Vettore di posizione

Mutevole

La posizione è uno spostamento, la cui origine è il punto di partenza. Dati chiave

Unità SI	metro
Dimensione	L
Base SI	m
Natura	Magnitudo del vettore
Simbolo usuale	${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}}$ , , ${\ displaystyle {\ vec {\ ell}}}$ $\ vec r$
Collegamento ad altre dimensioni	${\ mathrm d}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}}$ ${\ displaystyle =}$ ${\ vec v}$ ${\ displaystyle \, \ mathrm {dt}}$

In geometria , il vettore di posizione , o vettore raggio , è il vettore utilizzato per indicare la posizione di un punto rispetto a un sistema di coordinate . L' origine del vettore è all'origine fissa del sistema di coordinate e l'altra estremità alla posizione del punto. Se indichiamo questa posizione con $M$ e l'origine con $O$ , viene indicato il vettore di posizione . È anche notato o . ${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ ell}}}$ $\ vec r$

In fisica , il vettore di spostamento di un punto materiale o di un oggetto è il vettore che collega una vecchia posizione a una nuova, quindi il vettore della posizione finale meno il vettore della posizione iniziale. Il lavoro di una forza , ad esempio, è uguale al prodotto della forza per lo spostamento del suo punto di applicazione . Se indichiamo con $A$ e $B$ le posizioni di due punti, il vettore spostamento da $A$ a $B$ è indicato . ${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {AB}}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {OB}}} - {\ overrightarrow {\ mathrm {OA}}}}$

Dimensioni fisiche

Cilindrata e lunghezza

Uno spostamento e una lunghezza sono entrambi espressi in metri , ma queste due quantità non sono equivalenti. Il termine “ lunghezza ” è piuttosto riservato alla misura geometrica di un oggetto, una distanza o un percorso, è il risultato di un integrale curvilineo . Una tale lunghezza è quindi uno scalare esteso (la lunghezza complessiva di un treno è la somma delle lunghezze dei suoi componenti). Uno “spostamento” è invece una quantità vettoriale (caratterizzata da una direzione e da una norma) e intensiva (è definita in ogni punto, e non può essere sommata da un punto all'altro).

Dal punto di vista dell'analisi dimensionale , queste due quantità sono entrambe lunghezze, ma la quantità di orientamento è diversa: la lunghezza è uno scalare in L · 1 0 mentre lo spostamento è un vettore in L · 1 x .

Lungo una curva, lo spostamento elementare è una quantità il cui integrale sull'intero segmento può portare a: ${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {d} \ ell}}}$

alla lunghezza dell'arco :

{\ displaystyle L = \ int _ {\ mathrm {A}} ^ {\ mathrm {B}} \ mathrm {d} \ ell = \ int _ {\ mathrm {A}} ^ {\ mathrm {B}} \ sinistra \ | {\ frac {\ partial \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ mathrm {d} u}} \ right \ | \ mathrm {d} u}

, dove

u

è una parametrizzazione della curva ;

lo spostamento tra le sue due estremità (il cui modulo è la lunghezza della fune $AB$ ):

{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {AB}}} = \ int _ {\ mathrm {A}} ^ {\ mathrm {B}} {\ overrightarrow {\ mathrm {d} \ ell}}}

Cilindrata e posizione

A differenza del vettore di posizione, il vettore di spostamento non si riferisce a un'origine, ma a un punto di partenza. La differenza tra posizione e spostamento dipende solo dallo stato del punto di origine: lo spostamento del vettore è uguale alla posizione del vettore quando si prende l'origine rispetto al punto di partenza; e viceversa, il vettore di posizione è lo spostamento che deve essere eseguito per andare dall'origine al punto considerato.

Queste due nozioni sono legate nella cinematica dei punti : la velocità è definita come la derivata del vettore di posizione rispetto al tempo, ma la primitiva di velocità (definita fino a un'origine arbitraria) non è di interesse, a differenza dell'integrale di questa velocità su un intervallo di tempo, che fornisce il vettore di spostamento di questo punto.

