. La definizione dell'equazione è la seguente:

• A Pell-Fermat equazione è un'equazione diofantea della forma seguente, dove n è un non-quadrato strettamente positivo interi e m qualsiasi numero intero diverso da zero:

X2-nonsì2=m.{\ displaystyle x ^ {2} -ny ^ {2} = m.}

Per trovare tutte le soluzioni, se esistono, è necessario analizzare il caso in cui m è invertibile in interi, cioè uguale a ± 1. Questo caso è abbastanza importante che a volte l'equazione di Pell-Fermat designa solo il caso in cui m è uguale a 1 o ± 1. E 'conveniente per il lavoro nel settore commutativa della numeri della forma a + √ n B , in cui una e b sono indicati due razionali numeri . Questa doppia ragione è la motivazione per le seguenti due definizioni:

• Una radice o unità dell'equazione è un numero reale ρ della forma un + √ n b , con un e b due numeri interi tali che ρρ 'è uguale a ± 1, qui ρ' denota il numero a - √ n b , chiamato coniugato di .

Un interesse della definizione precedente deriva dal fatto che i coefficienti di soddisfano la seguente uguaglianza, e viceversa che ogni coppia di interi che soddisfa questa uguaglianza definisce una radice.

a2-nonb2=±1.{\ displaystyle a ^ {2} -nb ^ {2} = \ pm 1.}

• Una radice ω si dice unità primitiva o fondamentale se per ogni radice ρ esiste un intero relativo k tale che ρ è uguale a ω k oa –ω k .

Caso in cui m è uguale a ± 1

Per tutto il resto dell'articolo, le lettere Z , Q e R indicano rispettivamente interi relativi , numeri razionali e numeri reali .

Un primo studio consiste nel risolvere il caso in cui m è uguale a ± 1. Può essere visto sia come una fine, sia come un passaggio necessario per la completa risoluzione dell'equazione. Spesso il termine "equazione di Pell-Fermat" designa solo questo caso particolare.

Esistono tre diversi approcci teorici, due dei quali offrono un metodo efficace per la risoluzione. Il primo metodo, nel senso storico, è il più efficiente in termini algoritmici , è anche piuttosto il più semplice per un approccio teorico, porta il nome di chakravala dato dai suoi inventori indiani. Il secondo si basa sulle frazioni continue . Storicamente, è la fonte della prima dimostrazione teorica conosciuta della struttura delle soluzioni. Il terzo, derivante dalla teoria algebrica dei numeri è il più potente, deriva da un approccio in grado di risolvere completamente l'equazione.

Metodo Chakravala

Questo metodo parte inizialmente da un uso giudizioso della seguente formula, chiamata identità di Brahmagupta  :

∀a1,b1,a2,b2∈Z(a12-nonb12)(a22-nonb22)=(a1a2+nonb1b2)2-non(a1b2+b1a2)2.{\ displaystyle \ forall a_ {1}, b_ {1}, a_ {2}, b_ {2} \ in \ mathbb {Z} \ quad (a_ {1} ^ {2} -nb_ {1} ^ {2} }) (a_ {2} ^ {2} -nb_ {2} ^ {2}) = (a_ {1} a_ {2} + nb_ {1} b_ {2}) ^ {2} -n (a_ { 1} b_ {2} + b_ {1} a_ {2}) ^ {2}.}

Quindi, se ( a 1 , b 1 ) e ( a 2 , b 2 ) formano due coppie di soluzioni, l'identità precedente mostra che ( a 1 a 2 + nb 1 b 2 , a 1 b 2 + b 1 a 2 ) è ancora una soluzione. È saggio dotare l'insieme Z 2 di coppie di interi di una legge di composizione interna *  :

∀(a1,b1)(a2,b2)∈Z2(a1,b1)*(a2,b2)=(a1a2+nonb1b2,a1b2+b1a2).{\ displaystyle \ forall (a_ {1}, b_ {1}) (a_ {2}, b_ {2}) \ in \ mathbb {Z} ^ {2} \ quad (a_ {1}, b_ {1} ) * (a_ {2}, b_ {2}) = (a_ {1} a_ {2} + nb_ {1} b_ {2}, a_ {1} b_ {2} + b_ {1} a_ {2} ).}

L'insieme Z 2 provvisto di questa legge interna è un monoide commutativo , vale a dire che la legge è associativa e ha un elemento neutro - la coppia (1, 0) - ed è commutativa. Secondo l'identità di Brahmagupta, il sottoinsieme G delle soluzioni dell'equazione per m = ± 1 è stabile per la legge * e ogni elemento ( a , b ) di G ha una simmetria in G  : la coppia ( a , - b ) o (- a , b ), a seconda che a 2 - nb 2 sia uguale a 1 oa –1. Quindi, ( G , *) forma un gruppo abeliano .

