Relazione di commutazione canonica

Nella meccanica quantistica , la relazione di commutazione canonica è la relazione fondamentale tra le quantità coniugate canoniche ( quantità che sono correlate per definizione in modo tale che una sia la trasformata di Fourier di un'altra). Per esempio :

{\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}} _ {x}] = i \ hbar}

tra l'operatore di posizione $x$ e l'operatore di quantità di moto $p x$ nella direzione $x$ di una particella puntiforme in una dimensione , dove $[ x , p x ] = x p x - p x x$ è il commutatore di $x$ e $p x$ , $i$ è il unità immaginaria , e $ℏ$ è la costante di Planck ridotta $h / 2π$ . In generale, posizione e quantità di moto sono vettori di operatori e la loro relazione di commutazione tra le diverse componenti di posizione e quantità di moto può essere espressa come:

{\ displaystyle [{\ hat {r}} _ {i}, {\ hat {p}} _ {j}] = i \ hbar \ delta _ {ij}.}

dov'è il Kronecker Delta . $\ delta_ {ij}$

Questa relazione è attribuita a Max Born (1925), che la definì una "condizione quantistica" che funge da postulato per la teoria; notato da E. Kennard (1927) per coinvolgere il principio di indeterminazione di Heisenberg . Il teorema di Stone-von Neumann fornisce un risultato di unicità per gli operatori che soddisfano (una forma esponenziale) la relazione di commutazione canonica.

Rapporto con la meccanica classica

D'altra parte, nella fisica classica , tutti gli osservabili commutano e il commutatore sarebbe zero. Esiste però una relazione analoga, che si ottiene sostituendo il commutatore con la parentesi di Poisson moltiplicata per $i ℏ$ :

{\ displaystyle \ {x, p \} = 1 \,.}

Questa osservazione portò Dirac a proporre che gli omologhi quantistici $f̂$ $ĝ$ ai classici $f$ $g$ soddisfino:

{\ displaystyle [{\ hat {f}}, {\ hat {g}}] = i \ hbar {\ widehat {\ {f, g \}}} \,}

Nel 1946, Hip Groenewold dimostrò che una corrispondenza sistematica generale tra interruttori quantistici e parentesi di Poisson non poteva essere coerente.

Tuttavia, ha ulteriormente apprezzato che una tale corrispondenza sistematica esiste di fatto tra l'interruttore quantico e una deformazione della staffa di Poisson, oggi chiamata staffa di Moyal , e, in generale, operatori quantistici e osservabili e distribuzioni classiche nello spazio delle fasi . Ha quindi infine chiarito il meccanismo di corrispondenza coerente, la trasformata di Wigner-Weyl , che è alla base di una rappresentazione matematica equivalente alternativa della meccanica quantistica nota come quantizzazione della deformazione .

Derivazione della meccanica hamiltoniana

Secondo il principio di corrispondenza , entro certi limiti, le equazioni quantistiche degli stati devono approssimare le equazioni del moto di Hamilton . Quest'ultimo stabilisce la seguente relazione tra la coordinata generalizzata q (ad esempio la posizione) e l'impulso generalizzato p :

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {q}} = {\ frac {\ partial H} {\ partial p}} = \ {q, H \}; \\ {\ dot {p}} = - {\ frac {\ partial H} {\ partial q}} = \ {p, H \}. \ end {case}}}

Nella meccanica quantistica, l' Hamiltoniano , la coordinata (generalizzata) e la quantità di moto (generalizzata) sono tutti operatori lineari . ${\ avrò}}$ ${\ hat {Q}}$ ${\ displaystyle {\ hat {P}}}$

La derivata temporale di uno stato quantistico è ( dall'equazione di Schrödinger ). Allo stesso modo, poiché gli operatori non sono esplicitamente dipendenti dal tempo, possiamo vederli evolversi nel tempo (vedi immagine di Heisenberg ) secondo la loro relazione di commutazione con l'hamiltoniano: ${\ displaystyle i {\ hat {H}} / \ hbar}$

{\ displaystyle {\ frac {d {\ hat {Q}}} {dt}} = {\ frac {i} {\ hbar}} [{\ hat {H}}, {\ hat {Q}}]}

{\ displaystyle {\ frac {d {\ hat {P}}} {dt}} = {\ frac {i} {\ hbar}} [{\ hat {H}}, {\ hat {P}}] \ , \,.}