Scrivere un vettore

coordinate cartesiane

In coordinate cartesiane (origine $O$ e vettori di base ): ${\ displaystyle {\ vec {e_ {x}}}, {\ vec {e_ {y}}}, {\ vec {e_ {z}}}}$

{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} = {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}} = x \, {\ vec {e_ {x}}} + y \, {\ vec {e_ {y}}} + z \, {\ vec {e_ {z}}}}

dove $x$ , $y$ e $z$ sono le coordinate del punto $M$ nel sistema di coordinate cartesiane.

Coordinate cilindriche

In coordinate cilindriche (origine $O$ e vettori di base ): ${\ displaystyle {\ vec {e_ {r}}}, {\ vec {e _ {\ theta}}}, {\ vec {e_ {z}}}}$

{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} = {\ begin {pmatrix} r \\ 0 \\ z \ end {pmatrix}} = r \, {\ vec {e_ {r}}} + z \, {\ vec {e_ {z}}}}

Relazione con coordinate cartesiane (ortonormale)

Le coordinate polari $r$ e $θ$ del punto M sono connessi al suo piano cartesiano coordinate $x$ ed $y$ da:

{\ Displaystyle x = r \ cos (\ theta)}

{\ Displaystyle y = r \ sin (\ theta)}

I vettori di base e dipendono da $θ$ : ${\ vec {e_ {r}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {e _ {\ theta}}}}$

{\ displaystyle {\ vec {e_ {r}}} = {\ vec {e_ {x}}} \ cos (\ theta) + {\ vec {e_ {y}}} \ sin (\ theta)}

{\ displaystyle {\ vec {e _ {\ theta}}} = - {\ vec {e_ {x}}} \ sin (\ theta) + {\ vec {e_ {y}}} \ cos (\ theta) }

Coordinate sferiche

In coordinate sferiche (origine $O$ e vettori di base ): ${\ displaystyle {\ vec {e _ {\ rho}}}, {\ vec {e _ {\ theta}}}, {\ vec {e _ {\ varphi}}}}$

{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} = {\ begin {pmatrix} \ rho \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}} = \ rho \, {\ vec {e _ {\ rho} }}}

Relazione con coordinate cartesiane (ortonormale)

Le coordinate sferiche $P$ , $θ$ e $φ$ del punto M sono connessi al suo piano cartesiano coordinate $x$ , $y$ e $z$ da:

{\ Displaystyle x = \ rho \ sin (\ theta) \ cos (\ varphi)}

{\ Displaystyle y = \ rho \ sin (\ theta) \ sin (\ varphi)}

{\ Displaystyle z = \ rho \ cos (\ theta)}

I vettori di base , e dipendono da $θ$ e $φ$ : ${\ displaystyle {\ vec {e _ {\ rho}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {e _ {\ theta}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {e _ {\ varphi}}}}$

{\ displaystyle {\ vec {e _ {\ rho}}} = {\ vec {e_ {x}}} \ sin (\ theta) \ cos (\ varphi) + {\ vec {e_ {y}}} \ sin (\ theta) \ sin (\ varphi) + {\ vec {e_ {z}}} \ cos (\ theta)}

{\ displaystyle {\ vec {e _ {\ theta}}} = {\ vec {e_ {x}}} \ cos (\ theta) \ cos (\ varphi) + {\ vec {e_ {y}}} \ cos (\ theta) \ sin (\ varphi) - {\ vec {e_ {z}}} \ sin (\ theta)}

{\ displaystyle {\ vec {e _ {\ varphi}}} = - {\ vec {e_ {x}}} \ sin (\ theta) \ sin (\ varphi) + {\ vec {e_ {y}}} \ sin (\ theta) \ cos (\ varphi)}

Concetti correlati

Il vettore di spostamento è definito come la differenza tra i vettori di posizione di un punto in due momenti diversi.

La derivata di un vettore di posizione rispetto al tempo fornisce un vettore di velocità .

Note e riferimenti

Voce "position vector" in Richard Taillet Loïc Villain e Pascal Febvre, Physics Dictionary , Bruxelles, Oxford University Press ,2008( ISBN 978-2-8041-5688-6 , avviso BnF n o FRBNF41256105 ) , p. 519( online su Google Libri ).