Lo studio di questo gruppo consente lo sviluppo di un metodo efficiente di risoluzione per valori di m pari a ± 1. Ad esempio, se α è un elemento di G , soluzione per il valore m  = –1, α 2 è soluzione per il valore m = 1. Quella del monoide ( Z 2 , *) permette di mettere in relazione queste soluzioni con quelle per d' altri valori di m . Ad esempio, se α è la soluzione per il valore m = ± 2, allora α 2 /2 è una soluzione per il valore m = 1. Infine, se α è la soluzione per il valore m = ± 4 allora α 3 /8 è - in determinate ipotesi che le sue due componenti siano intere - una soluzione per il valore m = ± 1.

L'articolo dettagliato propone un metodo esaustivo che permette di trovare una soluzione in tutti i casi, partendo dalle proprietà della moltiplicazione * . Mostra anche come questo metodo permetta di chiarire la struttura del gruppo di soluzioni.

Un modo conveniente per vedere questo gruppo è identificare la coppia ( a , b ) con il numero reale a + √ n b . Questo insieme forma un anello , indicato Z [ √ n ]. Il gruppo G si identifica con il gruppo di unità di Z [ √ n ], cioè con il gruppo di elementi invertibili dell'anello. Per questo motivo, una soluzione dell'equazione è spesso scritta a + √ n b . Una notevole identità mostra la relazione:

a2-nonb2=(a+bnon)(a-bnon).{\ displaystyle a ^ {2} -nb ^ {2} = (a + b {\ sqrt {n}}) (ab {\ sqrt {n}}).}

Gruppo unità

Risolvere l'equazione x 2 - ny 2 = ± 1 equivale in definitiva a spiegare gli elementi del gruppo di unità dell'anello Z [ √ n ]. Il gruppo G è isomorfo al prodotto diretto del gruppo ciclico con due elementi di Z / 2 Z e Z . C'è sempre un elemento α del gruppo che genera tutti gli altri , che giustifica la definizione di unità fondamentale , cioè un elemento α di G tale che:

∀β∈G∃e∈{0,1},∃K∈Zad esempioβ=(-1)eαK.{\ displaystyle \ forall \ beta \ in G \ quad \ esiste e \ in \ {0,1 \}, \; \ esiste k \ in \ mathbb {Z} \ quad {\ text {come}} \ quad \ beta = (- 1) ^ {e} \ alfa ^ {k}.}

L'esistenza di un'unità fondamentale per ogni valore positivo e non quadrato di n è dimostrata nell'articolo dettagliato. A volte è indicato anche come radice primitiva.

Lasciate α essere un'unità fondamentale e un e b essere il due numeri interi tali che: α = un + √ n b . Il gruppo G contiene esattamente quattro unità fondamentali: a + √ n b , a - √ n b , - a + √ n b e - a - √ n b .

Questa proprietà è una diretta conseguenza del teorema di struttura affermato all'inizio del paragrafo. La figura a destra illustra il caso in cui n è uguale a 5. L'anello Z [ √ 5 ] è un sotto-anello di anello degli interi di Q ( √ 5 ) . I diversi elementi di G giacciono su quattro rami di iperboli . Ci sono due linee asintotiche, con equazione x = ± √ n y .