Affinché questo sia nel limite classico con le equazioni del moto hamiltoniane, deve dipendere interamente dall'aspetto di nell'Hamiltoniano e deve dipendere interamente dall'apparizione di nell'Hamiltoniano. Inoltre, poiché l'operatore hamiltoniano dipende dagli operatori di coordinate (generalizzate) e di impulso, può essere considerato un funzionale , e possiamo scrivere (usando derivate funzionali ): ${\ displaystyle [{\ hat {H}}, {\ hat {Q}}]}$ ${\ displaystyle {\ hat {P}}}$ ${\ displaystyle [{\ hat {H}}, {\ hat {P}}]}$ ${\ hat {Q}}$

{\ displaystyle [{\ hat {H}}, {\ hat {Q}}] = {\ frac {\ delta {\ hat {H}}} {\ delta {\ hat {P}}}} \ cdot [ {\ hat {P}}, {\ hat {Q}}]}

funzionale

{\ displaystyle [{\ hat {H}}, {\ hat {P}}] = {\ frac {\ delta {\ hat {H}}} {\ delta {\ hat {Q}}}} \ cdot [ {\ hat {Q}}, {\ hat {P}}] \, \,.}

Per ottenere il limite classico, dobbiamo quindi avere:

{\ displaystyle [{\ hat {Q}}, {\ hat {P}}] = i \ hbar}

I parenti di Weyl

Il gruppo generato dalla elevamento della tre - dimensionale Lie , determinato dalla relazione commutazione viene chiamato il gruppo di Heisenberg . Questo gruppo può essere realizzato come il gruppo delle matrici triangolari superiori con quelle diagonali. ${\ displaystyle H_ {3} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] = i \ hbar}$ $3 \ volte 3$

Secondo la formulazione matematica standard della meccanica quantistica , le osservabili quantistiche come e dovrebbero essere rappresentate come operatori autoassociati su un certo spazio di Hilbert . È relativamente facile vedere che due operatori che soddisfano le relazioni di commutazione canoniche di cui sopra non possono essere entrambi delimitati . Certamente, se e fossero gli operatori class track , la relazione prevede un diverso numero di zero a destra e zeri. ${\ hat {x}}$ $\ hat {p}$ ${\ hat {x}}$ $\ hat {p}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} (AB) = \ operatorname {Tr} (BA)}$

In alternativa, se e fossero operatori limitati, si noti che , allora le norme degli operatori sarebbero soddisfatte ${\ hat {x}}$ $\ hat {p}$ ${\ displaystyle [{\ hat {x}} ^ {n}, {\ hat {p}}] = i \ hbar n {\ hat {x}} ^ {n-1}}$

{\ displaystyle 2 \ left \ | {\ hat {p}} \ right \ | \ left \ | {\ hat {x}} \ right \ | ^ {n} \ geq n \ hbar \ left \ | {\ hat {x}} \ right \ | ^ {n-1}}

, in modo che per tutti n :

{\ displaystyle 2 \ left \ | {\ hat {p}} \ right \ | \ left \ | {\ hat {x}} \ right \ | \ geq n \ hbar}

Tuttavia, $n$ può essere arbitrariamente grande, così che almeno un operatore non può essere limitato e la dimensione dello spazio di Hilbert sottostante non può essere finita. Se gli operatori soddisfano le relazioni di Weyl (una versione esponenziale delle relazioni di commutazione canoniche, descritte di seguito), allora come conseguenza del teorema di Stone-von Neumann , i due operatori devono essere illimitati .

Eppure queste relazioni di commutazione canoniche possono essere rese un po 'più "addomesticate" scrivendole in termini di operatori unitari (limitati) e . Le relazioni intrecciate risultanti per questi operatori sono le cosiddette relazioni di Weyl : ${\ displaystyle \ mathrm {exp} (it {\ hat {x}})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {exp} (è {\ hat {p}})}$

{\ displaystyle \ mathrm {exp} (it {\ hat {x}}) \ mathrm {exp} (è {\ hat {p}}) = \ mathrm {exp} (-ist \ hbar) \ mathrm {exp} (è {\ hat {p}}) \ mathrm {exp} (it {\ hat {x}})}

Queste relazioni possono essere pensate come una versione esponenziale delle relazioni di commutazione canoniche; riflettono che le traduzioni in atto e le traduzioni in movimento non si spostano . Possiamo facilmente riformulare le relazioni di Weyl in termini di rappresentazioni del gruppo di Heisenberg .

