In matematica , in un anello , un divisore di zero è un elemento diverso da zero il cui prodotto per un elemento diverso da zero è zero.
Lasciate un anello e tale , dov'è l' elemento neutro per la legge .
Diciamo che è un divisore di zero a sinistra in if
Diciamo che è un divisore di zero a destra in se
Diciamo che è un divisore di zero in se è un divisore di zero a sinistra in o un divisore di zero a destra in .
Un elemento di si dice regolare se non è né zero né un divisore di zero.
Un divisore di zero non può essere invertibile ; in particolare, un campo commutativo (o anche un campo sinistro ) non contiene un divisore di zero. In effetti, vale a dire un elemento di un anello divisore di zero. Assumiamo che sia invertibile. Allora per definizione esiste un non-zero tale che , e componendo da sinistra, nasce contraddizione.
Un anello commutativo si dice intero se non è ridotto a zero e non ammette alcun divisore di zero.
L'anello Z degli interi relativi è integrale, così come il campo commutativo dei numeri razionali , reali o complessi (qualsiasi campo in generale).
Nell'anello Z / 6 Z , la classe 4 è un divisore di zero, perché 4 × 3 è congruente a 0 modulo 6, mentre 3 e 4 non sono congruenti a 0 modulo 6.
Più in generale, nell'anello Z / n Z per n > 0, come in ogni anello finito, qualsiasi elemento regolare è invertibile quindi i divisori di zero sono esattamente gli elementi non nulli e non invertibili . Di conseguenza (secondo il teorema di Bachet-Bézout ) sono le classi modulo n di interi relativi che non sono né divisibili per n , né primi con n .
L'anello di matrici quadrate con due righe e due colonne reali contiene divisori di zero. Ad esempio, la matrice
è un divisore di zero, infatti è diverso da zero, e lo abbiamo
Più in generale i divisori di zero a destra in un'algebra di matrici con coefficienti in un campo sono le matrici non suriettive ei divisori a sinistra sono le matrici non iniettive . Quando , i divisori sinistro e destro di zero coincidono e queste sono le matrici non invertibili.
L'insieme delle funzioni di in sé è un anello che ammette divisori di zero. Infatti, se prendiamo la funzione caratteristica dei razionali così come la funzione caratteristica degli irrazionali, è chiaro che queste due funzioni sono diverse dalla funzione nulla , ma il loro prodotto dà la funzione nulla, perché un numero reale è razionale oppure irrazionale.
Più in generale, se è un'algebra associativa , indichiamo con l'algebra delle funzioni , dove è qualsiasi insieme non vuoto. I divisori di zero di sono esattamente le funzioni diverse da zero che hanno zero o un divisore di zero nella loro immagine.