Frazione continua

Una soluzione dell'equazione di Pell-Fermat è una buona approssimazione frazionaria della radice quadrata. Nel caso generale, una frazione di tipo p / q approssima un irrazionale con una precisione di 1 / q o 1 / (2 q ) . Una soluzione dell'equazione di Pell-Fermat è più precisa. Infatti, se ( a , b ) è una soluzione:

|a2-nonb2|=1e|ab-non||ab+non|=1b2.{\ displaystyle \ left | a ^ {2} -nb ^ {2} \ right | = 1 \ quad {\ text {et}} \ quad \ left | {\ frac {a} {b}} - {\ sqrt {n}} \ destra | \ sinistra | {\ frac {a} {b}} + {\ sqrt {n}} \ destra | = {\ frac {1} {b ^ {2}}}.}

Poiché √ n > 1 e a / b ≥ 1, otteniamo la seguente approssimazione:

|ab-non|<12b2{\ displaystyle \ left | {\ frac {a} {b}} - {\ sqrt {n}} \ right | <{\ frac {1} {2b ^ {2}}}}.

Si deduce che a e b sono numeratore e denominatore di un ridotto della frazione continua di √ n , vale a dire che (per un certo intero k ):

ab=[f0,f1,f2,...,fK],connon=[f0,f1,f2,...,fK,...].{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = [f_ {0}, f_ {1}, f_ {2}, \ punti, f_ {k}], \ quad {\ text {con}} \ quad {\ sqrt {n}} = [f_ {0}, f_ {1}, f_ {2}, \ punti, f_ {k}, \ punti].}

L'espansione in frazione continua della radice quadrata di un intero non quadrato è periodica dal rango 1, cioè ha la forma

non=[f0,f1,f2,⋯,fp-1,fp,f1,f2,⋯,fp-1,fp,f1,⋯]=[f0,f1,f2,⋯,fp¯]{\ displaystyle {\ sqrt {n}} = [f_ {0}, f_ {1}, f_ {2}, \ cdots, f_ {p-1}, f_ {p}, f_ {1}, f_ {2} }, \ cdots, f_ {p-1}, f_ {p}, f_ {1}, \ cdots] = [f_ {0}, {\ overline {f_ {1}, f_ {2}, \ cdots, f_ {p}}}]}.

La prima soluzione ridotta dell'equazione di Pell è quella dell'indice p - 1. Ad esempio, se n è uguale a 29, troviamo f 0 = 5, che corrisponde alla parte intera della radice quadrata, quindi il periodo (2, 1 , 1, 2, 10). La soluzione corrisponde alla frazione continua

[5,2,1,1,2]=7013et702-29⋅132=4900-4901=-1{\ displaystyle [5,2,1,1,2] = {\ frac {70} {13}} \ quad {\ rm {et}} \ quad 70 ^ {2} -29 \ cdot 13 ^ {2} = 4900-4901 = -1}.

Questo approccio permette di dimostrare semplicemente l'esistenza di un'unità fondamentale .

Equazione di Pell e intero algebrico

Se ( un , b ) soddisfa un'equazione Pell del tipo x 2 - ny 2 = ± 1, quindi una + √ n b è un elemento del gruppo di unità di anello degli interi di estensione quadratica Q ( √ n ) , poiché ( a + √ n b ) ( a - √ n b ) = ± 1 . Il gruppo di unità e l'equazione di Pell sono studiati nel caso n = 5 nell'articolo “  Anello di interi di Q ( √ 5 )  ”. Questa analisi mostra la relazione tra le equazioni di Pell e la teoria algebrica dei numeri .

Caso m = 1

Se , allora l'equazione di Pell x 2 - ny 2 = 1 ammette, secondo la parità di p , la seguente soluzione “minima” : non=[a0,a1,a2,a3,...,ap-1,ap¯]{\ displaystyle {\ sqrt {n}} = [a_ {0}, {\ overline {a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ ldots, a_ {p-1}, a_ {p} }}]}(X1,sì1){\ stile di visualizzazione (x_ {1}, y_ {1})}

• quando p è ancora, la coppia dove è la diminuzione di rango p - 1 di √ n(X1,sì1)=(hp-1,Kp-1){\ stile di visualizzazione (x_ {1}, y_ {1}) = (h_ {p-1}, k_ {p-1})}hp-1Kp-1{\ displaystyle {\ frac {h_ {p-1}} {k_ {p-1}}}}
• quando p è dispari, la coppia dove è la riduzione di rango 2 p - 1 di √ n(X1,sì1)=(h2p-1,K2p-1){\ stile di visualizzazione (x_ {1}, y_ {1}) = (h_ {2p-1}, k_ {2p-1}) \,}h2p-1K2p-1{\ displaystyle {\ frac {h_ {2p-1}} {k_ {2p-1}}}}