L'unicità delle relazioni di commutazione canoniche - sotto forma di relazioni di Weyl - è quindi garantita dal teorema di Stone-von Neumann.

È importante notare che per ragioni matematiche, le relazioni di Weyl non sono strettamente equivalenti alla relazione di commutazione canonica . Se e fossero operatori limitati, allora un caso speciale della formula Baker - Campbell - Hausdorff consentirebbe di “esponenzializzare” le relazioni di commutazione canoniche alle relazioni di Weyl. Poiché, come abbiamo notato, qualsiasi operatore che soddisfi le relazioni di commutazione canoniche deve essere illimitato, la formula Baker - Campbell - Hausdorff non si applica senza assunzioni di dominio aggiuntive. Esistono infatti controesempi che soddisfano le relazioni di commutazione canoniche ma non le relazioni di Weyl (questi stessi operatori danno un controesempio alla forma ingenua del principio di indeterminazione). Questi problemi tecnici sono la ragione per cui il teorema di Stone-von Neumann è formulato in termini di relazioni di Weyl. ${\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] = i \ hbar}$ ${\ hat {x}}$ $\ hat {p}$

Un discreto versione dei rapporti Weyl, in cui i parametri s e t campata , possono essere realizzati in uno spazio di Hilbert di dimensione finita mediante i orologio e spostamento matrici . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n}$

Generalizzazioni

La semplice formula:

{\ displaystyle [x, p] = i \ hbar, \,}

valido per la quantificazione del sistema classico più semplice, può essere generalizzato al caso di una Lagrangiana arbitraria . Identifichiamo le coordinate canoniche (come $x$ nell'esempio sopra, o un campo $Φ ($ $x$ $)$ nel caso della teoria quantistica dei campi ) ei momenti canonici $π$ $x$ ( $p$ nell'esempio sopra, o più in generale, alcune funzioni che coinvolgono la derivata di coordinate canoniche rispetto al tempo): ${\ mathcal L}$

{\ displaystyle \ pi _ {i} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial x_ {i} / \ partial t)}}.}

Questa definizione dell'impulso canonico garantisce che una delle equazioni di Eulero - Lagrange abbia la forma:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ pi _ {i} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial x_ {i}}}.}

Le relazioni di commutazione canoniche ammontano quindi a:

{\ displaystyle [x_ {i}, \ pi _ {j}] = i \ hbar \ delta _ {ij}, \,}

dove $δ ij$ è il delta di Kronecker .

Inoltre, possiamo facilmente dimostrare che:

{\ displaystyle [F ({\ vec {x}}), p_ {i}] = i \ hbar {\ frac {\ partial F ({\ vec {x}})} {\ partial x_ {i}}} ; \ qquad [x_ {i}, F ({\ vec {p}})] = i \ hbar {\ frac {\ partial F ({\ vec {p}})} {\ partial p_ {i}}} .}

Usando , possiamo facilmente dimostrare che per induzione matematica: ${\ displaystyle C_ {n + 1} ^ {k} = C_ {n} ^ {k} + C_ {n} ^ {k-1}}$

{\ displaystyle \ left [{\ hat {x}} ^ {n}, {\ hat {p}} ^ {m} \ right] = \ sum _ {k = 1} ^ {min \ left (m, n \ right)} {{\ frac {- \ left (-i \ hbar \ right) ^ {k} n! ​​m!} {k! \ left (nk \ right)! \ left (mk \ right)! }} {\ hat {x}} ^ {nk} {\ hat {p}} ^ {mk}} = \ sum _ {k = 1} ^ {min \ left (m, n \ right)} {{\ frac {\ left (i \ hbar \ right) ^ {k} n! ​​m!} {k! \ left (nk \ right)! \ left (mk \ right)!}} {\ hat {p}} ^ {mk} {\ hat {x}} ^ {nk}}}

Invarianza del misuratore

La quantizzazione canonica è applicata, per definizione, alle coordinate canoniche . Tuttavia, in presenza di un campo elettromagnetico , l'impulso canonico $p$ non è invariante di gauge . La velocità invariante del gauge corretta (o momento angolare ) è:

{\ displaystyle p _ {\ text {kin}} = p-qA \, \!}

( Unità SI ) ( unità cgs ),

{\ displaystyle p _ {\ text {kin}} = p - {\ frac {qA} {c}} \, \!}

dove $q$ è la carica elettrica della particella, $A$ è il potenziale vettore e $c$ è la velocità della luce . Sebbene la quantità $p kin$ sia la "quantità di moto fisica", in quanto è la quantità da identificare con la quantità di moto negli esperimenti di laboratorio, non soddisfa le relazioni di commutazione canoniche; solo l'impulso canonico lo fa. Questo può essere visto come segue:

L' Hamiltoniano non relativistico per una particella carica massa quantificata $m$ in un campo elettromagnetico classico (in unità cgs ):

{\ displaystyle H = {\ frac {1} {2 m}} \ sinistra (p - {\ frac {qA} {c}} \ destra) ^ {2} + q \ phi}

dove $A$ è il potenziale dei tre vettori e $φ$ è il potenziale scalare . Questa forma dell'hamiltoniano, insieme all'equazione di Schrödinger $Hψ = iħ\partialψ / \partialt$ , le equazioni di Maxwell e la legge della forza di Lorentz sono invarianti rispetto alla trasformazione di gauge:

{\ displaystyle A \ to A ^ {\ prime} = A + \ nabla \ Lambda}

{\ displaystyle \ phi \ to \ phi ^ {\ prime} = \ phi - {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial \ Lambda} {\ partial t}}}

{\ displaystyle \ psi \ to \ psi ^ {\ prime} = U \ psi}

{\ Displaystyle H \ to H ^ {\ prime} = UHU ^ {\ dagger},}

o :

{\ displaystyle U = \ exp \ left ({\ frac {iq \ Lambda} {\ hbar c}} \ right)}

e Λ = Λ (x, t) è la funzione di gauge.

L'operatore del momento angolare è:

{\ Displaystyle L = r \ times p \, \!}

e obbedisce alle relazioni di quantizzazione canoniche:

{\ displaystyle [L_ {i}, L_ {j}] = i \ hbar {\ epsilon _ {ijk}} L_ {k}}

definendo l' algebra di Lie per so (3) , dove è il simbolo Levi-Civita . Sotto trasformazioni di gauge, il momento angolare cambia in: $\ epsilon _ {{ijk}}$

{\ Displaystyle \ langle \ psi \ vert L \ vert \ psi \ rangle \ to \ langle \ psi ^ {\ prime} \ vert L ^ {\ prime} \ vert \ psi ^ {\ prime} \ rangle = \ langle \ psi \ vert L \ vert \ psi \ rangle + {\ frac {q} {\ hbar c}} \ langle \ psi \ vert r \ times \ nabla \ Lambda \ vert \ psi \ rangle \,.}

Il momento angolare invariante (o momento angolare angolare) è dato da:

{\ Displaystyle K = r \ times \ left (p - {\ frac {qA} {c}} \ right),}

che ha i rapporti di commutazione:

{\ displaystyle [K_ {i}, K_ {j}] = i \ hbar {\ epsilon _ {ij}} ^ {\, k} \ left (K_ {k} + {\ frac {q \ hbar} {c }} x_ {k} \ sinistra (x \ cdot B \ destra) \ destra)}

o :

{\ displaystyle B = \ nabla \ times A}

è il campo magnetico . La non equivalenza di queste due formulazioni appare nell'effetto Zeeman e nell'effetto Aharonov-Bohm .

Relazione di incertezza e interruttori

Tutte queste relazioni di commutazione non banali per coppie di operatori portano a corrispondenti relazioni di incertezza , che comportano contributi di aspettativa semi-definiti positivi dai rispettivi interruttori e anti-interruttori. In generale, per due operatori ermitici $A$ e $B hanno$ considerato i valori medi in un sistema in stato $ψ$ , la varianza attorno al valore medio corrispondente essendo:

$(Δ A ) 2 \equiv ⟨( A - ⟨ A >) 2 >$

Poi:

{\ displaystyle \ Delta A \, \ Delta B \ geq {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ left | \ left \ langle \ left [{A}, {B} \ right] \ right \ rangle \ right | ^ {2} + \ left | \ left \ langle \ left \ {A- \ langle A \ rangle, B- \ langle B \ rangle \ right \} \ right \ rangle \ right | ^ {2} }},}

dove $[ A , B ] \equiv A B - B A$ è l' interruttore di $A$ e $B$ , e ${ A , B } \equiv A B + B A$ è l' anti interruttore .

Questo segue l'uso del Cauchy - Schwarz , dal momento $| < A 2 > | | 〈B 2〉 | \geq | 〈'A B 〉 | 2$ e $A B = ([ A , B ] + { A , B }) / 2; e lo stesso per gli operatori spostati A - < A > e B - 〈 B 〉 (Cfr. Derivazioni del principio di indeterminazione .)$

Sostituendo $A$ e $B$ (e occupandosi dell'analisi ), otteniamo la relazione di incertezza di Heisenberg per $x$ e $p$ .

Relazione di incertezza per operatori del momento angolare

Per gli operatori momento angolare, tali che $L x = y p z - z p y$ , abbiamo:

{\ displaystyle [{L_ {x}}, {L_ {y}}] = i \ hbar \ epsilon _ {xyz} {L_ {z}},}

dove si trova il simbolo Levi-Civita e inverte semplicemente il segno della risposta sotto lo scambio a coppie degli indici. Una relazione analoga è valida per gli operatori di spin . ${\ displaystyle \ epsilon _ {xyz}}$

Qui, per $L x$ e $L y$ , in multipli di momento angolare abbiamo, per le componenti trasversali dell'invarianza di Casimir $L$ $x$ $2$ $+$ $L$ $y$ $2$ $+$ $L$ $z$ $2$ le relazioni simmetriche in $z$ : ${\ displaystyle \ psi = | \ ell, m \ rangle}$

{\ displaystyle \ langle L_ {x} ^ {2} \ rangle = \ langle L_ {y} ^ {2} \ rangle = \ left (\ ell (\ ell +1) -m ^ {2} \ right) { \ frac {\ hbar ^ {2}} {2}}}

e $⟨ L x ⟩ ⟨= L y ⟩ = 0$

Pertanto, la disuguaglianza di cui sopra applicata a questa relazione di commutazione specifica:

{\ displaystyle \ Delta L_ {x} \ Delta L_ {y} \ geq {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ hbar ^ {2} | \ langle L_ {z} \ rangle | ^ {2 }}} ~,}

Perciò :

{\ displaystyle {\ sqrt {| \ langle L_ {x} ^ {2} \ rangle \ langle L_ {y} ^ {2} \ rangle |}} \ geq {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 }} m}

e così :

{\ displaystyle \ ell (\ ell +1) -m ^ {2} \ geq m ~,}

Quindi, questo rapporto fornisce vincoli utili come un limite inferiore sulla invariante Casimir : e, quindi , tra gli altri. ${\ displaystyle \ ell (\ ell +1) \ geq m (m + 1)}$ ${\ displaystyle \ ell \ geq m}$

Guarda anche

Teorema di Stone-von Neumann
Quantizzazione canonica
Algebra CCR
Derivata di bugia
Moyal hook

Riferimenti

Born and Jordan, " Zur Quantenmechanik ", Zeitschrift für Physik , vol. 34,1925, p. 858 ( DOI 10.1007 / BF01328531 , codice bib 1925ZPhy ... 34..858B )
Kennard, " Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen ", Zeitschrift für Physik , vol. 44, nn . 4–5,1927, p. 326–352 ( DOI 10.1007 / BF01391200 , codice bib 1927ZPhy ... 44..326K )
Groenewold, “ sui principi della meccanica quantistica elementare ”, Physica , vol. 12, n o 7,1946, p. 405–460 ( DOI 10.1016 / S0031-8914 (46) 80059-4 , Bibcode 1946 Phy .... 12..405G )
Teorema di Hall 2013 13.13
Curtright e Zachos, " Quantum Mechanics in Phase Space " , Asia Pacific Physics Newsletter , vol. 01,2012, p. 37–46 ( DOI 10.1142 / S2251158X12000069 , arXiv 1104.5269 )
Padiglione 2015 Sezione 1.2.6 e Proposizione 3.26
Vedere la sezione 5.2 del padiglione 2015 per una derivazione elementare
Hall 2013 Esempio 14.5
JS Townsend , A Modern Approach to Quantum Mechanics , Sausalito, CA, University Science Books,2000( ISBN 1-891389-13-0 , leggi online )
Robertson, “ Il principio di indeterminazione, ” Physical Review , vol. 34, n o 1,1929, p. 163–164 ( DOI 10.1103 / PhysRev.34.163 , codice bib 1929PhRv ... 34..163R )

Bibliografia

Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, 267, Springer.
Hall, Brian C. (2013), Lie Groups, Lie Algebras and Representations, An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2a ed.), Springer.