Il ridotto di rango r di √ n essendo la frazione irriducibile hrKr=[a0,a1,...,ar].{\ displaystyle {\ frac {h_ {r}} {k_ {r}}} = [a_ {0}, a_ {1}, \ ldots, a_ {r}].}

Le altre soluzioni con k ≥ 1 si ottengono identificando con lo sviluppo di(XK,sìK){\ stile di visualizzazione (x_ {k}, y_ {k})}XK+sìKnon{\ displaystyle x_ {k} + y_ {k} {\ sqrt {n}}}(X1+sì1non)K.{\ displaystyle (x_ {1} + y_ {1} {\ sqrt {n}}) ^ {k}.}

In particolare , ecc. (X2,sì2)=(X12+nonsì12, 2X1sì1){\ displaystyle (x_ {2}, y_ {2}) = (x_ {1} ^ {2} + ny_ {1} ^ {2}, \ 2x_ {1} y_ {1}) \,}(X3,sì3)=(X13+3nonX1sì12, 3X12sì1+nonsì13){\ displaystyle (x_ {3}, y_ {3}) = (x_ {1} ^ {3} + 3nx_ {1} y_ {1} ^ {2}, \ 3x_ {1} ^ {2} y_ {1 } + ny_ {1} ^ {3}) \,}

La formula di ricorrenza è:(XK+1,sìK+1)=(XKX1+nonsìKsì1, XKsì1+sìKX1).{\ displaystyle (x_ {k + 1}, y_ {k + 1}) = (x_ {k} x_ {1} + ny_ {k} y_ {1}, \ x_ {k} y_ {1} + y_ { k} x_ {1}).}

Esempi: n = 28, 19, 17 e 29

• n = 28:
  Il periodica espansione della frazione continua di √ 28 è [5, 3, 2, 3, 10 ] ( p = 4 è pari).
  La riduzione di rango p - 1 = 3 di √ 28 è [5, 3, 2, 3] = 127/24. La soluzione minima è quindi Le altre soluzioni sono ecc.(X1,sì1)=(127,24).{\ stile di visualizzazione (x_ {1}, y_ {1}) = (127,24).}
  (X2,sì2)=(32257,6096),(X3,sì3)=(8193151,1548360),{\ displaystyle (x_ {2}, y_ {2}) = (32 \, 257,6 \, 096), (x_ {3}, y_ {3}) = (8 \, 193 \, 151.1 \ , 548 \, 360),}
• n = 19:
  L'espansione in frazione continua periodica di √ 19 è [4, 2, 1, 3, 1, 2, 8 ] ( p = 6 è pari).
  La riduzione di rango p - 1 = 5 di √ 19 è [4, 2, 1, 3, 1, 2] = 170/39. La soluzione minima è quindi Le altre soluzioni sono ecc.(X1,sì1)=(170,39).{\ stile di visualizzazione (x_ {1}, y_ {1}) = (170,39).}
  (X2,sì2)=(57799,13260),(X3,sì3)=(19651490,4508361),{\ displaystyle (x_ {2}, y_ {2}) = (57 \, 799,13 \, 260), (x_ {3}, y_ {3}) = (19 \, 651 \, 490,4 \, 508 \, 361),}
• n = 17:
  L'espansione in frazione continua periodica di √ 17 è [4, 8 ] ( p = 1 è dispari).
  Il rango 2 p - 1 = 1 di √ 17 è [4, 8] = 33/8. La soluzione minima è quindi Le altre soluzioni sono ecc.(X1,sì1)=(33,8).{\ stile di visualizzazione (x_ {1}, y_ {1}) = (33,8).}
  (X2,sì2)=(2177,528),(X3,sì3)=(143649,34840),{\ displaystyle (x_ {2}, y_ {2}) = (2 \, 177,528), (x_ {3}, y_ {3}) = (143 \, 649,34 \, 840),}
• n = 29:
  L'espansione in frazione continua periodica di √ 29 è [5, 2, 1, 1, 2, 10 ] ( p = 5 è dispari).
  Il rango 2 p - 1 = 9 di √ 29 è [5, 2, 1, 1, 2, 10, 2, 1, 1, 2] = 9801/1820. La soluzione minima è quindi Le altre soluzioni sono ecc.(X1,sì1)=(9801,1820).{\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) = (9 \, 801,1 \, 820).}
  (X2,sì2)=(192119201,35675640),(X3,sì3)=(3765920568201,699313893460),{\ displaystyle (x_ {2}, y_ {2}) = (192 \, 119 \, 201.35 \, 675 \, 640), (x_ {3}, y_ {3}) = (3 \, 765 \, 920 \, 568 \, 201.699 \, 313 \, 893 \, 460),}

Caso m = –1

Ci sono soluzioni se e solo se l' unità fondamentale α = a + √ n b ne fornisce una, cioè se a 2 - nb 2 = –1, e le altre sono allora le coppie fornite dalle potenze dispari di α - verificando loro con k intero relativo dispari - e i loro opposti. (XK,sìK){\ stile di visualizzazione (x_ {k}, y_ {k})}XK+sìKnon=(a+bnon)K{\ displaystyle x_ {k} + y_ {k} {\ sqrt {n}} = (a + b {\ sqrt {n}}) ^ {k}}

Esempio: n = 2, 5

L'unità fondamentale di Z [ √ 2 ] è ± 1 ± √ 2 . La coppia (1, 1) è una soluzione di x 2 - 2 y 2 = –1. sviluppi(1+2)3=7+52,(1+2)5=41+292,(1+2)7=239+1692{\ displaystyle (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {3} = 7 + 5 {\ sqrt {2}}, \ quad (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {5} = 41 + 29 {\ sqrt {2}}, \ quad (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {7} = 239 + 169 {\ sqrt {2}}}fornire le soluzioni (7, 5), (41, 29) e (239, 169).

L'unità fondamentale di Z [ √ 5 ] è ± 2 ± √ 5 . La coppia (2, 1) è una soluzione di x 2 - 5 y 2 = –1. sviluppi(2+5)3=38+175,(2+5)5=682+3055,(2+5)7=12238+54735{\ displaystyle (2 + {\ sqrt {5}}) ^ {3} = 38 + 17 {\ sqrt {5}}, \ quad (2 + {\ sqrt {5}}) ^ {5} = 682 + 305 {\ sqrt {5}}, \ quad (2 + {\ sqrt {5}}) ^ {7} = 12 \, 238 + 5 \, 473 {\ sqrt {5}}}fornire le soluzioni (38, 17), (682, 305) e (12 238, 5 473).

Se n è congruente a 1 mod 4 , l' anello degli interi di Q ( √ n ) è uguale a ℤ [(1 + √ n ) / 2] quindi contiene strettamente ℤ [ √ n ]. Ma anche estendendo la ricerca degli elementi di norma –1 a questo dominio , esiste solo se lo sviluppo di √ n in frazione continua ha un periodo dispari (che non è il caso, ad esempio, per √ 21 = [4, 1, 1, 2, 1, 1, 8 ]: l'unità fondamentale (5 + √ 21 )/2 di ℤ [(1 + √ 21 ) / 2] ha la norma +1).

Note e riferimenti

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4. Questo problema è spiegato nel sito Les Bœufs d'Hélios di Lycos. È descritto nel libro: Archimède Volume 3, Floating bodys. stomaco. Il metodo. Il libro dei lemmi. Il problema dei buoi  ; ed. e tr. Charles Mugler, Parigi, Les Belles Lettres, 1971 (Collezione delle Università di Francia), 324 p. ( ISBN  2-251-00026-7 ) .
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16. Questo approccio è stato sviluppato nei suoi Disquisitiones Arithmeticae 1801.
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22. Questa è la convenzione scelta ad esempio nel libro: M. Guinot, Arithmétique pour amateurs , Lyon, Aléas, 1992-1997 ( ISBN  978-2-90801639-0 ) .

Vedi anche

Bibliografia

 : documento utilizzato come fonte per questo articolo.

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Link esterno

Sviluppo di un reale in frazioni continue di M. Couchouron dell'Università di Rennes I